學生自我探究的一個案例

張曉東 王志和

【摘要】

學生主動提出問題并進行自我探究，終于使問題得以解決.教師及時給予肯定和贊賞，從而引起多位同學的探究熱情，并得到統一的簡潔解決方法.整個案例實施過程中，教師不失時機地進行總結和演講，使得學生群情激昂、思維專注，從而得到兩點啟示.

【關鍵詞】提出問題；解法探究；簡潔證明

1? 探究起源

高三復習到解析幾何綜合題的時候，一天兩位學生找到筆者，說他們有一個驚奇的發現，接著拿出一道例題和一道作業題，即引例1和引例2.

圖1

引例1? 過橢圓x24+y23=1上一點P（1，32）作兩條直線

與橢圓的另一個交點分別是A，B，若PA，PB的斜率和是

0，求證直線AB的斜率是定值.

答案：直線AB的斜率是定值12.解法略.

圖2

引例2? 過拋物線y2=x上一點P（1，1）作兩條直線與

拋物線的另一個交點分別是A，B，若PA，PB的斜率和是

0，求證直線AB的斜率是定值.

答案：直線AB的斜率是定值-12.解法略.

兩位同學說：“我們證明了，對于雙曲線，也有這樣題

目.”他們拿出本子，把雙曲線的題目和作法給我看，兩位

學生很激動.出于鼓勵他們好好學習的想法，我也表現出

激動的神情，并在第二天上課時表揚了這兩位同學善于總

結、努力鉆研的精神.

這天晚上自修課，這兩位同學又到辦公室找到我，說

他們又有新的發現：在如上述引例中橢圓、雙曲線、拋物線的

題目中，過點P的曲線切線的斜率與直線

AB的斜率之和也是0，根據這個結論，因為過點P的曲線

切線的斜率容易求出，就可以預知直線AB的斜率.

我顯示出格外的新奇，我跟兩位同學說，我還沒想過有

這樣的結論，你們太了不起了！但這只是一種猜測，能否有

一般的結論，還要證明.這件事老師就委托你們完成，如果

有好的成果，我們在教室靠門口的展示窗上展出.

2? 探究過程

第二天，兩位學生得到定理1及其證明.

定理1? A，B，C，D是拋物線y2=2px（p>0）上橫坐標互不相同的四點，若kAB+kCD=0，kAC+kBD=0，kAD+kBC=0中有一個等式成立，則另兩個等式也成立（其中kAB表示直線AB的斜率，其余的表示意義相同）.

證明? 不妨設kAB+kCD=0且直線AB與直線CD交于點P，并設P（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），由已知和拋物線特征，可知四邊形ABCD各邊及對角線所在直線的斜率都存在且都不為0，可設直線AB方程是x-x0=m（y-y0），與拋物線方程y2=2px聯立，得y2-2mpy+2mpy0-2px0=0，

則y1+y2=2mp.

因為kAB+kCD=0，可設直線CD方程為x-x0=-m（y-y0），

同樣可得到y3+y4=-2mp.

因而得y1+y2=-（y3+y4），此式可變為y1+y3=-（y2+y4），也可以變為

y1+y4=-（y2+y3）.

kAC=y3-y1x3-x1=y3-y1y232p-y212p，即kAC=2py1+y3，同理kBD=2py2+y4，所以得到

kAC+kBD=0；同樣，kAD+kBC=0.

當點A，D，P重合時（如圖3），便是引例2的猜測情況.

圖3

但類似于橢圓和雙曲線的結論，兩位同學卻陷入僵局，用兩個晚自修時間抽空演算，也沒有實現突破.但巧合的是，第三天拓展內容，筆者給學生介紹了下面的結論1，主要是為學生對解析幾何問題減少計算量提供一個途徑，而且近幾年的高考題和各地模擬題解答中可以多次用到這個結論［2］，沒想到竟意外的為他們成功解決問題提供了助推器.

結論1? 設A（acosθ1，bsinθ1），B（acosθ2，bsinθ2）是橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）上的不同兩點，ti=tanθi2（i=1，2），當A，B都不是左頂點時，過兩點A，B的直線方程是

b（1-t1t2）x+a（t1+t2）y=ab（1+t1t2）.

當a=b時橢圓變成圓，結論也成立；b>a>0時這個結論亦成立.

經過兩個同學思維碰撞，他們終于茅塞頓開，他們得到定理2及其證明.

定理2? 已知橢圓：x2a2+y2b2=1（a>b>0）上有橫坐標互不相同的四點A，B，C，D，若kAB+kCD=0，kAC+kBD=0，kAD+kBC=0這三個等式中有一個等式成立，則另兩個等式也成立.

圖4

證明不妨設kAB+kCD=0.當A，B，C，D中有一個點是左頂點時，不妨設B是左頂點，可知四邊形ABCD是等腰梯形，此時命題成立.以下設A，B，C，D中沒有點是左頂點.設A（acos θ1，bsin θ1），B（acos θ2，bsin θ2），C（acos θ3，bsin θ3），

D（acos θ4，bsin θ4），ti=tan θi2（i=1，2，3，4），則

直線AB方程是b（1-t1t2）x+a（t1+t2）y=ab（1+t1t2），

直線CD方程是b（1-t3t4）x+a（t3+t4）y=ab（1+t3t4），

所以，kAB=-ba·1-t1t2t1+t2，kCD=-ba·1-t3t4t3+t4，

因為kAB+kCD=0，即1-t1t2t1+t2+1-t3t4t3+t4=0.①

整理得，（t1+t2+t3+t4）-（t1t2t3+t1t2t4+t1t3t4+t2t3t4）=0.②

可以看出，②式是關于t1，t2，t3，t4的輪換對稱式.

在t1，t2，t3，t4中任取不同的兩個數，可得形如1-t1t2t1+t2的式子共有C24=6個，兩兩配對，即可得形如①式的等式有三個，亦即②式除能變形為①式外，還有如下兩種變形：

1-t1t3t1+t3+1-t2t4t2+t4=0以及1-t1t4t1+t4+1-t2t3t2+t3=0.

于是由kAB+kCD=0可得kAC+kBD=0以及kAD+kBC=0.

于是定理2得證.

為了證明雙曲線的類似結論，他們證明了如下結論2.

結論2? 設A（asecθ1，btanθ1），B（asecθ2，btanθ2）是雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）

上的不同兩點，ti=tan θi2（i=1，2），當A，B都不是左頂點時，過兩點A，B的直線方程是

b（1+t1t2）x-a（t1+t2）y=ab（1-t1t2）.

證明方法見文獻［2］.

由此得定理3.

定理3? 已知雙曲線：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）上有橫坐標互不相同的四點A，B，C，D，若kAB+kCD=0，kAC+kBD=0，kAD+kBC=0這三個等式中，有一個成立，則另兩個也成立.

證明方法與定理2一樣，此處略.

筆者把這兩位同學的研究結果張貼在展覽窗，并給予贊賞.兩位同學得到了其他同學的熱烈掌聲，因而讓他們信受鼓舞.這件事對他們兩人來說，可能會銘記終身，也可能對他們學業發展起到推波助瀾的作用.

三個定理的統一簡潔證明

第二天上數學課，在講桌的醒目處放著一頁紙，赫然寫著：《三個定理的統一簡潔證明——曲線系方法的運用》.這是一位被稱為數學“學霸”的同學的杰作.

原來昨天晚上在展覽窗展出的文稿，引起了幾位同學的興趣，他們仔細閱讀品位，感覺證明太費周折，于是他們開始思考問題能否有更好的解決方案，最后由一位同學用建立曲線系的方法，給出了三個定理的統一證明，以下先以橢圓情形為例.

證明? 設直線AB：y=kABx+b1，直線CD：y=kCDx+b2，直線AC：y=kACx+b3，直線BD：y=kBDx+b4.現在我們在已知kAB+kCD=0的情況下，來證明：kAC+kBD=0及kAD+kBC=0.

分別把兩直線AB，CD及兩直線AC，BD看成是二次曲線，橢圓經過以上兩條曲線的交點，可設：

（y-kABx-b1）（y-kCDx-b2）+λ（y-kACx-b3）（y-kBDx-b4）=μ（x2a2+y2b2-1），

比較y2項系數得1+λ=μb2.

比較xy項系數，得-kAB-kCD+λ（-kAC-kBD）=0，

即-（kAB+kCD）=λ（kAC+kBD）.③

若λ=0，由1+λ=μb2得μ=b2，由曲線系的構成，可知此時橢圓可以表示為兩條直線AB，CD，不可能，于是λ≠0.這樣，由③式可知：若kAB+kCD=0，則kAC+kBD=0.

若分別把兩直線AB，CD及兩直線AD，BC看成是二次曲線，橢圓經過這兩條曲線的交點，用建立曲線系的方法，同樣可得若kAB+kCD=0，則kAC+kBD=0.

綜上可知命題成立.

用一模一樣的方法，可證定理1和定理3.

教師感嘆：原來千回百轉的證明，經這樣寥寥幾筆就大功告成，真是神來之筆！妙！妙！著名數學家美籍華人張益唐先生推進了孿生素數猜想，把“無限”變到了“7000萬”，而陶哲軒等數學家進一步推進，已經把7000萬變成了246.數學需要猜想，需要創造，更需要簡化和再創造，以讓更多人閱讀和理解.更期待同學們以后在數學上、在科學上有成就，有創造，為祖國的建設和發展做出自己的貢獻.

同學們神采奕奕，意氣風發，有的同學甚至把拳頭握緊并往下一揮，以表示加油的意思.3? 兩點啟示

第一，把握學生創新創意的機會，及時鼓勵、激勵、誘導，讓創新的種子深植于學生的心靈深處，形成質疑、解惑、反思、總結的好習慣，為以后學業發展提供動力源泉.習慣成自然，不失時機的扶植學生創新的火花，學生形成樂于思考、不斷進取的思維品格，將受益終身.

第二，帶著問題聽課，帶著問題學習可能是解決問題的很好機會.筆者提供的結論1目的是當直線點斜式方程使用難以為繼的時候，可以用橢圓上兩點確定的直線的雙參數方程，而且這種雙參數方程在解答問題中很好用［2］，目的是為學有余地的同學登高望遠.其他同學可能是就事論事，想著如何在解題中運用這個結論，而我們的兩位同學是在尋機解決他們提出的猜想，一些蛛絲馬跡都可能引爆他們思維的火花，筆者無意中提供的工具，成為他們思維導火索的燃點，靈感驚現.言者無意，聽者有心.“折磨”他們兩天的猜想終于得到解決，他們激動的心情是任何詞語都難以形容的.這也許是科學發現的一種經歷：帶著問題學習，帶著問題思考，尋芳采獵，艱苦跋涉，不經意間可能有意想不到的收獲.

經查證，文獻［1］中最后的命題15、命題16就是這里的定理2、定理3，文［1］未寫出證明過程.這里由學生自行猜測出結論，引起多個同學的探究熱情，學生自發地拓展了知識視野（如曲線系的方法等），并給出簡單證明，甚是難得.教師的鼓勵和趁機的激情演講，為學生蕩舟學海起到了推波助瀾的作用.

參考文獻

［1］? 楊蒼洲.圓錐曲線的一組優美定值［J］.中學數學研究，2011（12）：32-34.

［2］? 王妍雯，王志和.三角換元辟蹊徑，直線方程換新裝［J］.中學數學雜志，2024（01）：49-52.

作者簡介張曉東（1983—），男，中學高級教師，碩士;區名教師，區學科中心組成員；在市區級教學比賽、論文比賽中多次獲獎;研究方向為高中數學教學，發表論文數篇.

王志和（1962—），男，上海市特教師，正高級教師，上海市園丁獎獲得者；主要研究高中數學教育教學和數學文化，輔導的學生參加數學競賽多人次獲獎，發表文章130余篇.