問題鏈驅動：讓思維向更深處漫溯
—— “正方形數的學問” 的教學實踐與思考

□鮑善軍 鄭書娟

問題解決的核心是問題，本質是為了發展學生的思維。教師要精準把握數學知識的本質和學生思維的特點，以核心問題為統領，通過精心設計環環相扣的問題鏈，引導學生主動參與、深入探究和遷移建構，促進他們的思維逐步向縱深推進。

問題鏈驅動的 “正方形數的學問” 的教學借助直觀的點圖，圍繞 “什么是正方形數” “正方形數有什么變化規律” “正方形數之間有什么關系” 三個核心問題展開。教學時，教師要聚焦正方形數，通過遞進式問題鏈，引導學生親身經歷探究過程，使他們能夠主動建構正方形數的概念，并發現其中蘊含的規律以及相互之間的聯系。如此教學，不僅有助于將學生的思維推向更深層次，而且能夠幫助他們積累解決問題的思維經驗，進而提升他們的高階思維水平。

一、以啟動性問題激活學生思維，建構正方形數的概念

數學概念不僅是數學學習的核心內容，還為后續學習提供了關鍵基礎。教師應遵循學生學習概念時的心理過程，有意識地化靜態為動態、化抽象為形象，以啟動性問題激發學生的學習內需，激活學生的數學思維，促使學生在探究解決問題的過程中建構數學概念。

（一）借助直觀想象，建立正方形數的表象

幾何直觀是理解和掌握問題本質的重要手段，能夠清晰地揭示學生的思維過程。將 “點圖的形” 與 “正方形數” 建立聯系，是激發學生思維的有效方式，對于學生正方形數概念的學習具有至關重要的意義。

【教學片段1】

生：可能是長方形、7字形或者三角形。

師：繼續想象，表示數 “4” 的點圖又會是什么樣的圖形呢？

生：可能是長方形、正方形、7字形或者Z字形。

師：這幾個數中，哪個數的點圖可以拼成正方形？

生：數 “4” 的點圖可以拼成正方形。

師：誰愿意上臺來擺擺看？

師：像數 “4” 這樣，點圖能拼成正方形的數，我們稱之為正方形數。（板書：正方形數）如果用一個算式來表示數 “4” 這個正方形數，你們覺得哪個算式最合適呢？說明你的理由。

生：可以用算式 “2×2” 來表示。就像我們看到的這個點圖，無論是上下看還是左右看，都是由2個2組成的。

師：數 “4” 的點圖上下看和左右看都是2 個2，用 “2×2” 來表示再適合不過了。

教師通過引導學生觀察從數 “1” 的點圖逐步擴展為數 “2” “3” “4” 的點圖的過程，幫助學生發現數 “4” 的點圖可以拼成一個完整的正方形。這一過程有助于學生在實踐中初步建立對正方形數概念的感知和理解。

（二）通過操作活動，認識正方形數的特征

小學生天生具備好奇心，喜歡探究事物的內在原因。為此，教師應先讓學生初步感知概念，在此基礎上引導學生提出問題并嘗試解決。然后，讓學生通過拼一拼、畫一畫等操作活動展開探究，由此產生新問題，拓展新思維，從而提升發現和提出問題、分析和解決問題的能力。

【教學片段2】

師：剛才我們找到了一個正方形數 “4” 。對此，你有什么問題嗎？

生：只有數 “4” 這一個正方形數嗎？

生：還有什么數的點圖也可以拼成正方形？

師：你們提出的問題很有價值，接下來，讓我們一起來探究這些問題。

教師出示活動一：1～10 中還有沒有其他像 “4” 這樣的正方形數？

（1）想象：這個新正方形數的點圖會是什么樣的圖形呢？（可以拼一拼或畫一畫）

（2）列式：能不能用一個乘法算式來表示這個新正方形數呢？為什么？

師：經過大家的努力，我們又找到了一個正方形數 “9” 。現在，你認為正方形數有什么特點？

生：正方形數的點圖都可以拼成一個正方形。

生：正方形數都可以寫成兩個相同數相乘的形式。

生：我覺得 “1” 是正方形數，它的算式可以寫成 “1×1” 。

師：你說得很清楚！現在，我們找到了3 個10以內的正方形數，分別是 “1” “4” 和 “9” ，它們分別可以用 “1×1” “2×2” 和 “3×3” 來表示。那如果繼續找下去，下一個正方形數是多少呢？有沒有什么好方法？

生：應該是數 “16” 。因為正方形數都可以寫成兩個相同的數相乘，前面的3個正方形數依次可以寫成兩個1 相乘、兩個2 相乘、兩個3 相乘，所以按照這樣的順序，下一個正方形數就是兩個4 相乘，也就是 “4×4” ，再下一個就是 “5×5” ，以此類推。

師：真棒！現在，我們來看看100 以內的所有正方形數吧。（課件出示100以內的正方形數）這些正方形數都可以寫成兩個相同的數相乘。

教師以 “還有沒有其他像‘4’這樣的正方形數？” 這一問題為引導，激活學生的思維，鼓勵他們主動進行觀察、思考與表達，從而揭示正方形數的本質特征，確立正方形數的概念。在此基礎上，讓學生運用正方形數概念判斷數 “1” 是否為正方形數，進而加深他們對正方形數概念的理解。這樣的學習過程不僅使學生掌握了正方形數的概念，還培養了他們的思維能力和表達能力。

二、以探究性問題發展學生思維，發現正方形數的規律

學生的學習是層進式的、不斷自我完善的過程。教師應為學生提供自主探索的機會，在提煉核心問題的基礎上，運用探究性問題推動學生進行觀察、思考和表達，從而發現正方形數的變化規律，以此促進學生的深度學習，發展學生的高階思維。

（一）以問題為驅動，探究正方形數的變化規律

為了幫助學生積累數學經驗，加深對數學知識本質的理解，實現數學學習的可持續發展，教師教學時應以核心問題為統領，通過設置一系列由淺入深的子問題鏈，逐步引導學生深入思考，使學生的數學思維不斷向縱深推進。

【教學片段3】

師：大家都知道正方形數有 “1” “4” “9” “16” ……那么，從哪個正方形數開始研究比較容易發現其中的規律呢？

生：從最小的 “1” 開始研究比較好。

教師出示活動二：一個正方形數，至少增加多少才能成為一個新的正方形數？

活動要求：

（1）想一想：正方形數 “1” 至少需要加幾才能成為一個新的正方形數？

（2）畫一畫：這個數繼續加幾，又能形成一個新的正方形數？（可以先拼一拼）

（3）說一說：從中你們發現了什么規律？同桌互相說一說。

師：這位同學列了一個算式 “1+3+5+7+……” ，你們能看懂嗎？說說你的想法。

生：這個算式表示 “1” 至少需要加3，才能得到一個新的正方形數 “4” 。接著再加5、加7、加……得到新的正方形數 “9” “16” ……可以看出，每次增加的數都是單數。

師：你是通過列算式來理解的，很有條理。大家還有其他不同的想法嗎？

生：我們是通過畫圖來理解的，每次增加的都是一個 “7” 字形。可以看出，增加的數都是3、5、7、9這樣的單數。（教師用課件出示圖1）

圖1

師：看來，通過剛才的探究，大家已經有了發現。說說看，你們發現了什么規律？

生：我發現單數的和就是正方形數。

生：我不同意，如果是 “1+5+7” 這樣的單數和就不是正方形數，要強調是連續單數的和才行。（教師用課件出示圖2）

圖2

生：我還有補充。只有從1開始連續單數的和才是正方形數。像 “3+5+7” 這樣的單數和就不是正方形數。（教師用課件出示圖3）

圖3

師：你們真會思考！這樣，我們發現的規律是 “從1開始連續單數的和就是正方形數” 。

教師圍繞核心問題精心設計了三個子問題，并以子問題鏈驅動學生運用正方形數的概念進行自主探究，最終歸納得出結論。在這一過程中，學生不僅對數學思維和數學語言的嚴謹性有了深切體會，還積累了數學活動經驗和思維經驗，發展了空間觀念和推理意識。

（二）使數形相結合，感悟正方形數的變化本質

在探究正方形數的變化規律的過程中，有學生觀察到：在從1開始遞增的序列1、3、5、7、9……中，相鄰兩個數之間相差2。對于這個似乎無足輕重的細節，教師并沒有想當然地輕易放過，而是在學生歸納出正方形數的規律后，順勢追問： “每次增加的數之間都相差2，這個‘2’能在點圖中找到嗎？” 這就把學生的思維再一次推向更深層次。隨后，教師運用課件（如圖4）動態演示正方形數的變化過程，引導學生以形驗數、以數表形。學生自然能夠得出：每次增加 “7” 字形，都要在前一個 “7” 字形的兩端各加一個點圖，這就是算式中的相差數 “2” 。

圖4

對數學規律的學習不能僅局限于發現、表達和總結，教師還要通過適當的質疑，引發學生新的思考，引導學生探究現象背后所蘊含的深刻意義。這種數形結合的教學方法，不僅能激發學生的探究精神，還能幫助他們揭示正方形數變化的本質規律，從而完善他們的認知結構，培養他們思維的深刻性品質。

三、以延伸性問題拓展學生思維，深化對正方形數的理解

數學學習的核心在于有效解決實際問題。為此，教師要設計延伸性問題，引導學生運用所學知識解決真實情境中的數學問題，從而實現學生對數學知識的再認識、再理解和再建構，同時拓展學生的數學思維。

（一）經歷 “數學化” 過程，揭示正方形數之間的關系

“數學化” 是指從實際問題中抽象出數學知識，或者從 “較低級” 的數學知識中抽象出 “較高級” 的數學知識。在這一過程中，教師需要引導學生通過 “做中學” 自主發現和解決問題，同時建構和運用數學知識，從而再現數學知識的形成過程。

【教學片段4】

教師出示活動三：至少要有幾個相同的正方形數才能拼成一個新的正方形數？

（1）猜想：想象新正方形數的點圖。

（2）驗證：我選擇方式（ ）驗證猜想。

A.用點圖拼一拼 B.在大點圖（20×20）中畫一畫 C.直接列算式說明

生：我猜是4 個。我是用拼點圖的方式驗證的。4 個 “1” 可以拼成正方形數 “4” 。（用課件動態出示圖5）

圖5

生：我猜也是4個。我是通過在大點圖中畫一畫來驗證的。4個 “1” 可以拼成一個正方形數 “4” ；接著把 “4” 看成一個整體，4 個這樣的正方形數又可以拼成一個新的正方形數 “16” ；然后用同樣的方法，可以再拼出正方形數 “64” ，以此類推。（出示學生作品，如圖6所示）

圖6

師：將正方形數看成一個整體，真是一個好方法，一目了然。還有同學要說說自己的方法嗎？

生：我是直接列算式的。1×4=4、4×4=16、9×4=36、16×4=64、25×4=100……只要將正方形數乘4，就能形成一個新的正方形數。

師：為你們的智慧點贊！我們通過拼一拼、畫一畫或列算式的方法，都可以得到這樣一個結論：至少要有4 個相同的正方形數才能拼成一個新的正方形數。

在這一過程中，學生經歷了一系列由猜測與想象、驗證與發現構成的 “數學化” 過程。如此教學，既深化了學生對正方形數的理解，又將數學學習從知識理解層面延伸至解決問題層面，通過促進多元化的數學表達，體驗多視角的策略方法，提升了學生解決問題的能力。

（二）設計 “破勢性” 問題，拓展數形結合研究的視野

在總結回顧正方形數的學習過程之后，教師適時引入古希臘數學家畢達哥拉斯開創的數形結合研究方法，并提出 “點圖中只有正方形數嗎？” “你們還想研究點圖中的什么數？” 等問題。這些問題能引導學生轉換思考角度，以全新的數學視角來觀察和發現點圖中蘊含的更深層次的學問。教師通過這種方式，巧妙地設計了一系列具有啟發性和引導性的問題，以幫助學生突破思維定式，激發他們的探索精神和求知欲。

綜上所述，教師在教學過程中精準地提煉了關于 “正方形數” 的三個核心問題，并精心設置了一個具有邏輯關聯的問題鏈。由此，驅動學生開展模塊化的學習探究活動，促使學生的數學思維向更深處漫溯，從而幫助學生積累解決問題的經驗，發展學生的數學核心素養。