2024屆高三九省聯(lián)考第18題的探究推廣

黃芳 盧恩良

【摘要】圓錐曲線中的定點(diǎn)問(wèn)題是高考考查的重點(diǎn)，其類型多樣，難度較大.對(duì)2024屆高三九省聯(lián)考數(shù)學(xué)第18題進(jìn)行探究，將試題蘊(yùn)含的結(jié)論推廣到一般情況，并類比探究，發(fā)現(xiàn)橢圓、雙曲線中也有類似的結(jié)論.

【關(guān)鍵詞】圓錐曲線；相交弦；定點(diǎn)

1試題呈現(xiàn)

例（2024屆高三九省聯(lián)考第18題）已知拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)F與l垂直的直線交C于D，E兩點(diǎn)，其中B，D在x軸上方，M，N分別為AB，DE的中點(diǎn).

（1）證明：直線MN過(guò)定點(diǎn);（2）略.

解由題意可知兩條直線的斜率都存在且不為0，故可設(shè)直線l方程為x=ty+1（t≠0），則直線DE方程為x=-1ty+1.聯(lián)立y2=4x，x=ty+1，得y2-4ty-4=0.設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），有y1+y2=4t，x1+x2=4t2+2，則點(diǎn)M坐標(biāo)為（2t2+1，2t），同理得點(diǎn)N坐標(biāo)為2t2+1，-2t.

直線MN的方程為yM-yNxM-xN=yM-yxM-x，令y=0，得

x=xNyM-xMyNyM-yN=2t2t2+1+2t2t2+12t+2t=6t+1t2t+1t=3，所以直線MN過(guò)定點(diǎn)3，0.

本文主要研究試題第（1）問(wèn)，上述解法為通性通法.試題第（1）問(wèn)主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系、相交弦的中點(diǎn)問(wèn)題，考查學(xué)生邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

試題第（1）問(wèn)的解答有兩個(gè)關(guān)鍵.第一是根據(jù)對(duì)稱性分析，直線MN所過(guò)定點(diǎn)必在x軸上，考驗(yàn)學(xué)生邏輯推理和直觀想象素養(yǎng)，明確運(yùn)算方向即為求解定點(diǎn)橫坐標(biāo)；第二是直線MN方程形式的選擇，解法中選用直線的兩點(diǎn)式方程，令y=0，從而求得x=3.試題結(jié)論是否可以一般化？可否進(jìn)行拓展？關(guān)于直線過(guò)定點(diǎn)，有人做了研究［1］.對(duì)上述問(wèn)題，筆者做了深入思考，分享如下.

2結(jié)論推廣

由試題解析可知直線MN過(guò)定點(diǎn)（3，0），將拋物線一般化可得以下命題成立.

命題1已知拋物線C：y2=2pxp＞0的焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)F與l垂直的直線交C于D，E兩點(diǎn)，M，N分別為AB，DE的中點(diǎn)，則直線MN過(guò)定點(diǎn)3p2，0.

證明由題意可設(shè)直線l方程為x=ty+p2（t≠0），則直線DE方程為x=-1ty+p2.聯(lián)立y2=2px，x=ty+p2，得y2-2pty-p2=0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），有y1+y2=2pt，x1+x2=2pt2+p，則點(diǎn)M坐標(biāo)為pt2+p2，pt，同理得點(diǎn)N坐標(biāo)為pt2+p2，-pt.

直線MN的方程為yM-yNxM-xN=yM-yxM-x，令y=0，得x=xNyM-xMyNyM-yN=3p22t+1tpt+1t=3p2，所以直線MN過(guò)定點(diǎn)3p2，0.

如果將直線AB與直線DE由過(guò)拋物線焦點(diǎn)一般化，可得下面命題成立.

命題2已知拋物線C：y2=2px（p＞0），過(guò)（m，0）（m＞0）的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)（m，0）與l垂直的直線交C于D，E兩點(diǎn)，M，N分別為AB，DE的中點(diǎn)，則直線MN過(guò)定點(diǎn)（p+m，0）.

證明由題意可設(shè)直線l方程為x=ty+m（t≠0），則直線DE方程為x=-1ty+m.聯(lián)立y2=2px，x=ty+m，得y2-2pty-2pm=0.設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），有y1+y2=2pt，x1+x2=2pt2+2m，則點(diǎn)M坐標(biāo)為（pt2+m，pt），同理得點(diǎn)N坐標(biāo)為pt2+m，-pt.

直線MN的方程為yM-yNxM-xN=yM-yxM-x，令y=0，得x=xNyM-xMyNyM-yN=pt+1t（p+m）pt+1t=p+m，所以直線MN過(guò)定點(diǎn)（p+m，0）.

試題中，直線AB與DE垂直即為直線斜率之積為-1，如果將該條件一般化，可得下面結(jié)論成立.

命題3已知拋物線C：y2=2px（p＞0），過(guò)（m，0）（m＞0）的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)（m，0）的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，M，N分別為AB，DE的中點(diǎn)，若直線AB與DE的斜率之積為n（n≠0），則直線MN過(guò)定點(diǎn)m-pn，0.

證明由題意可設(shè)直線AB方程為x=ty+m（t≠0），則直線DE方程為x=1nty+m.聯(lián)立y2=2px，x=ty+m，得y2-2pty-2pm=0.設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），有y1+y2=2pt，x1+x2=2pt2+2m，則點(diǎn)M坐標(biāo)為（pt2+m，pt），同理得點(diǎn)N坐標(biāo)為pn2t2+m，pnt.

直線MN的方程為yM-yNxM-xN=yM-yxM-x，令y=0，得

x=xNyM-xMyNyM-yN=p1nt-tpn-mpt-1nt=m-pn，所以直線MN過(guò)定點(diǎn)m-pn，0.

3類比探究

試題中的定點(diǎn)結(jié)論經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)在拋物線中具有一般性的結(jié)論，那么，在橢圓和雙曲線中是否也如此呢？筆者經(jīng)過(guò)探究，得到以下命題也成立.

命題4已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），過(guò)（m，0）（|m|＜a）的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)（m，0）的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，M，N分別為AB，DE的中點(diǎn)，若直線AB與DE的斜率之積為n，則直線MN過(guò)定點(diǎn)mna2na2-b2，0.

證明由題意可設(shè)直線AB方程為x=ty+m（t≠0），則直線DE方程為x=1nty+m.聯(lián)立b2x2+a2y2-a2b2=0，x=ty+m，得（b2t2+a2）y2+2mtb2y+b2m2-a2b2=0.設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），有y1+y2=-2mtb2b2t2+a2，x1+x2=2ma2b2t2+a2，則點(diǎn)M坐標(biāo)為ma2b2t2+a2，-mtb2b2t2+a2，同理得點(diǎn)N坐標(biāo)為ma2n2t2b2+a2n2t2，-mntb2b2+a2n2t2.

直線MN的方程為yM-yNxM-xN=yM-yxM-x，令y=0，得

x=xNyM-xMyNyM-yN=mna2（nt2-1）（na2-b2）（nt2-1）=mna2na2-b2，所以直線MN過(guò)定點(diǎn)mna2na2-b2，0.

特別地，當(dāng)直線AB與DE垂直時(shí)，n=-1，直線MN過(guò)定點(diǎn)ma2a2+b2，0.

命題5已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0），過(guò)（m，0）（|m|＞a）的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)（m，0）的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，M，N分別為AB，DE的中點(diǎn)，若直線AB與DE的斜率之積為n，則直線MN過(guò)定點(diǎn)mna2na2+b2，0.

證明由題意可設(shè)直線AB方程為x=ty+m（t≠0），則直線DE方程為x=1nty+m.聯(lián)立b2x2-a2y2-a2b2=0，x=ty+m，得（b2t2-a2）y2+2mtb2y+b2m2-a2b2=0.設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），有y1+y2=-2mtb2b2t2-a2，x1+x2=-2ma2b2t2-a2，則點(diǎn)M坐標(biāo)為ma2a2-b2t2，mtb2a2-b2t2，同理得點(diǎn)N坐標(biāo)為ma2n2t2a2n2t2-b2，mntb2a2n2t2-b2.

直線MN的方程為yM-yNxM-xN=yM-yxM-x，令y=0，得

x=xNyM-xMyNyM-yN=a2b2m2nt（nt2-1）mtb2（na2+b2）（nt2-1）=mna2na2+b2，所以直線MN過(guò)定點(diǎn)mna2na2+b2，0.

特別地，當(dāng)直線AB與DE垂直時(shí)，n=-1，直線MN過(guò)定點(diǎn)ma2a2-b2，0.

4反思回顧

圓錐曲線是考查學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效載體，通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)試題深入思考，變式拓展，可以很好地發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平.

新課程標(biāo)準(zhǔn)指出“在平面解析幾何的教學(xué)中，要時(shí)刻注意體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想，讓學(xué)生從代數(shù)與幾何的角度去理解這一部分內(nèi)容”.試題第（1）問(wèn)中直線MN所過(guò)定點(diǎn)在x軸上就是從“形”的角度入手分析問(wèn)題，通過(guò)運(yùn)算求得定點(diǎn)橫坐標(biāo)為3就是從“數(shù)”的角度進(jìn)行運(yùn)算推理，充分體現(xiàn)了學(xué)生邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)水平.

新課程標(biāo)準(zhǔn)還指出“要重視運(yùn)用類比的方法進(jìn)行教學(xué)”“要注重?cái)?shù)學(xué)素養(yǎng)培養(yǎng)”.因?yàn)槠矫娼馕鰩缀沃袑?duì)不同的研究對(duì)象（主要是橢圓、拋物線、雙曲線）所采用的手法與模式大致相同，所以教學(xué)中可以很好地引導(dǎo)學(xué)生借鑒前者的研究方法與模式來(lái)研究后者，并引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)運(yùn)用類比、歸納、推廣等思想方法，從而提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).本文從從拋物線出發(fā)，將試題推廣得到一般性結(jié)論，并通過(guò)類比探究得到橢圓和雙曲線中的相關(guān)結(jié)論，有效地落實(shí)了新課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)一線教學(xué)的指導(dǎo)和實(shí)施［2］.

參考文獻(xiàn)

［1］喻秋生.一類直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的探究與發(fā)現(xiàn)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2019（09）：61-63.

［2］馬宏酉，魏東升.相交弦中點(diǎn)所在直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題探究［J］.數(shù)理化解題研究，2023（28）：65-68.

作者簡(jiǎn)介黃芳（1989—），女，江西湖口人，中學(xué)一級(jí)教師.

盧恩良（1991—），男，江西修水人，中學(xué)一級(jí)教師，主要從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.