極值點偏移問題的探源、拓展及應用

程漢波 黃嵩濤

【摘? 要】? “極值點偏移問題”作為導數在研究函數性質中的應用之一，近年來在教研中受到廣泛關注．利用泰勒展開這一工具探究后得出：極值點偏移問題是中值點偏移問題的特殊情形，滿足羅爾中值定理（或拉格朗日中值定理）條件的至少三階可導函數中可能會存在“極值點偏移”（或“中值點偏移”）現象，而且，在其三階導數恒為0時，極值點（或中值點）不偏；在三階導數不為零且正負性確定的條件下，當二階導數與三階導數乘積的為正時，極值點（或中值點）右偏；當二階導數與三階導數乘積的為負時，極值點（或中值點）左偏．最后利用探究所得的結果解答三道全國卷中出現的極值點偏移問題，并給出關于高觀點對中學數學教學作用的一點感悟．

【關鍵詞】? 極值點偏移；泰勒展開；三階導數；中值點偏移

“極值點偏移問題”作為導數在研究函數性質中的應用之一，近年來在教研中受到廣泛關注，在“中國知網”以“極值點偏移”為主題進行搜索可發現，僅標題中含有“極值點偏移”字樣的文獻就有逾200篇，但細看不難發現，以“例題+解法”居多，如構造對稱函數、利用對數平均不等式、比值代換法等處理策略在教研中得到廣泛普及且變得愈發成熟．然而，教研文章的數量并不意味著對極值點偏移問題的研究已算圓滿．恰恰相反，之所以會有如此多的文章探究這類問題，在一定程度上說明大家對其已有的研究并不完全滿意．而且，解法的普及與成熟也說明這類問題具有較強的共性，理應進一步抽象概括出通用解法背后的深層本質．

1? 極值點偏移問題簡介

已知f（x）在閉區間［x1，x2］上連續，在開區間（x1，x2）內可導，f（x1）=f（x2），且f（x）在區間（x1，x2）內有且只有一個極值點x0．若x0＜x1+x22，稱為“極值點左偏”，如圖1，2；若x0＞x1+x22，稱為“極值點右偏”，如圖3，4；若x0=x1+x22，稱為“極值點不偏”，如圖5，6．可見，“極值點偏移”是函數極值點x0偏向于區間中點x1+x22哪一側的直觀描述，是函數圖象不對稱性（或對稱性）的直接體現，而且，極值點偏移現象在函數問題中廣泛存在．例如，在函數與導數的學習中，可以證明，常見函數y=xex，y=exx，y=xlnx，y=xlnx，y=lnxx的圖象均會出現極值點左偏的現象，而函數y=xex的圖象則會出現極值點右偏的現象，二次函數的圖象顯然會出現極值點不偏的現象．

2? 極值點偏移問題探源

要比較極值點x0與區間中點x1+x22的大小，注意到f′（x0）=0，故可以先判斷出f′x1+x22的正負性，再根據f′（x）的單調性（由f″（x）的正負性決定）得出x1+x22與x0的大小關系．由圖1—6可以大致猜測，極值點偏移規律與函數的單調性（一階導數刻畫）及函數的凹凸性（二階導數刻畫）有關，因為函數圖象的不對稱性（或對稱性）本身就與其單調性、凹凸性聯系緊密．然而，也不難發現，圖1，3，5中函數均為上凸函數，且先增后減，但卻出現了不同的極值點偏移現象；同樣地，圖2，4，6中函數均為下凸函數，且先減后增，也出現了不同的極值點偏移現象．這表明直接由圖1—6歸納出極值點偏移規律稍顯困難，還需更精細化的考察，下面用泰勒展開這一高等數學工具探究f′x1+x22的正負性的判定條件，并進一步得到極值點偏移規律更本源的刻畫方式，具體過程與結果如下．

假定f（x）至少三階可導，記m=x1+x22，將f（x1）與f（x2）分別在x=m處泰勒展開得，

f（x1）=f（m）+f′（m）（x1-m）+f″（m）2（x1-m）2+f（ξ1）6（x1-m）3（x1＜ξ1＜m）;

f（x2）=f（m）+f′（m）（x2-m）+f″（m）2（x2-m）2+f（ξ2）6（x2-m）3（m＜ξ2＜x2）．

因為f（x1）=f（x2），將以上兩式相減可解得，

f′（m）=-f（ξ1）+f（ξ2）48·（x1-x2）2.（*）

（1）當f（x）=0時，由于f（x）在區間（x1，x2）內只有一個極值點x0，因此f″（x）為非零常數，則f′（x）為單調函數．由（*）式知，f′（m）=0=f′（x0），所以m=x1+x22=x0．

（2）當f（x）＞0時，由（*）式知，f′（m）＜0=f′（x0），則

①當f″（x）＞0時，f′（x）單調遞增，則m=x1+x22＜x0；

②當f″（x）＜0時，f′（x）單調遞減，則m=x1+x22＞x0．

（3）當f（x）＜0時，由（*）式知，f′（m）＞0=f′（x0），則

①當f″（x）＞0時，f′（x）單調遞增，則m=x1+x22＞x0；

②當f″（x）＜0時，f′（x）單調遞減，則m=x1+x22＜x0．

綜上所述，當f（x）=0時，x1+x22=x0；當f（x）·f″（x）＞0時，x1+x22＜x0；當f（x）·f″（x）＜0時，x1+x22＞x0．

值得一提的是，以上綜述結果中f（x）·f″（x）＞0是指f″（x）＞0，f（x）＞0或f″（x）＜0，f（x）＜0兩種情形，并不包括f″（x）或f″（x）的正負性不完全確定的情形；類似地，f（x）·f″（x）＜0是指f″（x）＞0，f（x）＜0或f″（x）＜0，f（x）＞0兩種情形．下文與之類似，不再贅述．

因此，至少三階連續可導函數的極值點偏移問題可用其二階導數與三階導數共同刻畫．具體地，三階導數是否為0可斷定極值點是否會發生偏移，在三階導數不為零且正負性確定的條件下，二階導數與三階導數乘積的正負性可斷定是極值點左偏還是極值點右偏．例如，二次函數的三階導數恰好等于0，會出現“極值點不偏”的現象，這與其圖象是軸對稱圖形的直觀相一致；函數y=xlnx的二階、三階導數分別為y″=1x＞0， y=-1x2＜0，則

y″y=-1x3＜0，這與其圖象在區間0，1上會出現“極值點左偏”（即x0=1e＜x1+x22）的現象相一致；函數f（x）=xex的二階、三階導數分別為f″（x）=（x+2）ex，f（x）=

（x+3）ex，則f″（x）·f（x）=（x+2）（x+3）e2x，由f（x1）=f（x2）可推得x1，x2＜0，當x1，x2中有變量小于等于-2時，“極值點右偏”（即x0=-1＞x1+x22）顯然成立；當-2＜x1，x2＜0時，有f″（x）＞0， f（x）＞0，則f″（x）f（x）＞0，“極值點右偏”也成立．因此，這三個特例恰好印證了前面所得的結論．

3? 極值點偏移問題拓展

由極值點偏移問題的條件和結論不難聯想起羅爾中值定理：若閉區間［x1，x2］上的連續函數f（x）在開區間（x1，x2）內可導，且f（x1）=f（x2），則在（x1，x2）內至少存在一點ξ（稱其為中值點），使得f′（ξ）=0．上文討論結果表明，在中值點唯一的前提下，有時可以根據f（x）的二階導數f″（x）與三階導數f（x）的正負性，得到中值點ξ與區間中點x1+x22的大小關系．因此，極值點偏移問題也可以看作中值點偏移問題的特殊情形，都是比較極值點（或中值點）ξ與區間中點x1+x22的大小關系，進而得出極值點（或中值點）ξ相對于區間中點x1+x22的偏移方向，它是對羅爾中值定理中存在性結果的進一步深入細致的探究．

于是，不禁又聯想起拉格朗日中值定理：若閉區間［x1，x2］上的連續函數f（x）在開區間（x1，x2）內可導，則在（x1，x2）內至少存在一點ξ，使得f′（ξ）=f（x2）-f（x1）x2-x1．在中值點ξ唯一的條件下，能否類似地探究中值點ξ與區間中點x1+x22的大小關系呢？不難發現，該問題是極值點偏移問題的拓展推廣，它的解決可以進一步的揭示極值點偏移問題的本質．經歷一番探究，得到以下結果：

定理? 若閉區間［x1，x2］上的連續函數f（x）在（x1，x2）內至少三階可導，且f′（x）不為常數，則

（1）若f（x）=0，則存在唯一ξ=x1+x22，使得f′（ξ）=f（x2）-f（x1）x2-x1；

（2）若f（x）·f″（x）＞0，則存在唯一ξ∈x1+x22，x2，使得f′（ξ）=f（x2）-f（x1）x2-x1；

（3）若f（x）·f″（x）＜0，則存在唯一ξ∈x1，x1+x22，使得f′（ξ）=f（x2）-f（x1）x2-x1．

證明? 記x1+x22=m，將f（x1）與f（x2）分別在x=m處泰勒展開得，

f（x1）=f（m）+f′（m）（x1-m）+f″（m）2（x1-m）2+f（ξ1）6（x1-m）3（x1＜ξ1＜m）;

f（x2）=f（m）+f′（m）（x2-m）+f″（m）2（x2-m）2+f（ξ2）6（x2-m）3（m＜ξ2＜x2）．

將以上兩式相減可得，

f（x1）-f（x2）=f′x1+x22（x1-x2）+f（ξ1）+f（ξ2）48（x1-x2）3．

在區間［x1，x2］上由拉格朗日中值定理知，存在ξ∈（x1，x2），使得

f′（ξ）=f（x1）-f（x2）x1-x2=f′x1+x22+f（ξ1）+f（ξ2）48（x1-x2）2.（**）

（1）當f（x）=0時，結合f′（x）不為常數，則f″（x）為非零常數，因此f′（x）為單調函數．由（**）式知，f′（ξ）=f′x1+x22，所以存在唯一ξ=x1+x22．

（2）當f（x）·f″（x）＞0時，則可分兩種情況：

①當f（x）＞0， f″（x）＞0時，由（**）知，f′（ξ）＞f′x1+x22，且f′（x）單調遞增，所以存在唯一ξ∈x1+x22，x2；

②當f（x）＜0， f″（x）＜0時，由（**）知，f′（x0）＜f′x1+x22，且f′（x）單調遞減，所以也存在唯一ξ∈x1+x22，x2．

（3）與（2）類似可證，此處略去．

由此可知，極值點偏移問題確實就是中值點偏移問題的特殊情形，任何滿足拉格朗日中值定理條件的函數中均可能會存在中值點偏移現象．具體地，對于滿足拉格朗日中值定理條件且至少三階可導的函數，其三階導數是否為0可斷定中值點是否會發生偏移，在三階導數不為零且正負性確定的條件下，二階導數與三階導數乘積的正負性可斷定中值點是左偏還是右偏．例如，對于對數函數f（x）=lnx，其二階、三階導數分別為f″（x）=-1x2＜0， f（x）=2x3＞0，則f″（x）·f（x）＜0，因此會出現“中值點左偏”的現象，即存在唯一ξ∈x1，x1+x22，使得f′（ξ）=f（x2）-f（x1）x2-x1=lnx2-lnx1x2-x1．又因為f′（x）=1x單調遞減，所以f′（ξ）＞f′x1+x22，即lnx2-lnx1x2-x1＞2x1+x2，該不等式即為“對數平均不等式”的一部分，它在解決與自然對數有關的“極值點偏移問題”屢建奇功，在教學、教研中已發展為一種重要的策略工具．由此觀之，“對數平均不等式”之所以會如此有效，部分原因是因為該結果就是對數函數中“中值點偏移問題”的代數刻畫，當然可在“極值點（即中值點）偏移問題”中大放異彩．類似地，對指數函數f（x）=ex，不難由“中值點偏移問題”的結果得ex1-ex2x1-x2＞ex1+x22，也有人將其稱為“指數平均不等式”，它在解決指數函數有關的“極值點（即中值點）偏移問題”時也照樣大放異彩．

4? 高考中的極值點偏移問題

近些年來，極值點偏移問題的例子眾多，筆者在教學實踐中發現，大都可用以上結論解決，既簡明快捷又貼近本質．本文僅給出全國高考卷中對極值點偏移問題的研究熱點“推波助瀾”的三道高考題及解答，更多的例子讀者在實踐中可不斷嘗試．

例1? （2016年全國高考新課標Ⅰ卷（乙卷）第21題）已知函數f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有兩個零點．

（Ⅰ）求a的取值范圍；

（Ⅱ）設x1，x2是f（x）的兩個零點，證明：x1+x2＜2．

證明? ?（Ⅰ）a＞0，過程略；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a＞0，且x1＜1＜x2＜2，則

①當x1＜0時，由x2＜2得，x1+x2＜2；

②當x1≥0時，f′（x）=（x-1）ex+2a， f″（x）=xex+2a， f（x）=x+1ex，則當x∈［x1，x2］時，有f″（x）＞0， f（x）＞0，則f″（x）·f（x）＞0，所以x1+x22＜1，即x1+x2＜2．

例2? （2021年全國新高考Ⅰ卷第22題）已知函數f（x）=x（1-lnx）.

（Ⅰ）討論f（x）的單調性；

（Ⅱ）設a，b為兩個不相等的正數，且blna-alnb=a-b，證明：1a+1b＞2．

證明? （Ⅰ）略；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減．注意到blna-alnb=a-b即為f1a=f1b，不妨設1a=x1∈（0，1），1b=x2∈（1，+∞），則原問題等價于證明x1+x2＞2．

①當x2≥2時，由x1＞0得，x1+x2＞2；

②當x2＜2時，f′（x）=-lnx， f″（x）=-1x， f（x）=1x2，則當x∈［x1，x2］時，有f″（x）＜0， f（x）＞0，則f″（x）·f（x）＜0，所以x1+x22＞1，即x1+x2＞2．

例3? （2022年全國高考甲卷第21題）已知函數f（x）=exx-lnx+x-a.

（Ⅰ）f（x）≥0，求a的取值范圍；

（Ⅱ）若f（x）存在兩個零點x1，x2，證明：x1x2＜1．

證明? （Ⅰ）略；（Ⅱ）由f（x1）=f（x2）得，ex1x1-lnx1+x1-a=ex2x2-lnx2+x2-a，即ex1x1+lnex1x1=ex2x2+lnex2x2．記g（x）=x+lnx，則gex1x1=gex2x2．易知g（x）單調遞增，則ex1x1=ex2x2，兩邊取自然對數得，x1-lnx1=x2-lnx2．注意到x1，x2＞0，要證明x1x2＜1，只需證明lnx1+lnx2＜0，又記h（x）=ex-x，則hlnx1=hlnx2，且h′（x）=ex-1，h″（x）=h（x）=ex＞0，則h″（x）·h（x）＞0，所以lnx1+lnx22＜0，即x1x2＜1．

5? 余話與啟示

眾所周知，微積分的誕生與運動學息息相關．例如，位移對時間的一階導數是速度，用以描述運動的快慢；位移對時間的二階導數是加速度，用以描述速度變化的快慢．不禁產生疑問：位移對時間的三階導數及其物理意義是什么呢？由文［3］［4］可知，牛頓力學框架體系對加速度的變化并未給出任何實質性的描述，但隨著汽車、火車、公路、鐵路等人類物質文明的發展，到19世紀中葉，人們認識到加速度的變化快慢會引起舒適感的不同，這與機械元件（如凸輪、軌道）的設計有關，于是將位移對時間的三階導數稱為急動度，用以描述加速度的變化快慢．

同樣地，微積分的誕生與幾何學也息息相關．例如，函數的一階導數的幾何意義為切線斜率，用以描述函數的單調性；函數的二階導數可以表示切線斜率的變化快慢，用以描述函數的凹凸性．不禁產生疑問：函數的三階導數及其幾何意義是什么呢？它描述了函數哪方面的性質呢？本文探究得出，極值點偏移問題是中值點偏移問題的特殊情形，對于滿足拉格朗日中值定理（或羅爾中值定理）條件且至少三階可導的函數，其三階導數是否為0可斷定中值點是否會發生偏移，在三階導數不為零且正負性確定的條件下，二階導數與三階導數乘積的正負性可斷定是中值點左偏還是中值點右偏．

用泰勒展開式的觀點來看極值點（或中值點）偏移問題，它不僅提供了解決問題的一種策略，也是命制相關試題的一條渠道．更深入地揭示這類問題的本質．這啟示我們中學教師應主動探尋初等數學與高等數學知識的結合點，從而對中學數學知識有一個更深層次的理解．教師只有站在較高的角度審視數學問題，才能將問題看得更清楚，更透徹．這正如F·克萊因所認為的，“教師掌握的知識要比他所教的多得多，才能引導學生繞過懸巖，渡過險灘”．

德國哥廷根數學學派領袖菲利克斯·克萊因曾說：“數學教師應站在更高（高等數學）視角審視、理解初等數學問題，只有觀點高了，事物才能顯得明了而簡單；有許多初等數學的現象只有在非初等的理論結構內才能深刻地理解．”杜甫詩云：“會當凌絕頂，一覽眾山小”.就事論事地看待中學數學，只是知其然，用高等數學的數學方法進行解讀，就會豁然開朗，不僅知其然，更知其所以然．我國有一句著名教育格言“要給學生一杯水，教師應該有一桶水”，說的也是這層意思．

參考文獻

［1］? 甘大旺．函數極值點偏移問題新論［J］．數學通訊：下半月，2017（07）：44-47．

［2］? 朱華偉，程漢波，楊春波．2016年全國卷Ⅰ壓軸題的解法賞析、探究與思考［J］．數學通訊：下半月，2017（11）：26-30．

［3］? 黃沛天.一個描寫機械運動的新概念：急動度［J］.物理，1981（07）：394-397.

［4］? 黃沛天，黃文，胡利云.變加速運動理論與實踐意義初探［J］.江西師范大學學報（自然科學版），2003（01）：8-11.

［5］? 陳月蘭．高觀點下的初等數學［M］．上海：上海華東師范大學出版社，2011．

作者簡介

程漢波（1990—），男，湖北孝感人，博士，高中數學一級教師，主要從事數學教育研究．

黃嵩濤（1989—），男，湖北武漢人，博士研究生，高中數學一級教師，主要從事數學教育研究．