小學數學 “0～9數的認識” 單元學習心理過程的建構*

□徐文彬 陳韻嫻，2 潘禹辰

在幼兒園科學領域課程中，已經涉及了 “0～9數的認識” 單元的相關內容［1］。在小學入學前，部分學生甚至已經認識了較大數，并能進行簡單運算，如20以內數的認識與加減法。為防止教學 “簡單重復” ，筆者基于已經確立的單元知識結構［2-3］，組織一年級新生進行了 “數感發展水平” 的測試，旨在了解學生的認知起點，預設新知與舊識的聯系，建構 “0～9數的認識” 的學習心理過程。

一、一年級新生數感發展水平的測試

本測試以一年級新生為測試對象，診斷其數感發展水平。

（一）測試卷的編制

筆者借鑒已有實證研究成果，建構了較為全面的一年級新生數感發展水平評價框架（如表1）。然后基于國內外相關研究中已有的測試題［4-7］，結合教材內容，以貼近學生生活經驗的情境為依據，按照評價框架編選題目。

表1 一年級新生數感發展水平的評價框架

本測試采用實物操作與問答相結合的形式。為控制測試時間，筆者通過挖掘各維度之間的關聯性（如 “計數” 和 “基數” 等），構建了九個主題式情境任務（括號內為主要測試維度）：快速計數小圓點個數（感數）、數數（計數—數詞）、統計小熊數量（計數—可數實體、基數）、比較積木數量（比較）、解決圍棋子排序問題（數序與序數）、估計圍棋子數量（估計）、分一分圍棋子（分與合）、解決與鉛筆相關的運算問題（加減法、非正式乘除法）、提交答案（比較、估計、分與合、加減法）。各任務下又由易到難設置了1～4題，采取一題多測、多題一測的方式進行設計。一題多測，即一道題可測同一維度的多個連續性水平或不同維度的平行性水平；多題一測，即通過不同任務中的交錯題共同驗證同一維度同一水平。在此基礎上，對各題進行變式，生成多套平行卷。經預測試對試題進行優化，最終形成正式版測試卷。同時制訂評價表和記錄表，以辨明學生表現所處的水平，盡可能完整記錄測試過程。

本測試卷在編制過程中，全程參考相關文件和教材，并采用專家咨詢法進行評估和校正，具備較好的內容效度。需要說明的是，本測驗卷還需檢驗復本信度，即通過兩個平行測驗卷測量同一組被試所得結果的一致性程度。但受工作量和時間限制，暫無法實施檢驗，留待后續進行。

（二）測試程序的組織

本研究選取N 市3 所小學及F 市1 所小學，共計152名一年級小學生作為研究對象（如表2）。其中，D 小學為農村小學，整體教育教學水平相對較低，盡管該校學生在測試時已經正式學習過相關內容，但其數感發展的平均水平仍未超過其他3所小學。由此可見，雖然本次測試由于某些客觀原因，在施測時間和地點上有一定的局限性，但測試結果并未受到較大的影響。

表2 一年級新生數感發展水平研究對象統計表

（三）測試數據的處理

在全面評估同維度各項相關任務的基礎上，以主要任務數據為準則、輔助任務數據為參照，根據評價框架，對被試在各維度所能達到的最高水平進行評定。達到水平n的被試，記為n分。將評定的被試各維度的水平情況錄入Excel 軟件，并利用SPSS 26.0 軟件對信度與效度進行分析。結果顯示：Cronbach’sα值為0.747，其信度可以接受；KMO值為0.719，結構效度較好，表明因素分析的適切性較為適中。

二、一年級新生數感發展水平的分析

結合描述統計結果，從質的層面作進一步分析。

（一）一年級新生 “數與數量” 的發展水平

在 “感數” 維度，被試的發展水平總體集中于水平3 和水平4。其中，0.66%的被試僅達到水平1，無法具體回答看到了 “幾個” 小圓點，只能感知 “多” 與 “少” ；6.58%的被試達到水平2，只能識別數量為3個的小圓點集合；39.48%的被試達到水平3，能直觀感知并識別數量為5 個左右的小圓點集合；33.55%的被試達到水平4，能采用簡單的分組策略，識別數量為20 個以內的小圓點集合，如將7 個小圓點分成 “5 個” 和 “2 個” 或 “4 個” 和 “3 個” 兩部分；17.76%的被試達到水平5，能采用跳數策略識別數量超過20個的點集；1.97%的被試達到水平6，能采用分組策略快速識別，知道 “5個10是50” 。

在 “計數—數詞” 維度，所有被試都能從數詞序列中分化出單個數詞。其中，13.16%的被試達到水平2，無法從指定起點開始數或只能停于指定終點；44.74%的被試達到水平3，能較好地把握數鏈的起點與終點；15.79%的被試達到水平4，對自己數了多少個數詞有一定的意識；26.31%的被試達到水平5，能自動轉變數數方向，有意識地、熟練地正數與倒數。

在 “計數—可數實體” 維度，被試的發展水平主要集中于水平5，部分被試的最高水平為水平1 或水平4，無被試的最高水平為水平2 或水平3。其中，6.72%的被試達到水平1，只能數具體（感知）的物體，故無法作答或不能數出被遮擋的小熊；其余被試能擺脫感知單元的依賴，以數詞本身為數數實體，但在回答集合總數時存在一定的偏差，故將其判定為水平4，占9.25%。

在 “基數” 維度，達到水平6 的被試最多，占83.55%，說明被試已能從集合元素個數的意義上來理解基數的含義；達到水平5的被試占1.32%，達到水平4的被試占15.13%，這些被試分別使用最大的數詞和最后一個數詞作為總數。

（二）一年級新生 “數量關系” 的發展水平

在 “比較” 維度，1.32%的被試達到水平1，僅能比較同類積木的相等小集合；6.58%的被試達到水平2，能比較數量較少且尺寸相近的兩個積木集合，多數能采用計數的方式，但由于他們的數量守恒觀念尚未發展，所以無法準確比較尺寸相差較多的兩個積木集合，如誤認為 “大的多” 或 “顏色占得多的就多” ；17.76%的被試達到水平3，具備數量守恒觀念，且多數能采用計數方式進行比較。在實物集合比較的基礎上，12.50%的被試達到水平4，能比較兩個數字的大小，但僅限于一位數；61.84%的被試達到水平5，能準確比較兩位數的大小。需要注意的是，水平1 至水平3 的被試表現出較強的過渡發展趨勢，部分被試雖不能比較實物集合的數量，但能準確比較一位數和兩位數，這可能與家庭和幼兒園的數學幼小銜接教育有關。

在 “數序與序數” 維度，5.92%的被試達到水平1，無法對不同大小的圍棋子集合進行排序；15.79%的被試達到水平2，能對不同大小的圍棋子集合進行排序，但無法區分諸如 “3顆棋子” 和 “第3顆棋子” 哪個是基數哪個是序數；20.40%的被試達到水平3，能準確指出某一圍棋子是一排圍棋子中的第幾顆，但無法準確地將一顆圍棋子插入其中某一特定位置；5.26%的被試達到水平4，能很好地完成序數放置任務；超過半數的被試達到水平5，能理解數量序列關系中的傳遞性和可逆性。

在 “估計” 維度，3.29%的被試達到水平1，能大膽猜測數量，雖出現空間范圍估計傾向，但常使用不切實際的大數或小數進行估計，且無法說明理由，如看見一整盤圍棋子（60顆）就認為 “這么多應該有100 顆” ，看見比前一盤多時只多估1 顆（實際多10 顆、15 顆、30 顆不等）；28.29%的被試達到水平2，能根據圍棋子所占空間大小匹配較為合適的數量，但仍超出既定范圍；47.37%的被試達到水平3，其估計結果較為合理，且能將估計值與心理數線上的一定范圍建立聯系；21.05%的被試達到水平4，能運用基準或分組策略進行估計，如 “感覺比30多2個10” 。

（三）一年級新生 “數的運算” 的發展水平

在 “分與合” 維度，約半數的被試達到水平2，能在 “分圍棋子” 的任務中理解圍棋子集合之間數量的等量、互補、互換等關系，但無法給出恰當的解釋，也無法全面呈現 “8 顆圍棋子” 的所有分解形式。22.37%的被試達到水平3，能全面呈現所有分法。25.00%的被試達到水平4，能從抽象層面全面呈現一個數的所有分解形式。在該水平對應任務的測試中，能明顯觀察到被試 “受訓練” 的痕跡。據不完全了解，部分被試在幼兒園或幼小銜接階段接觸過這類題目。一些學生在填寫時會默念如 “7可以分成1和6” 的口訣；有的學生知道 “7的分合有6種（比7 少1）” 的規律，但解釋不清；有的學生能規范有序地依次填入 “1、6” “2、5” “3、4” “4、3” “5、2” “6、1” ；有的學生雖能準確填寫，但不知道為什么這樣填。因此，筆者一方面為學生超前的表現感到驚喜，另一方面也反思這樣的銜接是否過于重視知識點本身，而忽略了知識背后的道理。

在 “加減法” 維度，少數被試達到水平1，不理解加減運算的情境而隨意作答；25%的被試達到水平2，基本采用數全部的方式得到加減計算的結果；45.39%的被試達到水平3，能通過任意數的方式進行計算；28.29%的被試達到水平4，能較為熟練地運用諸如 “湊十法” 、根據已知算式推算、交換加數位置等推論性策略展開計算，如由 “13+14=27” 推算得到 “14+13=27” 。

在 “非正式乘除法” 維度，被試的發展水平主要集中在水平2，尚無被試達到水平4。其中，24.34%的被試達到水平1，無法理解乘除運算的情境而隨意作答；71.05%的被試達到水平2，能通過在情境圖上進行圈畫或實物操作得出結果，如 “將每3 支鉛筆分為一組，共4 組” ；4.61%的被試達到水平3，采用同數加減的策略進行計算，如通過 “3+3+3+3=12，加了4個3” ，知道 “共需4個筆筒” ；暫無被試直接依據 “4個3是12” 得出結果，故無人達到水平4。

根據上述分析，一年級新生具有超出預期的認知起點，因此本單元知識可以也應當作為培養數感的載體，以避免知識的簡單重復，使學生在了解、理解、掌握甚至運用部分知識的基礎上，根據各自原有的認知水平，實現更大程度的發展。同時，測試中表現出的薄弱點可以確定為本單元學習的難點，如難以區分基數和序數等。

三、 “0～9數的認識” 單元學習心理過程的建構

在一年級新生數感發展已有水平的基礎上，預設其學習心理過程的階段及具體表現。

（一） “0～9數的認識” 單元學習心理過程建構的基礎

首先，根據皮亞杰兒童認知發展階段理論，新知的學習應以學生現有認知水平為起點，即以數感發展水平的測試結果為基準。其次，單元知識結構決定了學習內容及其教學方式，為開展學習活動提供了方向。最后，以建構主義為基礎的APOS 理論適用于數學概念的學習，探討數學學習的心理結構與心理機制。其中，心理結構由低到高分為活動（Action）、程序（Process）、對象（Object）、圖式（Schema）四個層次；心理機制則是促進心理結構形成的方法，包括內化、壓縮、解壓、協調、逆轉等。［8］74

值得注意的是，數學學習心理結構的建立并非簡單的線性過程，而是在 “程序” 與 “對象” 的交替前進中螺旋上升的環形進程。當 “程序” 被壓縮成 “對象” 時，存在反向解壓的潛在過程，即還原為先前的 “程序” ，并協調其他 “程序” 形成新 “對象” ，或逆轉為具有相反意義的新 “對象” 。綜上所述，APOS 理論提供了三種學習新知的方式，即 “活動—程序—對象” “兩對象—兩程序—相互協調的程序—新對象” 和 “對象—程序—逆轉后的程序—新對象” （如圖1）。［8］76

圖1 基于APOS理論的數學知識建構過程

（二） “0～9數的認識” 單元的學習心理過程

APOS理論只是提供了數學知識建構的一般心理過程，下面將結合 “0～9 數的認識” 單元的具體學習內容以及學生實際情況，將知識結構轉化為心理結構，并預設相應的學習活動，從而將知識邏輯轉化為學習邏輯（如表3）。

表3 “0～9數的認識” 單元的學習心理過程

上述學習心理過程預設為教學設計提供了參考：階段1為課前學生的準備狀態；階段2到階段3的重點是從現實背景中抽象出數，初步理解數0～9的基數、序數的含義；階段4 重點掌握0～9 數的順序；階段5 到階段6 重點掌握0～9 數的大小比較；階段7到階段8重點掌握0～9數的分解與組成；階段9 到階段11 重點掌握0～9 數的加減運算；階段12 回顧并整體建構 “0～9 數的認識” 單元知識結構；階段13 則強調靈活運用所學知識解決實際問題。由于這一學習心理過程預設并未涵蓋數的讀寫、階段性練習與復習，因此在實際教學中，教師應根據實際情況適當添加相關活動，將其穿插于各階段之間。

通過對一年級新生的數感發展水平進行診斷，并據此預設 “0～9 數的認識” 單元的學習心理過程，為設計單元整體教學奠定了基礎。