一個恒等式的再開發及應用

朱一凡 朱傳美

【摘? 要】? 韋達定理在解析幾何的運算中發揮著極大的作用，恒等式“-c（x1+x2）=bx1x2”給出了兩個點的橫坐標之間的直接關系.結合典型例題從四個不同的路徑對以上恒等式進行一次再開發，給出更靈活的形式，并由此給出簡化解析幾何運算的新思路.

【關鍵詞】? 韋達定理；恒等式；開發；簡化運算

若x1，x2為實系數一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩實根，則有x1+x2=-ba，x1x2=ca，此為著名的韋達定理，由兩等式相結合可得一個簡潔的恒等式-c（x1+x2）=bx1x2［1］.此恒等式能有效簡化解析幾何的運算，實際上，此恒等式給出的僅僅是兩個點的橫坐標之間的直接關系.若從此認識出發，拓寬研究問題的思路與方法，我們可以嘗試從更多路徑對此恒等式進行一次再開發，又將帶來簡化解析幾何運算的新思路.

1? 韋達定理開發更一般恒等式

例1? 在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的離心率為23，且過點P（2，53）.

（1）求橢圓E的標準方程；

（2）設A為橢圓E的左頂點，過點C（1，0）的直線與橢圓E交于M，N兩點，直線AM與直線l：x=9交于點T，問：直線TN是否過定點？若過定點，求出定點坐標，若不過定點，請說明理由.

說明? 此題選自文［2］，由韋達定理得出x1+x2=18k25+9k2，x1x2=9k2-455+9k2后，開發出了更一般的恒等式x1x2=5（x1+x2）-9，對簡化后續解題步驟提供了極大的幫助.這里不僅僅是和與積之間的直接關系，還出現了常數項，所以可稱之為更一般的恒等式.當然，我們還可以借助其他路徑獲取更廣義的恒等式.

2? 三點共線開發恒等式

例2? 已知F1，F2分別是橢圓C：x22+y2=1的左、右焦點，動點M在C上，連接F2M 并延長至點N，使得MN=MF1，設點N的軌跡為D.

（1）求D的方程；

（2）設O為坐標原點，點P∈D，連接PF2交C于Q點，若直線F1P的斜率與直線OQ的斜率存在且不為零，證明：這兩條直線的斜率之比為定值.

分析? 此題為解析幾何難題，第（2）問定值問題為此題的難點，涉及到兩個定曲線和三條動直線，其中兩個動點P，Q為解決此題的關鍵入口.

解? （1）因為F2（1，0），NF2=MN+MF2=MF1+MF2=2a=22.

所以點N的軌跡D為以F2為圓心，22為半徑的圓，其方程為（x-1）2+y2=8.

（2）解法1? 設Q（x1，y1），P（x2，y2）在第一象限，則x1>0，x2>0.

當PF2⊥x軸時，P（1，22），Q（1，22），kF1P：kOQ=2：22=2.

當PF2斜率存在且不為零時，設直線PF2的方程為y=k（x-1）.

聯立x2+2y2=2，y=k（x-1），可得（2k2+1）x2-4k2x+2k2-2=0，x1=2k2+2k2+22k2+1.

聯立（x-1）2+y2=8，y=k（x-1），

可得（k2+1）x2-（2k2+2）x+k2-7=0，x2=1+22k2+1.

則kF1PkOQ=y2x2+1·x1y1=k（x2-1）x2+1·x1k（x1-1）=22k2+12+22k2+1·2k2+2k2+22k2+1-1+2k2+22k2+1=2k2+1+2·2k2+2k2+2-1+2k2+2=2（k2+1+2k2）k2+1+2k2=2.

說明? 解法1為常規思路，但在用k表示P，Q兩點的橫坐標時，出現了問題，在沒有辦法的情況下，只得添加附加條件，即假設兩點均在第一象限，嚴格意義上講，還需要再驗證一下P點在第二象限的情況，由對稱性，三、四象限就不用再證了，當然，還要考慮P點在坐標軸上的情形.可見，常規解法的繁瑣，簡化運算勢在必行.此解法用k分別表示了P，Q兩點的橫坐標，既然兩個動點P，Q為解決此題的關鍵入口，而且P是主動點，Q是從動點，那么它們的橫坐標應該有著直接的關系，能否找到兩點橫坐標之間的直接關系，從而簡化運算呢？

解法2? 設Q（x1，y1），P（x2，y2）（y1≠0，y2≠0）.

由kF2Q=kF2P可得，y1x1-1=y2x2-1，即y12y22=（x1-1）2（x2-1）2=1-x1228-（x2-1）2.

所以有（x1-1）2（x2-1）2=1-x122+（x1-1）28=（x1-2）216，即 x1-1x2-1=2-x14=y1y2>0，

則 x1x2=2x2-3x1+2.

所以 當x1≠0時，

kF1PkOQ=y2x2+1·x1y1=y2x1y1（x2+1）=4x1（2-x1）（x2+1）=4x12x2+2-x1x2-x1=4x12x1=2.

當x1=0時，可取Q（0，1），P（-1，2），直線F1P與直線OQ的斜率均不存在，舍去.

評析? 這里直接設出點P，Q的坐標，由F2，P，Q三點共線探尋P，Q橫坐標之間的直接關系，巧妙地運用點在曲線上消去了縱坐標，再運用合分比定理得到x1x2=2x2-3x1+2，過程簡潔明快，無需分類討論，極大簡化運算.此關系式的得出并沒有借助韋達定理，而是由題中條件自主得出，這是對恒等式“-c（x1+x2）=bx1x2”的再次開發，由運算的簡化可說明此開發的必要性.此解法思路靈活精巧，對代數恒等變換的要求很高，說明橫坐標的關系不易得出，至此，我們不禁想問：能否探尋P，Q兩點縱坐標之間的直接關系呢？

解法3? 設直線PF2的方程為x=my+1，設Q（x1，y1），P（x2，y2）（y1≠0，y2≠0）.

由 F2QF2P=2-22x122=y1y2 可得，1-12（my1+1）2=y1y2my1y2=y2-4y1.

所以當y2≠2y1時，

kF1PkOQ=y2x2+1·x1y1=y2（my1+1）y1（my2+2）=my1y2+y2my1y2+2y1=y2-4y1+y2y2-4y1+2y1=2y2-4y1y2-2y1=2.

當y2=2y1時，可取Q（0，1），P（-1，2），直線F1P與直線OQ的斜率均不存在，舍去.

說明? 這里同時設出點P，Q的坐標以及直線PF2的方程，過P，Q兩點同時向x軸做垂線，由平面幾何知識即得出比例關系，其中F2Q=2-22x1為橢圓C的焦半徑， F2P=22為圓D的半徑，這里得出了縱坐標的關系my1y2=y2-4y1，比橫坐標來得更快一些，這也是對恒等式“-c（x1+x2）=bx1x2”的再開發，從運算的更簡潔來看，此開發非常有必要.

3? 傾斜角互補開發恒等式

例3? 在平面直角坐標系中，已知點A（-2，0），B（2，0），動點P（x，y）滿足直線AP與BP的斜率之積為-34.記點P的軌跡為曲線C.

（1）求C的方程；

（2）若M，N是曲線C上的動點，且直線MN過點D0，12，問在y軸上是否存在定點Q，使得∠MQO=∠NQO？若存在，請求出定點Q的坐標；若不存在，請說明理由.

解 （1）由kPAkPB=-34得：yx+2·yx-2=-34（x≠±2）.

化簡得，x24+y23=1（x≠±2），所以曲線C的方程為x24+y23=1（x≠±2）.

（2）假設存在定點Q（0，m）符合題意，由題意及（1）知，直線MN與直線AD，BD均不重合.

當直線MN的斜率k存在時，設其方程為y=kx+12k≠±14，Mx1，y1，Nx2，y2.

由∠MQO=∠NQO，得直線MQ，NQ的傾斜角互補，故kMQ+kNQ=0.

又kMQ+kNQ=y1-mx1+y2-mx2=kx1+12-mx1+kx2+12-mx2=4kx1x2+（1-2m）x1+x22x1x2，

所以4kx1x2+（1-2m）x1+x2=0.①

聯立x24+y23=1，y=kx+12，可得3+4k2x2+4kx-11=0，Δ=16k2+443+4k2>0.

又x1+x2=-4k3+4k2，x1x2=-113+4k2.②

將②代入①得，4k·-113+4k2+（1-2m）·-4k3+4k2=8k（m-6）3+4k2=0.③

因為k≠±14且不恒為0，

所以當且僅當m=6時，③式成立，即定點Q（0，6）滿足題意.

當直線MN的斜率不存在時，點Q（0，6）滿足∠MQO=∠NQO=0°，也符合題意.

綜上所述，在 y軸上存在定點Q（0，6），使得∠MQO=∠NQO.

說明? 當直線MN的斜率存在時，根據兩角相等即可得kMQ+kNQ=0，化簡得到等式4kx1x2+（1-2m）x1+x2=0是此題成功的關鍵，求得定點坐標后，驗證MN斜率不存在時也成立即可.

4? 代數運算開發恒等式

例4? 已知橢圓E：x24+y2=1，過點P（1，2）作傾斜角互補的兩直線l1，l2分別交橢圓E于A，B；C，D四點，試確定kAC與kBD的關系［3］.

解? 因為直線l1，l2的傾斜角互補，所以直線l1，l2的斜率均存在且互為相反數，則可設l1：y-2=k（x-1），A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）.

聯立x2+4y2=4，y-2=k（x-1），可得（1+4k2）x2-8k（k-2）x+4（k-2）2-4=0.

x1+x2=8k（k-2）1+4k2，x1x2=4（k-2）2-41+4k2.同理，x3+x4=8k（k+2）1+4k2，x3x4=4（k+2）2-41+4k2.

而 x1+x2-x1x2=4k2-121+4k2=x3+x4-x3x4，

則kAC+kBD=y3-y1x3-x1+y4-y2x4-x2=-k（x3+x1）+2kx3-x1+-k（x4+x2）+2kx4-x2=-k（x3+x1-2x3-x1+x4+x2-2x4-x2）=-k（1+2x1-2x3-x1+2x4-2x4-x2-1）

=-2k·（x1+x2-x1x2）-（x3+x4-x3x4）（x3-x1）（x4-x2）=0.

說明? 這里通過代數運算開發出更廣義的恒等式x1+x2-x1x2=x3+x4-x3x4，極大地簡化了最后的求解過程.

5? 結束語

簡化解析幾何的運算始終是我們不懈的追求，這里我們對一個恒等式進行了一次再開發，大大簡化了解析幾何的運算.而實際上，思維的創新才是我們更大的努力方向，在這樣的學習方向指導下，我們就會積極思考，積極探索，一旦抓住新的發現，就會進一步得到更多新的收獲，最終達到提升學生數學思維能力的目的.

參考文獻

［1］? 丁連根.巧用一個恒等式簡化解析幾何運算［J］.高中數學教與學，2019（13）：10-12；

［2］? 朱傳美，徐樹旺.換個順序? 先算后代? 簡化運算［J］.中學教研（數學），2019（08）：11-15；

［3］? 朱傳美.簡化解析幾何運算量的兩個視角［J］.中學教研（數學），2017（12）：13-15.

作者簡介? 朱一凡（2005—），女，江蘇泰州人，本科在讀；從事中學數學教學研究.

朱傳美（1976—），男，江蘇泰州人，中學高級教師；公開發表論文百余篇.