小學數學建模的基本過程與實施要領

陳萍莉

【摘 要】文章以“一支鉛筆能寫多少字”為例，分析數學建模的背景和目的，闡述數學建模的基本過程，包括問題的提出、建立數學模型、模型求解、模型驗證和結果分析，總結研究結果，并對小學數學建模的未來發展提出展望。

【關鍵詞】小學數學建模 數學模型 模型求解 模型驗證

數學建模及教學研究在大學開展得較多，在中學開展數學建模還處于探索階段。在小學階段研究數學建模是否可行？如何讓數學建模在小學數學教育中扎根呢？我們首先得分清什么是數學建模，什么不是數學建模。

一、什么是小學數學中的建模活動

所謂數學建模，就是將數學應用于現實世界的一個過程，它始于一個數學課堂以外的真實問題。我們來看這樣一個問題：

學生正在學習一個加法算式——“6+3”，教師通常會添加情境，例如：“如果小明有6塊椒鹽卷餅，小紅有3 塊椒鹽卷餅，那么他們加起來一共有多少塊椒鹽卷餅？”

雖然這道應用題把物品與加法聯系了起來，但它并不是一個建模問題，理由有二∶首先，對學生來說它沒有內在的價值或意義，除了為了完成作業而解答這個問題，學生為何要關心小明和小紅有多少椒鹽卷餅呢？其次，這道應用題自始至終都是封閉的。盡管學生可以用不同的方式解答這個問題，如畫圖計數或寫一個算術表達式并求值，但所有必要的數據都是明確給定的，并且僅有一個正確解答。所以，情境問題不等于建模。

讓我們來探討一下如何將這個應用題轉換成一個數學建模問題，且能夠使學生參與到整數加法運算當中。為了讓學生更好地融入情境，我們可以讓學生想象他們正在為各自的家庭準備野餐，并且他們得決定需要準備多少椒鹽卷餅。學生需要考慮很多事情并問自己很多問題。比如：家里有多少人？其中多少人會參加野餐？每個人可能想吃多少塊椒鹽卷餅？有人有飲食限制嗎？野餐中還有多少其他食物呢？

學生要對問題情境作出假設，他們在上述問題上的努力至關重要，會改變問題的答案。不過，當他們回答了這些問題并作出假設后，他們仍然需要完成整數加法計算。這樣便有了一個小小的變化，讓學生對情境進行思考，并決定“什么數要相加”，甚至是“有多少數要相加”，這樣便將一個封閉的問題變成了一個開放式的問題。修訂后的問題不但將學生引入了問題情境當中，而且達到了同樣的數學教學目標。這就是小學數學中的建模活動。

本文以“一支鉛筆能寫多少字”為例，探討小學數學建模的基本過程，介紹數學建模的各個環節和步驟，以期促進小學生學習和應用數學建模。

二、數學建模的基本過程

（一）問題的提出

問題的提出是數學建模的起點，通過明確問題的背景和要求，可以確定研究的方向和目標。問題提出之后，我們要從數學的角度審視問題，再形成用數學解決問題的思路。從數學的角度審視問題是指從數學的角度討論問題的總體目標，分析問題解決的具體任務受哪些因素的影響，對目標的影響因素進行適當量化，然后提出假設，抓住主要因素刪繁就簡，凸顯問題本質。最后結合學生情況，選擇闡述語言，形成用數學解決問題的思路。

（二）建立數學模型

建立數學模型是解決問題的關鍵步驟，要求在真實的條件下通過抽象和理論分析，將實際問題轉化為數學問題。一般有以下三個要求：

（1）查閱文獻資料或征詢專家意見，到問題現場調查或做相關實驗獲得數據。

（2）建立數學模型，闡明數學思想方法，即用數學的知識、方法、思想描述、解決問題。

（3）以學生具備的知識、方法、思想為主，不提倡建立未學的知識和方法的模型。

（三）模型求解

模型求解是對建立的數學模型進行具體計算和求解的過程，通過運用數學方法和工具，得出問題的解答。

（四）模型驗證

模型驗證是對建立的數學模型進行驗證和評估的過程，主要通過與實際情況的對比來判斷模型的準確性和可行性。特別要考慮對假設的檢驗，感悟檢驗的價值。

（五）結果分析

結果分析是對模型求解結果進行解釋和分析的過程。進行結果分析可以幫助學生樹立成果意識；學會反思改進，為將來再做類似的模型提供改進、發展的空間；開闊視野，感悟數學模型是可以解決很多問題的思想、方法、工具。

三、“一支鉛筆能寫多少字”的數學建模實施要領

（一）問題描述

1.數學問題

本活動的主要任務為“研究一支鉛筆能寫多少個字，并能借助語言、圖形、實驗等形式說明解決問題的方案”。其對應的數學問題就是“以部分估計整體”，即根據單位長度寫的字數估算整支鉛筆可用長度能寫的字數，或者根據規定字數所消耗的長度推算整支鉛筆可用長度能寫的字數。

2.影響因素

教師引導學生從自身經驗出發進行觀察和分析，了解學生對影響鉛筆寫字數量的因素的認知基礎。通過探討和分析，學生意識到解決這個問題需要考慮很多方面的因素。進一步分類梳理如圖1。

3.提出假設

教師繼續引導學生思考：這么多影響因素太復雜了，為了便于問題解決，需要通過假設加以簡化——次要因素暫時忽略，比較明確的因素可以先確定下來。例如，根據寫字的要求，筆的硬度規定為HB；再如，調查市面上常見的鉛筆，測量長度，取大多數鉛筆的長度作為鉛筆的總長度等。在此基礎上，學生通過討論達成共識：根據一般學生手掌的寬度來確定不能用的長度，使用統一的田格本來寫字從而大致限制字的大小，等等。通過這些假設，問題化繁為簡了，學生初步體會到假設的作用。在初步嘗試實驗之后，學生發現推算的結果依然有著天壤之別。此時，學生不再是憑直覺和經驗來表達，而是能圍繞影響因素進行深入分析，教師引導學生在討論交流初次實驗過程時再次提出假設，假設削鉛筆的損耗不計，意外消耗的長度保存并記錄在可用的長度里，字的筆畫、字的大小和寫字力度適中，以此來簡化問題。

（二）建立模型并求解

本問題的基本模型為：y=k（x-x0），其中y表示一支鉛筆能寫的總字數，x為鉛筆的總長度，x0為剩下不能寫的鉛筆長度，k表示單位長度的鉛筆能寫的字數。

（三）模型檢驗

1.對比小組研究結果

比較不同小組的研究結果，看是否接近，并反思原因。在此基礎上進一步調整并完善假設，并再次實驗。

2.實際檢驗

實際寫完一支鉛筆（退而次之，至少半支以上的鉛筆），并統計字數。比較真實結果與實驗推算結果，以檢驗模型的正確性。考慮到一個人寫完一支鉛筆實際操作起來比較困難，可以采用全班學生寫接龍日記的方式進行檢驗。具體如下：

材料：一本田格本、一支鉛筆（貼上標簽：班級接龍日記專用，并套上保護套）、直尺、卷筆刀、鉛芯盒。

學生接龍寫字，寫錯用修改標記，不用橡皮擦除。（接龍寫的好處是平衡了每個學生不同的用筆力度、寫字方式等，恰好處理了因為難以定量而通過假設不予考慮的次要因素）

每個學生寫字前后，分別測量一下鉛筆的長度，并記錄。如有折斷，把折斷的鉛芯統一保存。（每個學生都要測量，且折斷的鉛芯都要保存好，這些實驗中過程性數據的留存，更利于反思和檢驗）

全班接龍完成后，統計田格本上的字數、鉛筆使用的長度，并與模型求解的結果進行對比，進一步反思。

（四）結果分析

學生能更好地理解鉛筆的價值并合理使用鉛筆，還能將獲得的方法遷移到現實生活問題中，并通過此模型去探究實驗：

（1）出行時帶多少含量的牙膏合適呢？

（2）沒關緊的水龍頭會浪費多少水？

（3）一個家庭一年要用多少節電池？

（4）一個家庭一年吃多少米？

數學建模就是要把現實生活中的“具體實體”內所包含的數學知識、數學規律抽象出來，形成數學模型，并根據數學規律進行推理求解，得出數學上的結論，再返回解釋驗證，以求得實際問題的合理解決。“一支鉛筆能寫多少字”的問題重在讓學生體驗建模的過程，通過實際情境，讓學生在形成一些簡單的數學模型的過程中，感受數學模型的形成，并能以此模型進行一些簡單的解讀與應用。此活動的探究過程將培養應用數學的意識貫徹在“從實際問題出發，進行觀察、比較、分析、綜合、抽象、概括和必要的邏輯推理，構建數學模型，解決數學問題，從而解決實際問題”的全過程之中，以期學生能將獲得的方法遷移到“一節電池壽命有多長”“一管牙膏能用多久”等現實生活問題中，并通過運用此模型的經驗去探究新問題。

注：本文系江蘇省教育科學“十四五”規劃課題“小學數學項目化學習的校本實踐研究”（批準號為：C-c/2021/02/123）的階段性研究成果。