深度學習的驅動要素

鄭金賓 吳婷婷 杜華

【作者簡介】鄭金賓，正高級教師，天津市第一百中學教科處主任，研究方向為高中數學教學；吳婷婷，二級教師，研究方向為高中數學教學；杜華，高級教師，研究方向為高中數學教學。

【摘 要】本文以“余弦定理”一課的教學為例，針對學生數學學習的現狀，對深度學習的驅動要素進行研究，闡明了學科觀念、情境、問題、任務、活動、評價等驅動要素的內涵及操作策略，對在課堂上如何驅動學生進行深度學習，促使學習真正發生，發展學生的數學核心素養進行了探索。

【關鍵詞】深度學習；驅動要素；余弦定理

深度學習以學科核心素養為導向［1］，指向學生關鍵能力、必備品格與正確價值觀念的形成，是學生有意義的學習過程。深度學習并不是學生天生就會的，也不是學生能夠自發實現的，需要教師充分考慮教情、學情，從教學的諸要素及其結構出發，設計恰當的學習環節驅動學生深度學習的發生。從某種意義上講，深度學習驅動程度的強弱，決定了深度學習達成效果的好壞。

一、觀念驅動

觀念是行動的先導。學科觀念是學生學習的方向，它對于學生了解問題的背景、緣由、目標導向，明確知識的來龍去脈，學會發現與提出問題，實現進階式目標具有重要意義，有助于學生掌握知識背后的結構、聯系、規律，形成知識與經驗的結構化。缺乏學科觀念的教學，勢必是零散的、碎片化的，容易導致機械解題、盲目刷題的知識本位教學，無法實現知識的應用與根本性遷移，知識能力、道德價值與力量升華也無從談起。觀念驅動功能的發揮取決于學生的數學思維與現實思維切換的程度，對數學學科價值的認同程度等，這關鍵在于教師學科觀念教學的設計與實施水平。深度學習視角下的觀念驅動就是要基于學生已有概念系統中的經驗和學科知識本質，以數學核心概念為統領，從學科觀念出發，給學生強有力的意識引領，對學生進行潛移默化的科學精神、理性思維熏陶，從整體上把握學科知識的內涵，凸顯學科知識間的結構、關聯和規律，解決好“學什么”“為什么學”“怎么學”“學到什么程度”等問題，實現課程內容的結構化，體現學科育人價值，讓深度學習在課堂上真正發生，實現“教是為了不教”的目的。

數學是研究空間形式與數量關系的一門科學［2］。“余弦定理”刻畫了任意三角形中的邊角關系，是三角函數知識和平面向量知識在三角形中的具體運用，為解三角形提供了基本而重要的工具。為什么要探究一般三角形中的邊角關系？如何探究一般三角形中的邊角關系？對于多數學生而言，沒有形成明確的思想認識、有效的思維方法和一般的學科觀念。用學科觀念驅動“余弦定理”的深度學習，就要從學習余弦定理涉及的概念、原理、方法、觀念出發，觸發學生的深度認識。如，數學研究對象既需要定性研究也需要定量研究，那么三角形如何進行定性研究？在定性研究的基礎上，又該如何進行定量研究？三角形與哪些數學知識有關聯，它們能為三角形問題的解決提供哪些支撐？這些學科觀念能夠迅速激發學生學習的興趣，促使學生主動探究、深入思考，提升理性思維。

二、情境驅動

情境是學科觀念的載體。好的情境能激發學生的求知欲，誘發學生思考，引發學生自主探究、挑戰問題，培養科學精神。好的情境需要真實，脫離了真實性情境的數學學習就會變成“干巴巴”的數學符號的堆砌。淺層學習往往只關注情境本身，而深度學習則關注情境中蘊含的學科本質屬性。情境設置的目的不僅僅是去解決情境中的具體問題，更主要的是在問題的解決過程中生發新的數學概念、方法、原理與觀念。情境不能是擺設，情境驅動功能的發揮取決于情境能否契合學科觀念的培育，契合學科核心概念的形成，契合學科原理的發現，契合學科核心素養的發展。深度學習視角下的情境驅動就是要基于學生學習的現實，從知識內容的邏輯體系出發，真實地再現與學生學習相關的真實世界，指向關鍵問題，找到數學元素，發現數學主題，提煉數學概念，捕捉數學關系，形成數學結構，欣賞數學美感，彰顯數學觀念。同時，要關注學生個體行為的即時反應，強調學生個體意識的深度介入，激活學生的知識儲備，喚醒學生的活動經驗，實現學生知識與經驗的相互轉化。

三角形源自現實世界，因此“余弦定理”的教學情境必須是真實的。在余弦定理的學習中，多數學生缺乏由定性研究到定量研究的能力。為了強化定量研究的學科觀念，可以設置以測量為目標的真實情境：

如圖1，某隧道施工隊為了開鑿一條山地隧道，需要測算隧道的長度。工程技術人員先在地面上選一適當的位置C，量出C到山腳A，B的距離，其中CA=3km，CB=1km，再利用經緯儀量出C對山腳AB的張角∠BCA=150°，請回答：隧道AB的長度能否確定？如果能夠確定，如何求出其長度？

情境中至少包含以下信息：其一，利用邊角邊可以判定三角形全等，這個三角形是唯一確定的；其二，三角形的其他元素與給定的元素具有一定的數量關系；其三，研究這種數量關系具有重要的現實意義。這樣的情境創設容易激發學生的深度思考，驅動學生深度聯系所學知識，那么對三角形邊角關系的探究便呼之欲出了。

三、問題驅動

數學是思維的體操，思維需要問題來驅動，問題在情境中產生。通過真實的情境，提出合適的數學問題，促進學生思維的進階，培養高階思維，是深度學習的必由之路。在課堂教學中，教師都會提出問題，但為什么有些問題不能驅動學生的深度學習？因為這些問題往往是點狀的、孤立的，教師滿堂問，學生隨意答，問題缺乏挑戰性、探究性、啟發性，沒有將問題的驅動功能發揮出來。問題驅動功能的發揮取決于問題能否有效調動學生進行知識的關聯，能否有效啟發學生進行知識的多維整合，能否激發學生開展深度的分析、評價、創造等思維活動。深度學習視角下的問題驅動就是要在真實情境中建構數學問題，設計體現主題情境的核心問題，并將其分解為縱橫關聯的子問題串，建立相應的問題框架，建構明晰完整的以主問題為核心的問題體系。以問題為支架，引導學生積極參與知識“探”的過程，弄清是什么；積極參與知識“究”的過程，弄懂為什么；積極參與知識“用”的過程，學會怎么用；幫助學生“思”有來龍、“想”有去脈、“用”有所屬，提升數學思考力和實踐力。［3］

“余弦定理”的核心是“在三角形中根據兩邊及其夾角求出第三條邊”，為解決此核心問題，可以將其分解為如下子問題串：

子問題串1 用平面向量方法解決數學和實際問題的“三步曲”是什么？在△ABC中，如何用向量表示問題中涉及的幾何元素？這些向量之間有什么內在的聯系？

子問題串2 利用“三角形回路”[CB]-[CA]=[AB]，欲求[AB]，應該如何設計運算方案？這種運算與平面向量的什么知識有關？它的運算特點是什么？它的優越性體現在什么地方？運算結果是什么？你還能用其他方法得出余弦定理嗎？

子問題串3 你能用恰當的數學語言表示運算結果嗎？（如文字語言、圖形語言、符號語言等。）余弦定理中的三條邊具有什么特性？勾股定理與余弦定理有什么關系？如果已知三角形的三條邊，能否確定三個角？

子問題串4 利用余弦定理及其推論可以解決哪幾類解三角形的問題？其他類型的解三角形問題能否應用余弦定理及其推論去解決？余弦定理的優勢和劣勢分別在哪里？

子問題串5 余弦定理與三角形、余弦函數密切相關，你能想到哪些相關性？利用三角函數，你還能把三角形中的哪些定性結論變成可定量計算的數學表達式？依據是什么？

這樣，以問題為驅動，通過“情境—問題化”“問題—模型化”的“水平數學化”過程，學生圍繞核心問題，在解決循序漸進的子問題串的過程中，實現了知識進階、思維進階、能力進階。

四、任務驅動

問題的解決是以學習任務為載體來實際推動的。產生了數學問題，不等于就產生了能夠驅動學生學習的推動力，這需要學習任務去驅動。實際上，在教師的教與學生的學之間橫亙著一條條“鴻溝”，如學生應該達到的水平與實際水平的差距，教師想要教給學生的知識與學生實際接受水平的差距，教師教知識的方式方法與學生實際參與程度的差異等。因此，特定的學習任務要成為幫助學生跨越這些“鴻溝”的橋梁。但是，在某些數學課堂上，學習任務不能緊密結合學情，不能將數學學科核心素養與具體數學內容結合起來，學生不知道自己該做什么以及完成的標志是什么，任務往往缺乏連貫性，學生疲于應付各種學習任務，對于學習任務背后的數學方法與核心觀點不能深入觸及。深度學習視角下的任務驅動就是要基于數學問題解決的需要，結合真實情境，設計能夠承載學習目標的核心任務，再結合學生的學習基礎、學習習慣，將核心任務分解成若干個子任務。任務要具有挑戰性、開放性、綜合性和關聯性，子任務間要進行結構化銜接，學生以完成可視化、共享化的學習成果為標志，在子任務完成過程中探索和解決數學問題，實現數學核心素養的發展。

如子問題串4對應的子任務的設置要以余弦定理的遷移應用為目標，讓學生在不同情境中完成學習任務，在聯系、加工、處理、轉換過程中，實現要點弄通、多點聯通、觸類旁通。

1.在△ABC中，已知b=3，c=1，A=60°，求a。

2.在△ABC中，已知a=3，b=5，c=7，求cosB。

3.在△ABC中，已知a=3，b=5，c=7，求△ABC最大內角的余弦值。

4.在△ABC中，已知a=3，b=5，c=7，判斷△ABC的形狀。

5.在△ABC中，已知b=3，c=[23]，A=[[? 6]]，解三角形。

6.在△ABC中，已知AB=9，BC=7，AC=8，求AC邊上的中線長。

五、活動驅動

任務的完成需要在活動中實現。數學教學是活動的教學，這一點已經得到廣大數學教師的認同。然而，在實際教學中很多教師會用學習的部分活動代替學生完整的學習活動，如讓學生從教材中找相應的知識點進行填空來代替學生的自主學習，讓學生通過小組合作、討論交流、組長展示、總結點評來代替數學探究、數學創新活動，讓個別學生的展示活動來代替全體學生的學習活動，用識記、理解、應用等低階思維活動來代替分析、評價、創造等高階思維活動等。學生的學習活動不能走過場，要避免標簽化、簡單化，要體現結構化、主體性、階梯性。［4］深度學習視角下的活動驅動就是要基于學習任務的高質量完成，結合學習任務設計符合學生實際的學習活動，激發學生的主體參與意識，促使學生以主體的身份參與學習活動；設置完整的深度加工學習鏈條，激活學生學習的興趣，引發認知沖突；引導學生建立知識間的關聯，形成有效聯結；在新的情境中遷移應用，解決新的問題；以批判性的眼光審視數學現象，進行辨別、辨析、辯論；模擬社會實踐的真實情境，在應用情境中解決實際問題，并產生新的待探索的問題。由此，把握數學學科本質，培養“四基”，提升“四能”，實現“三會”，發展核心素養。

如為完成子問題串5的學習任務，學習活動的設計要充分發揮學生的主體性，讓學生以余弦定理為支點撬動三角函數綜合應用能力的提升。

【讓學生說】你還能想到三角形中的哪些關系？（在三角形中大邊對大角，任意兩邊之和大于第三邊，內角和為180°，任意兩個角的和小于180°等。）

【讓學生想】如果a＞b，那么sinA與sinB、cosA與cosB的大小能確定嗎？三角形的內角和定理在三角函數的化簡中有什么作用？根據0＜A+B＜，能得到關于A、B的什么樣的三角函數關系式？

【讓學生寫】你能轉化出哪些可以定量計算的式子？［由a＞b推出cosA＜cosB，由sin（A+B）=sinC，cos（A+B）=-cosC，tan（A+B）=-tanC，0＜A+B＜，推出cosA+cosB＞0等。］

【讓學生交流】這些結論從其他側面反映了三角形中的邊角關系，將這些定性問題轉化為定量問題所依賴的數學思想方法是什么？（利用三角函數的單調性、誘導公式進行轉化，體現了對應思想、函數思想、數形結合思想等。）

以上學習活動的開展，深化了三角形與三角函數的聯系，同時為正弦定理的學習埋下伏筆，有助于新結論的發現，助推學生的思維由單點結構向多點結構進階，由多點結構向關聯結構、抽象拓展結構進階。

六、評價驅動

教、學、評應該是一體化、一致的。教、學、評一體化是深度學習的內在要求與具體體現，是落實學科核心素養的關鍵。缺少了教學評價，教師的教就失去了靈魂與價值，學生的學就失去了意義與方向。［5］在有些課堂上，教、學、評一體化并沒有真正落實好、實施好，關鍵原因是評價并沒有真正發揮作用。教師只顧著教，學生只忙著學，評價與教、學割裂開來，評價的導向、診斷、調節、激勵、管理、發展、甄別、鑒定等功能沒有得到充分發揮，這樣反而容易導致教師教得不深，學生學得不透。在評價主體上，往往注重教師的作用，而忽視學生自身、同伴、小組、班級、家長、社區、社會等主體的作用；在評價內容上，往往注重評價學生知識掌握的程度，而忽視對學生能力提升、情感體驗、價值觀念的評價；在評價方式上，往往注重教師點評，而忽視學生自評、同伴互評、小組評價、家長評價、社區評價等方式。深度學習視角下的評價驅動就是基于教、學、評的一致性，利用評價對學生產生積極促進和正強化，突出教學評價的多元化實施，同時要注重教師評價的提問方式、語言組織方式、交流工具、反饋方式的選擇與使用，圍繞數學主干知識、核心概念、核心問題、核心任務、中心活動，以一以貫之的評價指標開展持續性、一致性、全程性的教學評價。深度學習的評價強調過程性評價，突出數學思想方法、思維方法、研究方法、學科觀念的連貫性，從而促進學生數學核心素養的階段性、連續性發展。

為評價學生余弦定理的學習效果，可以設置如下評價活動，以此引導學生再一次審視余弦定理的來龍去脈，深層次揭示余弦定理的數學本質，引發學生對定性研究到定量研究的深度思考，激發學生的深層次學習思考與體驗，促進學生主動求學、真學、深學、樂學。

1.請每位同學課后查閱相關資料，了解余弦定理的發展史，寫成一個數學故事，在班級學習園地展示交流。

2.用不同的數學語言敘述余弦定理，并嘗試用多種方法證明，寫成數學小論文，并在班級進行展示分享。

3.思考“為什么不能用邊邊角判定三角形全等”，舉出具體例子加以演算說明，并利用圖形進行解釋，小組內互評。

總之，深度學習需要驅動。觀念、情境、問題、任務、活動、評價是深度學習驅動的核心要素，也是基于核心素養發展的課堂教學的重要抓手。深度學習從來都不是空的，深度學習的驅動更需要從教學中的每一個環節入手用心實施。

參考文獻：

［1］劉月霞，郭華.? 深度學習：走向核心素養［M］. 北京：教育科學出版社，2018：7.

［2］中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020：1.

［3］羅增儒.? 數學素養課堂落實的思考［J］. 中小學課堂教學研究，2020（11）：3-6，31.

［4］鄭金賓，鄭成鸞，趙維亮.? 以“任意角”為例看深度學習之“深”［J］. 中學數學雜志，2023（9）：31-34.

［5］張維忠，江漂.? 素養導向的數學核心素養評價：《義務教育數學課程標準（2022年版）》的新變化［J］. 中小學課堂教學研究，2022（7）：1-3，7.

（責任編輯：潘安）