GeoGebra視角下一類中點弦斜率和積關系的拓展

陳偉流 鐘穎 金保源

圓錐曲線的中點弦問題源于教材，興于高考，向來是專家學者青睞有佳的命題陣地，如經典的中點弦軌跡問題，點差法問題，斜率和積與中點弦過定點問題等，既傳承經典，又?？汲Ｐ拢挥械湫痛硇耘c示范引領性.基于此，筆者以一道市統考的解析幾何試題為研究對象，通過探析試題的一般命制背景，在現代信息技術GeoGebra的引領下，進一步對試題背景升華總結，歸納出圓錐曲線中頂點三角形的一個優美通性結論，并以斜率和積定值問題為邏輯主線，淺嘗些許備考必得，以期拋磚引玉，與同行交流.

1 試題呈現，提出問題

評析：試題以中點弦為切入條件，考查橢圓方程、點、線、斜率等基本知識，注重點差法，同構法等解析幾何基本思想方法的應用性，對數學運算，邏輯推理等核心素養有較高的要求.試題打破“斜率和積為定值，中點弦過定點”傳統命題套路，富有創新性和引領性，同時也具備一定的命題高度，拓展空間及選拔屬性，是一道優質的模擬試題.

回顧試題情境，發現三直線斜率和積的定值結果與點P的具體坐標無關，僅與點P的位置有關；同時，若將點O推廣為x軸上任一定點（異于P），其斜率和積是否仍為定值？進一步推廣到圓錐曲線體系，在雙曲線和拋物線中，是否仍有類似的結論？基于此，筆者對試題的一般背景展開探討.

2 背景探源，揭示本質

改變點P，Q在橢圓對稱軸上的位置，易得如下的一個對偶結論：

將探究背景進一步推廣到圓錐曲線體系，在雙曲線和拋物線中，有

注：結論2，3，4的證明與結論1類似，故在此省略；經歷上述試題背景的探索知：兩弦中點（動點）G，H及坐標軸上的定點P是決定斜率和積為定值的關鍵因素，那么這三點是否有其內在的必然聯系呢？能否立足新視角，重新解讀斜率和積為定值的結論？

3 技術探路，引申問題

在現代信息技術GeoGebra的軟件平臺中，依次做出圓錐曲線：橢圓（如圖1），雙曲線（如圖2），拋物線（如圖3）及x軸上的定點P（異于O），過點P兩相交弦CD，EF，取兩弦中點為G，H，追蹤動點G，H并觀察G，H與點P，O的關系，不難得出：

類比到雙曲線及拋物線中，可得

引理3 已知拋物線x2=2py（p>0）及拋物線的內定點P（x0，0）（x0≠0），過P作拋物線的兩相交弦CD及EF，G，H為兩弦中點，則兩動點G，H所在軌跡是以點P為頂點的拋物線，且其軌跡方程為x（x－x0）=py.

注：引理2，3的證明與引理1類似，故從略；立足于引理視角，上述的試題背景可升華解讀為圓錐曲線中的內接頂點三角形的一個優美結論，其內容如下

4 升華總結，返璞歸真

注：結論6，結論7，結論8的證明在此省略.

5 逆向思索，完善認知

從結論5到結論8的探索知：曲線的頂點，定點，過頂點的垂線三大條件是三直線斜率和積為定值的決定因素，若是改變其在條件與結論上的邏輯關系，相應的逆命題是否仍成立？以結論5為例，經筆者探究，有

6 立足課標，展望思考

《普通高中數學課程標準》（2017年版2020年修訂）》在教學內容的設計上強調了三個關注的理念：即關注同一主線內容的邏輯關系，關注不同主線內容間的邏輯關系，關注不同數學知識所蘊含的通性通法，數學思想［1］.以中點弦問題的邏輯主線為例，其內容涵蓋圓錐曲線的第三定義、斜率和積與定值定點的“手電筒模型”、圓錐曲線頂點三角形定值問題等內容，滲透了點差法，斜率同構法，齊次式法等數學思想，可謂是在中點弦主線的統領下，各支線熠熠生輝般綻放別樣的風采.所以在一線教學中，教師要以知識統領的視角審視教學內容，厘清不同模塊知識在底層邏輯的區別與聯系，如此才能為學生帶來層次分明，亮出突出，聯系緊密的課堂內容，以培養數學抽象的高階思維和整體認知的數學觀，促進高考備考的提質增效.

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.