基于波利亞解題理論的三角函數教學研究

朱鈺揚

［摘? 要］ 三角函數是高中數學的重點與難點內容之一. 文章認為波利亞解題理論對解決三角函數問題具有重要指導意義與價值，具體表現在：啟發式教學，促進知識生成；引導式教學，準確表征問題；整合式教學，明晰解題思路. 文章以“兩角差的余弦公式”的教學為例，用“理解題目—擬訂方案—執行方案—回顧總結”四步分析法展開教學實踐.

［關鍵詞］ 波利亞解題理論；三角函數；四步分析法

喬治·波利亞是美國著名數學家，長期致力于數學教育研究，他的著作《怎樣解題》為一線教師的解題教學提供了明確的方法指導. 波利亞的解題思想著重強調啟發式、引導式與整合式教學，這對促進學生創造意識的形成與數學學科核心素養的提升具有重要意義.

教學價值

高中三角函數章節的知識點多，公式繁雜，各部分知識間、公式間又存在著縱橫交錯的聯系. 實踐發現，借助波利亞解題理論進行解題教學，能起到事半功倍的教學成效. 具體表現在以下幾方面.

1. 啟發式教學，促進知識生成

波利亞解題理論著重強調教會學習者思考的能力，解決數學問題的過程就是對實際問題思考的過程［1］. 想要從真正意義上提升學生的解題能力，教育工作者首先要做的就是通過各種教學手段啟發學生的思維，讓學生能靈活、熟練地掌握基本概念、公式與定理等.

在三角函數章節的教學中，部分教師將概念、定理、公式等直接灌輸給學生，學生只能采取機械性記憶，因此常被大量的概念、定理、公式所困擾，導致記憶混亂、思維受阻，無法靈活應用所學知識，解題出現障礙.

想要解決這一困境，就需要在基礎知識構建時采用啟發式教學模式，讓學生了解概念、定理、公式等的形成過程，在追根溯源中掌握知識本質，為后續靈活應用奠定基礎.

2. 引導式教學，準確表征問題

想要解題，首先要理解問題問的是什么，這是波利亞解題理論對學生提出精準表征問題的要求［2］. 事實上，“一聽就會，一做就錯”的現象在數學解題中屢見不鮮. 三角函數既有函數的特點，又存在大量的運算，屬于代數與幾何的統一體. 這就要求學生不僅要了解這些公式，還要靈活應用這些公式.

在教學中，教師可應用引導式教學模式，通過一些語言的引導幫助學生準確表征問題，讓思維有據可依. 值得注意的是，學生的認知水平存在一定的差異，教師在引導時要注重分層引導，通過不同層次問題的設置，激發學生的理解能力.

如sin56°，cos56°，tan56°究竟誰大誰小呢？為了讓學生有思考方向，教師可通過引導式語言，鼓勵學生借助三角函數線來解題，即將數學符號語言轉化為圖形語言來解題. 這是數形結合思想應用的過程，也是促進學生思維發展的過程，對提煉數學思想方法具有積極意義.

3. 整合式教學，明晰解題思路

當學生能自主分析與精準表征問題后，就進入了整體分析問題的階段. 從波利亞解題理論出發，即制定解題步驟實施解題，整合材料是此環節的重中之重，同時要分析之前是否遇到過類似問題［3］.

想要解決這個問題，首先要引導學生回顧之前是否接觸過與之類似的問題，是否可以通過類似解法完成解題. 事實證明，此問題與學生遇到過的給值求值的問題類似，都是將未知角轉化為已知角，利用誘導公式、同角三角函數的基本關系式等來轉化問題，而不同之處在于本題出現了“二次”，想要解決這個問題，可將角－θ假設為t，解題思路就清晰了.

通過此例不難看出，借助波利亞解題理論進行整合式教學，能有效促進學生邏輯思維的發展，幫助學生提煉類比與轉化思想，明晰解題思路.

教學過程

1. 情境創設，導入新課

師：大家都有去超市購物的經歷，對電動扶梯并不陌生，現在我們一起來分析一個實際問題：已知某超市一樓到二樓的電動扶梯長度為10米，該電梯與底面形成的夾角α=30°，求從一樓到達二樓時，人在水平方向移動了多少米？

這是基于學生已有認知經驗提出的問題，其中30°這個特殊角的余弦值是學生熟悉的一個數據. 此問可設人在水平方向移動了x米，則x=10×cos30°=5（米）. 在此基礎上，教師提出：若α=15°，x的值又該怎么求呢？雖然學生沒有遇到過15°這個特殊角的余弦值，但學生對30°與45°并不陌生，因此易得cos15°=cos（45°－30°）.

設計意圖 此情境從學生的生活實際出發，引出相關的數學知識，一方面讓學生感知數學與生活的聯系，另一方面意在培養學生的數學抽象素養與數學建模素養.

2. 理解問題，引入新知

師：巡視發現，一些同學列出了式子cos（45°－30°）=cos45°－cos30°，現在我們一起來探討一下這個式子的正確性，建議大家從余弦函數的性質與圖象的角度來甄別.

學生自主探索并相互交流，發現cos（45°－30°）的值必然為正數，但通過畫圖作差發現cos45°－cos30°的值卻是負數，這里就出現了矛盾. cos（45°－30°）的值究竟該怎么求呢？要求學生在草稿紙上將問題條件羅列出來進行思考.

學生經獨立思考與合作交流，在教師適當的點撥下，先建立平面直角坐標系，然后畫出單位圓，再以x軸的非負半軸作為始邊分別作出45°，30°，15°角.

設計意圖 借助波利亞解題理論對學生進行思維引導與點撥，引發學生猜想，讓學生以合作交流的方式對猜想進行檢驗與證明. 教師鼓勵學生重新整理問題條件，意在促使學生進一步深入了解問題，挖掘題干條件中所蘊含的內涵，并將待解決的問題與教學內容建立聯系，以強化學生的讀題、審題能力，為建構完整的知識結構體系奠定基礎.

3. 分析問題，擬訂方案

師：觀察示意圖（圖2），可以從中提取到哪些關鍵性的信息或等量關系？

師：現在我們回歸到最原始的問題，若想獲得cos15°的值，該怎么辦呢？

設計意圖 本環節通過一些前后關聯的問題引發學生思考，意在培養學生的數學思維. 引導學生積極思考與參與，不僅能體現學生在課堂中的主體地位，還能讓學生產生自主擬定解題方案的意識，為培養學生的解題習慣奠定基礎.

4. 執行方案，深入思考

教師留下充足的時間讓學生將解題步驟寫清楚，在巡視時給予適當點撥，并在指導過程中引發學生自主思考，分析每一個解題步驟的作用以及與前后知識的關系等. 鼓勵學生將自己的推導過程展示出來，通過同伴的互相提問檢驗解題成效，并著重強調書寫步驟的嚴謹性.

師：大家已經清晰完整地寫出了cos（45°－30°）的求解過程，同時分析出cos15°=cos45°cos30°+sin45°sin30°. 假設角α與β為任意角，那么還可以用這種方法進行類比推理嗎？該結論是否依然成立呢？

分析發現，任意角α±2kπ和β±2kπ的終邊與角α與β的終邊一樣，因此僅需研究α，β∈［0，2π］就可以了. 探尋出α與β的位置，借助相同方法即可獲得cos（α－β）=cosαcosβ+sinαsinβ這個結論.

在此過程中，須給予學生充足的時間進行計算與思考，尤其需要根據α與β的位置的不同畫法進行分析，不過教師只需要順應學生的思維進行引導即可. 當學生獲得結論后，可擇取一些具有代表意義的結論進行展示，主要選擇以下兩類情況：①α與β位于同一象限；②α與β位于不同象限. 這兩類情況都可以用相同的方法來構造全等三角形，獲得cos（α－β）=cosαcosβ+sinαsinβ這個結論.

基于以上分析，教師板書：對于任意角α與β，存在cos（α－β）=cosαcosβ+sinαsinβ，記為C（α－β）.

設計意圖 要求學生自主書寫推理與證明的過程，意在提升學生的邏輯思維能力. 任意角問題的探索可引發學生自主進行，培養學生在解題過程中的自我監控意識.

5. 回顧反思，經驗總結

師：大家自主探索獲得了結論，現在請大家想一想該怎樣檢驗結論的正確性呢？還有其他方法能獲得這個結論嗎？

設計意圖 通過對整個解題過程的回顧，進一步強化學生的反思意識，讓學生形成積累知識和經驗的學習習慣.

6. 新知應用，鞏固提升

想要解決本題，應先將本題中的重要條件與未知量標注出來，然后結合波利亞解題結論來擬定解題方案——兩角差的余弦公式. 兩角差的余弦公式雖然適用，但公式的應用條件不全，需要先求出cosα和sinβ的值，然后結合同角三角函數的基本關系式可獲得問題的解.

設計意圖 本練習屬于比較簡單的兩角差的余弦定理的直接應用，通過本題的解決可訓練學生的解題思維，這是借助波利亞理論的“四步分析法”來鞏固學生對新建公式的理解與應用.

教學評價與思考

本節課以波利亞解題理論作為教學設計的依據，遵循“理解題目—擬訂方案—執行方案—回顧總結”四步分析法實施教學.

教學初始，教師以豐富的生活情境激發學生的探索欲，讓學生保持高漲的熱情進入本節課的學習. 隨著問題的逐漸深入，成功激活了學生的思維，讓學生進入了積極思考的狀態. 當學生遇到思維障礙時，教師再通過問題串的方式進行降維處理，以滿足不同學生的思維需求.

課堂尾聲，教師帶領學生一起對本節課教學進行回顧與反思，這不僅是優化學生思維的過程，還是幫助學生積累學習經驗的重要舉措，使學生能更深刻地理解公式. 因此，波利亞解題理論對促進學生數學邏輯思維的發展具有重要意義，它也是提升學生數學學科核心素養的重要理念之一.

總之，就三角函數章節來說，學生在解題中遇到的障礙不少，雖然解決每一道題所應用到的基礎知識有所差別，但解題過程中的思維程序卻有高度的相似性. 筆者認為，將波利亞解題理論與三角函數解題教學有機地融合在一起，對解題教學具有深遠的指導意義.

參考文獻：

［1］ 喬治·波利亞.怎樣解題［M］. 涂泓，馮承天，譯. 上海：上海科技教育出版社，2002.

［2］ 喬治·波利亞. 數學與猜想（第一卷）［M］. 李心燦，王月爽，李志堯，譯. 北京：科學出版社，2001.

［3］ 喬治·波利亞. 數學的發現［M］. 劉景麟，曹之江，鄒清蓮，譯. 北京：科學出版社，2006.