以計數單位為核心 感悟運算的一致性

□呂立峰

《義務教育數學課程標準（2022 年版）》（以下簡稱 “2022年版課標” ）指出，核心素養具有整體性和一致性。聚焦到 “數與運算” 主題，如整數、小數和分數的教學，即不僅要強調 “意義和關系的一致性” ，更要注重 “算理和算法的一致性” 。其中，前者在各版數學課程標準及配套的教材中均有所體現，只不過直到2022年版課標頒布才首次明確并重點強調了這一點。后者則是2022年版課標提出的一種全新的關系稱謂，要求教師在課堂實踐中進行更加深入的探索。

那么，在一致性視角下，如何對整數、小數和分數的四則運算教學進行整體設計呢？從數理邏輯的角度出發， “計數單位” 是貫穿四則運算一致性的核心概念。然而，在不同運算的教學中， “計數單位” 所發揮的功能和作用也各不相同。因此，在實際課堂教學中，教師需要靈活調整 “計數單位” 的應用視角，確保教學的深入與全面。

一、掌握加減運算的一致性：經歷相同計數單位的數的加減運算

要使學生感悟到整數、小數和分數加減運算的一致性，關鍵在于引導他們經歷相同計數單位的數的加減運算過程。在加減運算中，學生最先學習整數加減法，在此基礎上學習小數加減法和分數加減法。按照這一學習順序，學生很容易就能明白小數加減法的計算法則，本質上就是在執行相同計數單位的數的加減運算。然而，理解分數加減法的計算法則卻并不容易。分數加減法的計算法則強調 “同分母分數相加減，分母不變，只把分子相加減；異分母分數相加減，先通分，再按照同分母分數加減法進行計算” 。從字面上來看，這與整數、小數加減法的計算法則存在顯著差異。為了突破這一難點，教師應精心設計教學活動，建立分數加減法與整數、小數加減法之間的內在聯系，引導學生體會各類加減運算本質上的一致性。

【教學片段1】 “整數、小數和分數加減運算” 教學

1.學生完成習題，提供研究素材（如表1）。

表1 學生計算整數、小數和分數加減情況

2.教師啟發引導，溝通運算算理。

師：整數、小數和分數加減運算有什么相同點？

生：整數、小數加減運算時，都要把相同數位對齊，也就是讓相同計數單位的數進行加減。

師：這個規則在分數加減法中也適用嗎？

生：不可以，分數加減法的計算法則和整數、小數加減法的不同。

師：分數加減法的計算法則強調 “異分母分數相加減，先通分，再按照同分母分數加減法進行計算” 。這樣的規定是基于什么原因呢？

生：這是因為異分母分數只有轉化為同分母分數，它們的分數單位才能統一。

師：你能舉例說明嗎？

師：數學上， “分數單位” 是 “分數計數單位” 的簡稱，所以 “通分” 的過程實際上就是統一計數單位的過程。

生：我明白了！原來分數加減法和整數、小數加減法一樣，都是將相同計數單位的數進行加減。

經過對上述教學片段的觀察分析，可以確認學生的表現與課前預測相符。在面對整數和小數加減法時，學生能夠準確地識別出它們的共同點。然而，當涉及分數加減法時，學生就會產生一定的困惑，因為分數加減法與整數、小數加減法在計算法則的表述上存在顯著差異。為了幫助學生理解這一問題，教師在課堂上要利用有效的追問，清晰地向學生解釋把異分母分數轉化為同分母分數進行加減的原因，即實現計數單位的統一。計數單位統一之后，計算過程就會簡化為 “分子相加減” ，也就是求相同計數單位的個數。通過這樣的教學過程，教師成功地建立了分數加減法與整數、小數加減法之間的內在聯系，使學生深刻感悟到加減法運算的一致性。

二、感悟乘法運算的一致性：經歷因數相乘產生新的計數單位的過程

要使學生感悟到整數、小數和分數乘法運算內在的一致性，關鍵在于引導他們經歷因數相乘產生新的計數單位的過程。 “產生新的計數單位” 從表述上來說可能較為新穎，但它在實際教學中的運用并不少見。比如，小數乘法的計算法則中提到 “看因數中一共有幾位小數，就從積的右邊起數出幾位，點上小數點” ，其中 “點上小數點” 的過程就是產生 “新的計數單位” 的過程。分數乘法的計算法則中也提到 “用分子相乘的積作分子，用分母相乘的積作分母” ，其中 “用分母相乘的積作分母” 的過程也是產生 “新的計數單位” 的過程。那么，在一致性視角下，乘法運算教學應如何讓學生體會到因數相乘會產生 “新的計數單位” 呢？

【教學片段2】 “小數乘小數運算” 教學

1.教師出示例題，讓學生筆算0.8×0.3。

2.展示算法，聚焦重點。學生展示多種算法（略），重點研究列豎式解答的方法（如圖1）。

圖1 0.8×0.3的豎式解答過程

生：兩個因數0.8 和0.3 分別擴大到原來的10倍，它們的積就會擴大到原來的100倍。根據積的變化規律，只有把24 縮小到原來的，才能得到正確的積。

生：可以通過畫圖來說明。如圖（a）所示，把正方形看作單位 “1” ，并在其中用陰影分別表示0.8和0.3。相當于把單位 “1” 平均分成100 份，每份是0.01。而兩個陰影的重疊部分正好占其中的24份，也就是有24個0.01，即0.24。

師：這位同學的意思是，0.8表示8個0.1，0.3表示3 個0.1， “0.8×0.3” 的結果會產生一個新的計數單位0.01。這個新的計數單位是由兩個因數的計數單位相乘得到的，即0.1×0.1=0.01。而把 “0.8×0.3” 看成 “8×3” 計算出的 “24” ，就表示新計數單位的個數。

［教師邊解釋算理，邊把學生的圖式補充完整，如圖2（b）所示］

圖2 0.8×0.3的圖式表征過程

3.歸納算法，理解本質。

師：通過剛才的學習，我們知道了小數乘法的計算法則是 “先把小數乘法轉化成整數乘法計算，再看因數中一共有幾位小數，就從積的右邊起數出幾位，點上小數點” ?，F在，你們明白這個法則的意思了嗎？

生：計算法則中， “把小數乘法轉化成整數乘法計算” 得到的積就是 “新計數單位的個數” ， “看因數中一共有幾位小數” 能確定積的計數單位，而積的計數單位就是 “兩個因數的計數單位相乘之后產生的新計數單位” 。

【教學片段3】 “分數乘分數運算” 教學

2.展示算法，聚焦重點。學生展示多種算法（略），重點研究用畫圖求積的方法，如圖3（a）所示。

圖3 ×的圖式表征過程

師：大家能看懂這位同學的方法嗎？

［教師邊解釋算理，邊把學生的圖式補充完整，如圖3（b）所示］

3.揭示本質，歸納算法。

師：剛才的思考過程可以用怎樣的算式記錄呢？

師：那么，你們認為分數乘法的計算法則是什么呢？

生：用分子相乘的積作分子，用分母相乘的積作分母。

【教學片段4】 “乘法運算的復習和整理” 教學

1.教師整體呈現三類乘法算式。

整數乘法images/BZ_50_334_874_463_925.png小數乘法images/BZ_50_513_863_865_935.png分數乘法images/BZ_50_918_868_1153_930.png

2.圍繞核心問題展開討論：小數、分數乘法運算與整數乘法運算之間有什么關聯？

3.經過師生間的深入交流與討論，達成共識：小數和分數的乘法運算都會產生新的計數單位。若能夠確定這個新計數單位，便能將小數和分數的乘法轉化成整數乘法進行計算。

4.利用學習材料深入解析：比如0.2×0.4，兩個因數的計數單位都是0.1，它們相乘就會產生新的計數單位0.01。又如兩個因數的計數單位分別是它們相乘也會產生新的計數單位。一旦確定了積的計數單位，這兩道題就能夠轉化成整數乘法 “2×4” 。教師根據學生的回答適時進行板書，如圖4所示。

圖4 乘法運算部分板書

上述三個教學片段構成了一個整體，呈現了乘法運算兩個階段的教學重點。第一個階段聚焦于 “小數乘小數” 和 “分數乘分數” 的運算教學，主要通過數形結合，讓學生經歷兩個因數相乘產生新計數單位的全過程。這兩節課基本采用相同的教學思路，再輔以可視化的學習材料，使學生感悟到小數乘法和分數乘法運算的內在一致性。第二個階段則是 “乘法運算的復習和整理” ，一方面通過對比和概括揭示了小數乘法和分數乘法運算的一致性，另一方面通過建立小數乘法、分數乘法與整數乘法的聯系，消除了三者之間的隔閡，構建起乘法運算一致性的結構。

三、理解除法運算的一致性：經歷高級計數單位不斷細分的過程

要使學生感悟到整數、小數和分數除法運算的內在一致性，關鍵在于引導他們完整地經歷高級計數單位不斷細分的過程。在這個過程中，有三個關鍵的教學節點需特別關注。

第一個教學節點是 “兩位數除以一位數的筆算除法，首位不能整除的情況” ，意在初步啟發學生對高級計數單位細分方法的認識。現有教材在編寫意圖上已充分體現了這一點。如圖5所示，人教版教材利用小棒直觀輔助教學，使學生能夠清晰地觀察到 “1 個十” 細分為 “10 個一” 的過程。根據課堂觀察，一線教師在此方面的執行力度值得肯定。

圖5 人教版教材 “筆算除法”

第二個教學節點是 “除數是整數的小數除法” ，要求學生對高級計數單位細分的過程有更深的理解。然而，在當前教學實踐中，許多教師傾向于直接傳授計算法則，即 “除得的商有余數時，在余數末尾添0繼續除” ，而忽視了計算法則背后的原理。

第三個教學節點是 “異分母分數除法” ，是對高級計數單位細分的拓展與深化。在這一環節，教師的做法與前述環節類似，多側重計算法則的傳授，即 “除以一個不為0 的數，等于乘這個數的倒數” ，而指向算理的教學目標則基本被淡化。那么，在一致性視角下，小數和分數除法的教學應如何讓學生經歷高級計數單位不斷細分的全過程呢？

【教學片段5】 “除數是整數的小數除法運算” 教學

1.學生試做：86÷4（豎式中的前兩次試商如圖6所示）。

圖6 86÷4的試商過程

2.難點揭示：在圖6所示算式中，余數2不夠除4怎么辦？

3.策略思考：為了解決這個問題，可以在余數2的后面添 “0” ，繼續進行除法運算。

4.明晰算理：余數2 表示2 個一。在其后面添加1個 “0” ，可以將2個 “一” 看作20個 “0.1” 。用20個0.1 除以4，商是5 個0.1，即0.5。為了正確表述結果，需要在21的后面點上小數點，再寫5。

5.圖式表征：如圖7 所示，通過畫圖解釋整個計算過程。

圖7 “86÷4” 算理表征過程

6.教師總結提煉：在余數2 后面添加1 個 “0” ，表示將2 個一轉化成20 個0.1，也就是把計數單位 “一” 細分成10個 “0.1” 。這種將 “高級計數單位” 細分成 “低級計數單位” 的做法，確保了小數除法運算的順利進行。這與整數除法具有一致性。

【教學片段6】 “分數除以分數運算” 教學

2.理解多種算法。

師：用方法③解答的同學是怎么思考的呢？

師：你能把這個過程用畫圖的方式表達清楚嗎？

（師生合作，共同完成算理表征過程，如圖8所示）

圖8 “算法③” 算理表征過程

4.師生共同提煉算理：對于異分母分數的除法，可以先通分，將它們轉化成同分母分數再相除。在這一過程中，對被除數和除數的計數單位進行細分是關鍵。當它們的計數單位相同時，分子相除的結果即為異分母分數相除的商。

【教學片段7】 “除法運算的復習和整理” 教學

1.整體呈現三類除法算式。

整數除法小數除法分數除法images/BZ_51_1369_2792_1482_2959.pngimages/BZ_51_1644_2792_1798_2959.pngimages/BZ_51_1936_2781_2125_2970.png

2.歸納算式的共性，理解運算的一致性。

教師提問： “整數、小數、分數三類除法運算有哪些共同之處？”

師生共同歸納：這三類除法運算在本質上是一致的。它們都涉及 “高級計數單位的細分” 過程，依靠計數單位的不斷細分逐步推進。比如：在整數除法52÷2中，將余數1個 “十” 細分成10個 “一” ；在小數除法86÷4中，將余數2個 “一” 細分成20個 “0.1” ；在分數除法中，將7個和3個細分成教師根據學生的回答隨機板書，如圖9所示。

圖9 三類除法計算題 “細分計數單位”

上述三個教學片段構成了一個逐步深入的整體。在 “除數是整數的小數除法運算” 的教學中，教師通過分小棒的直觀演示，讓學生看到計數單位不斷細分后，兩數相除的商既可以用整數表示，也可以用小數表示。在 “分數除以分數運算” 的教學中，教師同樣借助形的直觀，讓學生看到從計數單位細分的角度出發，可以解釋分數除法的計算法則。在 “除法運算的復習和整理” 的教學中，則通過對三類除法計算題共性的歸納，讓學生理解計數單位細分是推進除法運算的關鍵，從而構建除法運算一致性的結構。

通過教學實踐不難發現， “計數單位” 在打通四則運算一致性的過程中確實起到了至關重要的作用。為了進一步聚焦這一核心概念，需要對它及其相關問題進行深入探討。

第一，如何使學生深刻理解 “計數單位” 這一概念？ “計數單位” 是計算教學的核心概念，學生對它的理解程度將直接影響后續學習的效果。事實上，對計數單位的理解與 “數概念一致性” 的教學是密切相關的。例如， “3表示3個一，0.3表示3個0.1，表示3個” 等，就是從計數單位和計數單位的個數這個角度來認識整數、小數和分數的一致性的表現。因此，夯實 “數概念一致性” 的教學，可以幫助學生深刻理解 “計數單位” 這一概念，進而為感悟四則運算的一致性提供保證。

第二，用 “計數單位” 打通四則運算一致性的本原是什么？在回答這個問題前，可以先回顧一下四則運算一致性的具體表現：只要找到了相同的計數單位，小數和分數的加減法運算就可以將相同計數單位的數相加減的過程轉化為一道整數加減法計算題；只要知道了因數相乘所產生的新計數單位，小數和分數的乘法運算就可以將求新計數單位個數的過程轉化為一道整數乘法計算題；只要掌握了高級計數單位細分的方法，小數和分數的除法運算就可以將求商的過程轉化為一道整數除法計算題。由此可見， “轉化” 是用 “計數單位” 打通四則運算一致性的數學本原。

綜上所述， “計數單位” 在感悟整數、小數和分數四則運算一致性的過程中發揮著關鍵作用。在 “數概念一致性” 的教學中，應突出 “計數單位” 的核心地位，加深學生對這一概念的理解。在 “數運算一致性” 的教學實踐中，應以 “計數單位” 為內核，消除整數、小數和分數四則運算之間的隔閡，強調 “轉化” 的數學思想。