一個(gè)優(yōu)美的三角形不等式鏈

謝海鑫

1.提出問題

題目3 （文［3］）在△ABC中，BC=a，CA=b，AB=c.求證：

2（a2cosA+b2cosB+c2cosC）≤ab+bc+ca.

本文以三個(gè)數(shù)學(xué)問題為出發(fā)點(diǎn)，探尋他們之間的關(guān)聯(lián)，最后將三個(gè)問題串聯(lián)，得到一個(gè)優(yōu)美的三角形不等式鏈.

為了證明不等式鏈，先給出三角形中的熟知結(jié)論：

首先，我們給出兩個(gè)引理：

由正弦定理及積化和差公式、和差化積公式得

在上述結(jié)論下，我們給出不等式鏈的證明

由歐拉不等式R≥2r顯然成立，從而（1）式成立.

（3）式的證明見文［1］.

綜上所述，不等式鏈成立.

參考文獻(xiàn)

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