數學理解下學習的生成基礎、價值意蘊及發展路徑

吳仁芳 趙彬如

[摘 要] 數學學習是學習者獲取數學知識、數學能力的有效途徑，是數學教育的核心問題?；跀祵W理解視角，文章從數學概念、命題、推理和證明出發建構數學學習的生成基礎，在數學意義、關系、能力、情境和認知中涵育數學學習的價值意蘊，在數學設計、抽象、探究、反思和情境中探尋數學學習的發展路徑，以滿足數學學習中有效性、核心質、途徑源、審視域和情感場的需求。

[關鍵詞] 數學理解；數學學習；數學情境；數學設計

[中圖分類號]G633.6[文獻標志碼] A[文章編號】1674 - 6120（ 2024）06 - 0031 - 13

數學學習具有時代性和發展性，“入乎其內，見其底蘊，出乎其外，見其全體”，需要學習者以海納百川的胸懷和推陳出新的膽識運用數學知識進行數學理解，發展理性思維。《辭?！穼ⅰ袄斫狻苯缍椋哼\用已有知識揭露事物之間的聯系而認識該事物的過程1]。數學理解可認為是學習者對數學中本原性、結構性知識進行主動建構，從而達成數學高階思維的發展過程。同時，學生數學理解對象的核心是概念和關系，為數學理解而教，通過幫助學生對概念與命題的深刻理解來促進學生學習數學的推理證明，已經成為課程標準所提倡的理念‘3]。數學理解是將知識轉換為能力的重要橋梁，是一種提升思維智識的途徑。有效的數學教學需要教師認真致力發展學生對數學的理解，通過可操作的符號、技能實現學生對數學真理的追求，聚焦于教師的理解性教和學生的理解性學，促進學生學會學習。而不當或膚淺的理解，很容易造成與核心素養有關的教育教學理論或相應實踐在思維方面的混亂4]。因此，在當下剖析數學理解下數學學習的生成基礎、價值意蘊及發展路徑，對教師師德踐行、業務拓展和學生身心發展等具有十分重要的理論和實踐意義。

一、數學理解下學習的生成基礎

概念、命題、推理和證明等構成數學知識與技能的生成邏輯，而數學理解是溝通數學知識與數學技能的有效橋梁。數學理解是一個不斷變化的、有序的生態系統，其通過情境創設厘清數學概念內涵與外延，把握數學命題的意義生成，引起認知沖突，通過判斷分析、邏輯推理和證明抽象等思維整合并融合知識隔閡，從而實現“人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展”[6]。

（一）在數學概念中生成

數學概念是形成知識體系的基本所在。數學概念是一種思維產物，是人腦在對數量關系和空間形式的本質特點進行多次抽象并將其現實對象的真實意義隱藏起來后形成的，是數量具體性與空間抽象性的辯證統一。

1．數學概念使知識質量蘊涵化。理解一個數學概念，必須明確其內涵與外延，并刻畫其質的特征與量的范圍。在隱喻模式的支撐下，數學學科注重將已有的基礎概念構成的源域映射到陌生的難以理解的目標域，尋找并驗證其內在表征的契合關系，并以此推進數學理解學習的認知發展持續化。

2．數學概念使內在關系結構化。從數形關系中抽象出數學概念，通過理想化與抽象化的途徑使數學縱橫概念中的內在聯結關系相互關聯與融合．完成思維心智過程的傳遞與交流，從而促進學生提高抽象思維與理解問題表征，并構建有意義的圖景或心理表征，以此發展學生的高階思維能力，推進數學理解中多元知識結構化。

3．數學概念使符號表達奠基化。在數學判斷與推理中，數學概念是構成它們的基礎。學生根據數學概念的多重屬性及符號語言表達模式，通過拓撲結構原則對所有數學結構中的元素加以取舍，將已有的具體概念映射到抽象概念并相互融合，推進數學理解中隱性思維顯性化，以此滿足學生更高層次的追求。

4．數學概念使要素隱喻模式化。教師要引導學生正確理解并靈活運用數學概念，將數學知識中的公理與定義等具體概念作為理解抽象概念的“腳手架”。源域與目標域的隱喻模式通過對數學概念要素的性質對比、知識嵌套、拓撲結構標記等途徑對抽象概念編碼，形成與具體概念相關的結構圖，激活個體的身體活動和感知經驗，促進數學知識邏輯的連接，形成有序的知識結構體系。

（二）在數學命題中生成

數學命題是表達論域中有多少數學對象具有或不具有某種性質或關系。命題通過一定的規則把概念和概念聯結起來，從而獲得一個完整的思想。數學命題幫助學生掌握數學基本規律，理解數學基本結構，提高解決問題的能力，促進其發展合適的理解方式和思維方式。

1．數學命題使認知實踐抽象化。命題通過邏輯方法或經驗事實進行分析、證實、判斷。實踐是命題抽象性的判定標準，學生的思維所依賴的范疇或認知圖式根本上是實踐活動的范疇或圖式的隱性認知，通過實踐從而獲得揭示命題間的聯系并理解命題的過程，幫助學生在數學實踐等問題情境中驅動思維，實現認知意義建構。

2．數學命題使知識關系有序化。數學命題通過使命題形成鏈狀，讓先行命題為后續命題提供認知固著點，促使學生發現推理關系的樞紐，構成學生的推理及解決問題的基礎。數學命題通過命題串聯單元網絡并形成一定的序化圖式，能有效調動學生認知過程中的所知和能知建構體系化認知，有利于學生知識的有序檢索和融會貫通。

3．數學命題使邏輯理性合理化。數學命題被視為邏輯理性的代表。學生通過有目的、有意識、能動地改造世界并表達一種主體理性與非理性的隱性預設，而后通過理解內生的邏輯展開命題理性的推理以及思辨性的判斷和反思，實現創造性思維與感性具身要素等非理性想象和情感的培育和體驗，確保數學命題的正當性以及合理性。

4．數學命題使邏輯意義心理化。命題的學習過程就是命題的邏輯意義向個體心理意義轉化的過程[7。數學理解中能持久保持的不是命題本身，而是命題表達的意義。數學命題經過認識主體選擇認識對象并抽象加工成思維存在的形式，通過有效的命題關聯與建構，逐步抽象化生成新的結構。

（三）在數學推理中生成

數學推理是由一個或幾個已知的數學命題判斷推出新的數學命題的思維形式。在認識數學的性質和關系的過程中，需要學生基于一些數學概念與命題，作出恰當的理解并進行合乎邏輯的推理。數學推理具有演繹、歸納、類比的性質，具有發散思維、充實猜想、說明論證、擴充知識體系等多方面的功能。

1．數學推理使思維縝密化。數學推理推動學生主動確認問題的本質屬性，訓練學生心智的活潑自由性，增進其理解事物的邏輯性與敏銳性；同時，在數學推理中運算和思維均不可偏廢。復雜的推理不僅需要學生依靠數學公式與數學運算得出結論，還要依靠數學思維運籌帷幄，增進思維的廣度、寬度、深度，全面把握問題。

2．數學推理使認知深刻化。從推理的形式上看，數學推理的目的在于通過邏輯上的核實、校對確定命題的真實性，然而對事物的淺顯認識往往阻礙了推理的前行。數學推理需要比較、聯結、提煉、反思，每一個環節都離不開已有的正確概念、命題與新命題之間的關聯，通過聯結使學習者對新命題的認同方式從邏輯意義上過渡到心理意義上，逐漸扎根于學生心理。

3．教學推理使品質堅毅化。數學推理的迂回挫折性使學生實實在在地參與到推理的智力活動中，體會在不斷辨別、組織、重組中將概念、命題整合成符合邏輯的信息體。在通過實現推理目標的途徑中，學生在面臨推理失敗的情況下依然選擇堅持，忍耐力、復原力等卓越屬性被塑造。

4．數學推理使知識系統化。代數推理、空間推理、數據推理、綜合推理囊括了數學學科中的上位知識和下位知識。在數學推理中，學生把推理過程看成一種“征服對象”，挑選合適的數學知識作為工具完成推理流程，將學習到的零散知識進行加工，梳理知識系統的內在意義、一般過程與思想方法，增強學生對知識的組織判斷能力。

（四）在數學證明中生成

數學證明是以一些真實的命題、公理為前提來確定另一個數學命題正確性的思維過程，具體地說是由數學基本概念、命題為基礎，從題設條件人手，遵循數學基本邏輯、運算規則，通過逐步歸納、演繹，得出結論的過程，即尋找命題之間的傳遞性。

1．數學證明使論證過程檢驗化。一個完整的證明應當包括對命題的論證演繹推理過程及核實命題正確性的檢驗過程。在論斷中，學生將自身對數學概念、命題、公理的理解以“數學文本”的方式呈現；在驗證中，對文本自始至終進行完整視域融合上的閱讀與檢驗[10]，由此建立了學生數學證明上闡釋性論證與理解性檢驗的綜合統一體。

2．數學證明使認識價值化。數學證明在淺層上帶給學生數學知識論的價值，在更深層面具有數學認識與方法論的價值。在數學知識體系不斷發展壯大的歷史長河中，許多學者以孜孜不倦的探索精神追求運用數學證明、論證諸多數學命題的真實性，并使之成為邏輯自洽的公理體系，形成了猜測、猜想、檢驗、反例、嘗試、反駁等數學證明基本和永恒的品質[II]。

3．數學證明使推理意義化。數學證明以情境化的方式基于學生生活環境的一致性和普遍性與實踐元素相結合。人的意向作用是程序運作中的非智力因素，邏輯干擾對其影響不大。從實踐角度看，數學證明不是推理意義的固化痕跡，而是找尋數學生命意義的活動，在潛移默化中習得數學推理研究方法，使學生終身受益。

4．數學證明使未知歸真化。數學證明是數學發展的必要途徑。數學證明在學科意義上是數學與理化自然學科最主要的區別，它對數學學科中對錯未知的猜想進行分類：若錯誤，則棄之；若正確，則將其轉化為命題、定理。數學真命題是數學證明的可判性與正確性在數學發展上的應有之義。

二、數學理解下學習的價值意蘊

數學理解既體現為個人發展的內在驅動，也體現為時代需求的外在選擇。數學理解不僅僅將新的概念與命題與先前的概念與命題建立聯系，而且隨著數學理解的不斷深入，學生能夠通過數學中的推理與證明等對知識構建認知和賦予意義，建立復雜交錯的關系，創建一個豐富、整合的認知結構。在情境知識的應用過程中，學生體會和感悟數學學習，并逐步將知識本位的單一課程價值取向轉變為數學情感態度價值觀、數學知識、數學能力的多維度、綜合性價值取向的心理過程‘12]。本文從意義、關系、能力、情境和認知“一體五面”的角度對數學理解下學習的價值意蘊進行闡述。

（一）意義構建優化學習方式的有效性

從意義角度看，理解實質上是學生結合自身的經驗和理論知識，在知識符號代表的社會意義中構建內部的心理表征，進而獲得心理意義的過犁13]。從認識論障礙角度看，理解就是領會意義的行動，理解不可避免地涉及在越來越詳盡的猜測和證實猜測之間不斷發展的解釋過程[14]。

1．數學理解通過學生經歷復雜艱辛的心智付出并結合自身的經驗構建理論知識的過程，賦予學習方式個性化。個體在對知識構建意義的時候，由于自身認知與經驗的缺失，學生對新舊信息的處理方式常常取決于自我狀態表現，以此對信息進行再理解與再構造，從而實現構建意義與達成自我理解。這里構建意義的過程其實就是人們賦予“經歷”意義的過程[15]。這種過程需要賦予知識意義并建立一個具有賦予自我的意義構建，以形成獨具特色的穩定的學習風格。

2．數學理解通過學生用自己的語言正確地敘述概念，超越知識淺層，深入刻畫知識結構體系，解釋概念所揭示的本質屬性，構建內在表征，理解知識符號代表的社會意義與形成的單元結構產生思維活動，賦予學生學習思維的意義建構，促進學生對數學潛在問題進行心理加工以及對理性觀念的自我創造和澄清。這種自我能保持學生完成教學過程中的基本活動，形成知識取向，這種指向知識的偏好性的行為方式與行為特征有助于學習方式的蛻變。

3．數學理解通過學生重建和完善內在層次的心理意義，最大限度地激發求知欲，賦予知識內核的意義構建，實現學習方式的發展。數學知識體系的構建不但需要學生經過反復的信息加工、細致的深度建構以及復雜的高階思維掌握全新的知識點與技巧，而且需要學生優化自身偏好性的行為，利用新掌握的知識、技巧處理實際境域中的復雜問題，并重建自己的認知體系，以便對發生根本變化的境域作出適宜的反應。

（二）關系聯結突破學習策略的指向性

從關系角度看，學生不僅要把握世界中的一種真實關系，而且要有能力將真實的關系與其他可能卻并不存在的關系區分開來[16]，可能關系就構成了“模態空間”[17]。認知者掌握的“模態空間”越大，他對某個對象的理解就越深。

1．數學理解通過學生對數學概念間關系內涵的深刻理解對概念外延的精準掌握以及對概念內部關系的清晰表述來實現，這意味著以概念關系為核心的意義復原與生成過程[18]。構建過程的關系聯結規定著數學思維范式的生成方式，這種生成性能保持學生“有意識地將學習方法和技巧運用到學習過程中，并能夠對學習過程進行調控”[19]。這種指向過程調控的外顯操作過程或內隱規則系統有助于學習策略的突破。

2．在同一個數學概念的各個表征形態之中，或者在同一表征形態的相關概念之中，一旦形成了概念內部表征之間的關聯，就會形成理解的知識網絡，構建網絡的關系聯結，從而幫助學生深刻理解數學知識與關鍵能力的關聯，將不同類事物賦予聯系。同時在這種關系聯結作用下，促進學生從編碼系統中，通過過程調控形成具有意義的認知結構，及時調整學習策略，把握知識所蘊含的思想方法、理性品質以及精神價值。

3．學生在數學學習中由淺入深地理解數學網絡知識之間的內部表征和現有學科知識網絡與數學相關信息之間的交叉表征，能幫助學生順利進行知識遷移，并提高學生對數學的理解。對某個數學概念、方法或事實徹底地理解，需要多方位、多角度、多維度地把握數學關系，使它和現有的網絡以更強的或更多的聯系相聯結[20]，這樣有助于學生獲得更好的學習策略。

（三）能力確立達成學習動機的自我性

從能力角度看，數學理解是一種結構化的學習能力，是在學習過程中表現出的認識數學的個性特征[21]。學生在學習數學時獲取結構化的數學關鍵能力尤為重要。關鍵能力是指個體適應生活情境需求所不可或缺的知識、技能和態度，是可持續發展的關鍵，是與“專業能力”并行的兩大“職業能力”影響因素22]。本文所說的關鍵能力主要是指向能力、基礎能力、高階能力。

1．指向能力確立激發學習需要的生成。通過應用演繹、歸納和類比進行推理、分解、組合，幫助學生尋找與設計合理的學習手段，從學科視角對接學生能力中的認識能力、合作能力以及創新能力[23]，構建指向能力。同時，通過對情境以及與之關聯問題的探索，引起認知沖突，引發思辨，利用情感促進數學學習，使之更符合學生認知的心理發展規律，激發學生對數學學習的需求。

2．基礎能力確立誘發學習期待的愿景。學生通過數學理解對數學知識結構化、網格化與泛在化等產生大量的情感聯系，并由此促使學生形成表達數學概念與情境的能力，而這些能力都與某種普遍性的、生成式的和特定表征的數學現象互相聯系，對推理、推斷、遷移與應用等都至關重要，是人的認識發展過程以及人類整個智力發展進程的重要基石。同時，通過數學課程的學習，培養學生形成數學層面上發現、提出、分析、解決問題的連貫性能力，使學生能夠更好地理解和應用問題所蘊含的潛在數學知識，產生解決較高難度問題的心理期待，激發學生繼續學習的愿景。

3．高階能力確立構建學習動機的達成。數學實踐活動能影響學生的學習效率、心理傾向，使學生掌握處理數學問題的技能，并在不同的教學情境中獲得理解、判斷的相關能力。在高階能力的構建中，培養學生能夠以數學之視發現問題，以數學之思分析問題，以數學之語表達問題，將知識轉化為抽象思維、邏輯能力，以此來達成學習動機，從而實現學生必備品格與核心價值觀的培養，為知識的深度理解與實踐創新提供動力源。

（四）情境踐行改善學習態度的養成性

從情境角度看，數學理解是人們在共同的情境化的社會實踐中持續協商產生的，通過主體對客觀結構的心理運算，形成一種整體的、動態的、層次的、超驗回歸的心理過程[24]。要創設良好的數學課堂情境，需要教師對情境價值有深刻的領會和理解‘25]。“情”就是課堂中因為問題而產生的情感氛圍，“境”就是由問題建構的一個學習域[26]。

1．真實情境孕育探究態度。通過人的思維活動與行為所賴以依存的真實世界中的情境，營造一個讓學生更愿意全力投身探究本原問題的氛圍，引導學生從不滿足于已有的答案或結果出發積極探究全新的問題，尋求更富有可能性解決問題的思維方法，培育創造精神，形成不斷探索的態度。

2．協商情境穩固態度內涵。意義是學生內在的認知結構與新認識的心理表征的聯系，是人們在共同的情境化的社會實踐中持續協商產生的，是主體對客觀結構的心理運算。構建協商的情境，學生會經歷數學認知發生的情境，感受認知生成過程中的情感態度，獲得豐富的感性體驗與系統科學的數學認知。這種情感能讓學生對學習保持較為持久的肯定或否定的行為傾向，鑄就穩定的認知態度。

3．現實情境提供態度改善的實踐場。數學理解在實踐場中通過觀察猜想、歸納推理、類比聯想、關聯化歸、概括反思等一系列思維形式，使學生獲得發展。在這一實踐場中，學生的認知、技能、經驗、情緒、動機、價值觀、情感等構成了數學理解的情境。從情感角度看，學生對學習數學的擔心、懼怕、憂慮、信心、動機以及認同與歸屬感等體驗，可以通過數學理解改善數學學習態度。

（五）認知默化發展學習智慧的生成性

從認知角度看，數學理解是一個認知內在默化的心理過程，是將新舊知識進行主動聯系的過程，在這個過程中一個靜態的概念被獲得并應用[27]。在數學教學中，認知的內部表示和外部表示構成了理解的框架，理解是一種認知狀態。在布盧姆看來，教育的六種認知過程是對知識保持與遷移的過程[28]。

1．從數學知識的最初狀態到數學關鍵能力的獲得，數學理解不僅幫助學生理解數學符號、概念、公式與定理，而且把具有抽象性和邏輯性的數學知識結構與具有學生感知、記憶、思維和想象的心理結構融合起來，幫助學生將數學知識整體化、有序化與網絡化，獲得具有整合的認知結構，突破現有學習框架的束縛，實現學習智慧的可能。

2．學生以原有數學經驗、信念為背景自己去建構知識，在開放的學習環境中，主動、自主地選擇學習內容，全面深刻地理解數學的性質、規律以及內在本質，將零散、混雜、無序的數學知識進行關聯化、結構化和模式化，實現對數學知識領域松散型主題的融通以及數學基礎知識、關鍵能力、核心價值觀和學習智慧的共生，促進數學的科學、審美、文化和應用價值的統一，實現學習智慧的可生。

3．在數學學習過程中，學生不斷調控自己的情緒、策略、技能等，結合自己的感知、記憶、思維、想象和言語了解心理、意義賦予的形成機制，構建具有可利用、可辨別、穩定的整體知識結構，培養高水準達成自我境界的綜合能力。了解學習本質和概念，將知識轉化為智慧和能力，在具體的學習情境中選擇合適的認知與有效的學習策略，并將知識遷移到新的學習情境中，實現學習智慧的可用。

三、數學理解下學習的發展路徑

數學理解是一系列思維活動，是思維主體在宏觀和微觀上了解思維認知結構、多維度把握數學關系、對認知意義進行深度賦予的過程。通過數學設計、數學抽象、數學探究、數學反思、數學情境等路徑發展數學理解能力，實現概念結構化、命題系統化、推理嚴謹化與證明有序化，將它們連成線、鋪成面與結成網，從而培養學生學會學習。

（一）數學設計生成數學理解中學習的有效性

數學學習在發生機制上體現為充滿好奇心與想象力的沉浸式學習，在行為進程上呈現為研究知識關系與結構的理解性學習。這種理解的發生是通過設計獲得應用知識或信息加工的過程，在分析語言和心理的變化過程中重構本來意愿。數學設計指向數學理解的技術結構層面，是發展的有效環節。

1．生成結構中的數學設計。數學設計指向知識的學習必須是結構化學習，因為只有在內容結構化中進行的問題處理才能夠提升學生的基本技能與必備素質。因此，每一個單元教學設計需要從思考期望學生“學會什么”出發，到證明“學生何以學會”，最后在“實現理解”的實踐活動中獲得新的數學知識與技能。

2．生成整體中的數學設計。數學學科獨特的邏輯性表明，零散的數學知識在抽象思維的帶領下可以透過其背后的隱喻來探索其關聯性，認清知識系統內部有序的推論。數學設計促進數學理解發生的教學過程是圍繞一定整體性的單元知識展開的，鼓勵學生從被動學習走向主動學習，潛在地推動學科內在知識體系的構建，實現知識的延展創造。

3．生成發展中的數學設計。學生是發展中的人，隨著學生心智的發展，已有經驗將不再滿足學生的需要，因此教學設計要處于不斷的發展變化中。數學設計引導學生體悟知識發展的動因，滿足學生發展的需求，在大單元、大概念、大學科導引過程中突出學生未來發展的需要，強調學習興趣和愛好養成、學習信心增強、學習觀念提升、學習習慣培養、學習熱情激發等，以發展自主學習的能力。

4．生成交互中的數學設計。數學教學的發生是雙邊交互的過程，是教師的教與學生的學統一的過程。數學設計旨在促進數學理解在師生數學活動互動中生成，通過教師對數學資源的引導，滿足學生對認知和自我實現的需要，有利于學生自主學習動力的內生。

（二）數學抽象強化數學理解中學習的核心質

數學理解需要學生在抽象思維中沉浸式理解數學本質，目的是激勵學生不斷探索、創新，并掌握知識的意義和價值，力求讓學生做到學習知識不浮于表面低層次的外在表征，能深入本質通達高層次的內部表征。數學抽象指向數學理解中學習價值的思維結構層面，是其發展的核心特質。

1．強化歸納中的數學抽象。歸納是從特殊到一般原理的思維方式，是學生總結提煉經驗的過程。通過對數學對象特例的分析，比較、判斷數學對象具有普遍本質和規律，讓學生學會從量或形的視角，去觀察、理解現實的思維對象，從而使個體在數學思維活動中獲得對心理意義的深刻認識和對數學問題的深度理解。

2．強化演繹中的數學抽象。演繹是由一般到特殊原理的思維方式，是尋求前提與結論之間充要條件的過程。通過假設命題運用邏輯規則假設另一個命題，利用層次性、理想化、形式化、符號化等手段抽象提取本質屬性，從而產生創造性的數學思維，達成學生邏輯思維與直覺思維的統一，幫助學生形成有意義的、自我反思的數學學習狀態，遠離固化的、機械式的淺層學習。

3．強化類比中的數學抽象。類比是從未知與已知的比較出發推測知識屬性的一致性或相異性，是平行性思維遷移的過程。通過對數學知識間主要性質特征的推理，在探究知識之間聯系的過程中理解新知，經由自主思考、提出質疑、爭辯討論來促進知識的裂解、聚合和遷移，將學生培養成善于獨立思考、敢于質疑、能夠批判地進行分析和評價、主動地建構知識體系、靈活地處理問題以及創造性地解決問題的高素質人才。

4．強化直覺中的數學抽象。直覺是人的大腦不經過分析推理而對事物的直接感覺，是知覺的直接洞察。通過在以往數學經驗理解的共鳴中探尋數學真理的本質而產生的直覺，有利于學生不受傳統思維的禁錮，從整體上把握數學問題，掌握數學的精髓，為解決數學問題提供預見性的指引，展示數學思維的前瞻性。

（三）數學探究夯實數學理解中學習的途徑源

理解問題需要知識相互整合，涉及各科知識以及不同知識收集手段的融合。數學學習要求學生在多個知識之間展開聯系和探究，把現有的認知轉化到全新的情境中，以達到對數學知識的理解與持續掌握，獲得數學關鍵能力的發展。數學探究指向關系聯結下數學理解中學習價值的實踐結構層面，是學生發展的重要途徑。

1．夯實能動中的數學探究。學生的能動性主要體現在從傳統的知識接受者向自覺的學習主體轉變，是學生主體對外部數學知識的刺激做出的積極應答。數學探究幫助學生在問題解決的過程中，基于已有的認知自主地思辨、質疑與審視、批判，發揮主觀能動性促進數學理解發生，并有效結合外界學習任務，形成對一個有著共同特點或相似特性的知識點群之間的關聯性理解。

2．夯實問題中的數學探究。數學問題是學生在數學活動中通過已有經驗而無法解決的情景狀態，是激發學生探討的對象。數學探究幫助學生通過探究型的教與學，揭示數學概念和定義的本質與非本質關系，運用發散思維將數學知識間所蘊含的多個深層關聯進行延伸并拓展深化，逐步加深對問題的認識與理解，激發解題的興趣、拓寬解題的思路，促進對問題的深度理解。

3．夯實遷移中的數學探究。數學遷移是學生新舊知識之間的連接，是一種學習對另一種學習的影響。數學探究幫助學生將傳統碎片化、封閉的知識結構，變為系統性、連貫的知識結構，并通過思維演繹、提取應用和知識創新，將知識和方法遷移到真實情境，讓新知情境成為問題求解的主體，為學生指明了由熟知情境到陌生情境的認知轉化。同時，在學習過程中形成的行為規范和價值觀以不同形式遷移到日常生活中，形成良性循環。

4．夯實應用中的數學探究。數學應用是學生解決問題時數學實用價值的體驗，是數學學習的根本目的。數學探究幫助學生在現實生活情境中理解、思考數學問題，分離生活元素與數學元素，構建數學模型，深入挖掘數學本質，從而找到數學應用核心，理解數學的社會意義與抽象意義，增強責任意識與學習活力，為人類發展做出貢獻。

（四）數學反思聚焦數學理解中學習的審視域

教師在評價反思中提高教學質量，在教學反思中改進教學對策，通過交流與反思不斷超越自我，將反思教學實踐落實到課堂、落實到學生，實現數學真正的理解。數學反思指向數學理解中學習價值的能力結構層面，聚焦數學理解中學習的審視方式。

1．聚焦體驗中的數學反思。數學反思是基于當前教育對學生學習體驗與參與、品格與價值觀以及情感缺失的回應，是心靈的反觀自照。學生通過體驗用數學的視角發現問題、提出問題、分析問題，再對問題進行探究形成批判認知，最終形成獨立思考、分析和解決問題的能力。反思體驗的實質是學生對數學問題的再思考、再剖析，在論證、求解的基礎上，實現數學知識到數學情感的升華，培養對數學學習的積極態度。

2．聚焦評價中的數學反思。數學反思需要考慮學生的個人情感、行為態度與價值觀，采用持續性的評價方式對學生數學學習的目標進行合理評價，保證對學生形成適時的、及時的、不間斷的監控和管理，以直觀簡潔的數學語言向學生解釋和表達數學的概念、結論、應用以及思想方法。對評價的反思也可以促進評價方式的多元化，打破僅靠試題形式的評價手段，實現對學生知識、能力、綜合素質的多方面考量，促進“五育并舉”的人才培養。

3．聚焦批判中的數學反思。數學批判是學生獨立分析、敢于否定思維品質的體現，是凌駕于學生本身知識儲備之上的一種質疑精神。數學反思不僅是一種面向理解基本知能而采用比較判斷與甄別抉擇的學習方式，更是學生對自己思維過程及結果進行批判洞察與移情體驗的再認識，能促進學生高階知能的發展、遷移和生成，在假設猜想、實際操作、實踐驗證與回顧總結過程中，形成具有批判性、創造性與元認知、復雜心智特征的高階思維能力。

4．聚焦監控中的數學反思。數學監控是以學生數學活動為對象，進行自覺的計劃、檢驗、調節和管理，是元認知領域的范疇。數學反思不僅是一種由結果指向的反思，更是一種過程性的反思。學生自發對數學活動各個時期進行監控，能刺激反思頻率的增加，促進學生在不同知識的縱橫對比中及時補充、修正，加深對數學知識的洞察，在反思中不斷進步、不斷收獲。

（五）數學情境承載數學理解中學習的情感場

數學學習理論提倡數學教師對教學內容進行情境化，在復雜情境中把握知識之間的關聯，在實際情境中發現、提出、分析與解決問題，感悟數學本質，引導學生理解學習內容與過程。數學情境指向情境踐行下數學理解中學習價值的情感結構層面，是學生發展的情感承載。數學情境的主要任務就是把已知數學關系轉化為需要探索的未知關系并置于實際背景中，其核心在于激發學生的問題意識，形成問題空間，引發學生的數學思考。

1．承載本真中的數學情境。數學本真中的情境是數學活動在生活中所涉及的實際問題和對環境的真實反映，是數學在社會發展中的現實縮影。數學情境是通過交互活動產生的真實情境，而不是抽象或符號化的虛擬情境。在實際情境中應用知識，將會引起認知沖突，引發思辨，通過判斷分析、邏輯推理等思維培養學生的數學理解能力。

2．承載實踐中的數學情境。在實踐中，教師通過努力追求自身成功或展現個人能力來理解和改變環境。一切實踐情境從其本質來看都是存在能動機制的人進行實踐活動的情境，是蘊含人的能動性過程的實踐情境。在教學中，教師通過自己的積極情緒調動學生的學習狀態，運用自己的知識、技能和方法等創造性地解決問題，達到最佳教學效果[32]。

3．承載生活中的數學情境。生活是數學概念、命題、定理產生的背景，正是生活的需要催生了數學的發展。數學情境通過生活將數學思維轉化成現實中的實例，發展學生思維的靈活性、解放性，打破數學學科孤立知識的壁壘，促進多學科領域情境的結合，培養學生的跨學科意識。

4．承載情感中的數學情境。情感是個體在數學活動刺激下產生的復雜心理反應，是學生心靈的真實寫照。數學情境利用情感促進了數學學習，使之更符合學生認知的心理發展需求。情感是發生在數學學習過中的內驅力，不但涉及個人外顯的情感行為，更符合個體內在的心理活動，愉快的情感可以創設更好的數學教學環境，從而推動數學理解的再生。

綜上所述，數學理解在數學學習過程中彰顯了重要的引領作用。在數學理解下的數學學習是一個復雜且內隱、多維的心智過程，是學習基礎生成、學習價值涵育、學習途徑探尋的核心，是實現高質量數學育人、高水平數學教學以及人才培養的必要條件。同時，數學理解賦予數學學習高階性、創新性、鑄魂性，使學生從中獲得理解及自主學習的能力，享受數學創造中的樂趣，達到內化核心素養、外化數學精神的教育目的。

參考文獻：

[1]陳至立．辭海[M]．6版，上海：上海辭書出版 社．2009：2654．

[2]李春雷，于鳳來，數學理解水平的劃分[J].數 學教育學報，2022（4）：68 - 73，97.

[3]章勤瓊，黃榮金，南欲曉．為數學理解而教：基 于學習路徑分析的小學數學教學課例研究 [J]．課程·教材·教法，2019（11）：116 - 122．

[4]潘小明，黃敏．核心素養概念的再理解：多元與 融通[J]．教育與教學研究，2019（8）：13 - 23．

[5]吳仁芳，夏世嬌，嚴瑾．新課標下數學理解發展 的六個切入點[J].中小學教材教學，2023（7）： 27 - 31．

[6]中華人民共和國教育部．普通高中數學課程標 準（2017年版2020年修訂）[S].北京：人民教 育出版社，2020：2．

[7]張志勇．高中數學可視化教學：原則、途徑與策 略：基于CeoGebra平臺[J]．數學通報，2018（7）： 21 - 24，28．

[8]顧麗英，鄧德?。僮餮诱剐跃毩暯虒W：在兩種 推理交互作用中發展數學新知識[J].數學教 育學報，2022（3）：50 - 55，93.

[9]黎曉娜，郭小艷，李曉華，等．自主支持環境與 中學生堅毅品質：一個有調節的中介模型[J]. 教育研究與實驗，2023（2）：102 - 111.

[10]劉偉偉，劉曉紅．詮釋學視域下數學證明的構 造機理研究[J].煙臺大學學報（哲學社會科 學版），2023（2）：10 - 18．

[11]張曉貴．對數學證明的審查與數學可謬性

[J]．科學技術哲學研究，2018（4）：58 - 62.

[12]鐘啟泉，崔允漷，張華．為了中華民族的復興為了每位學生的發展：《基礎教育課程改革綱要（試行）>解讀[M].上海：華東師范大學出版社，2001：3 - 15．

[13]鞏子坤．數學理解說及其理論與課程意義[J]．比較教育研究，2009（7）：39 - 43.

[14] SIERPINSKA A. Understanding in Mathematics[ M]. London： Falmer Press， 1994： 121 - 122.

[15]劉儒德．論學習策略的實質[J].心理科學，1997（2）：179 - 181.

[16]格林S，王昕桐，作為理智德性的理解[J].自 然辯證法通訊，2019（5）：1-9．

[17]方紅慶．從知識到理解[J].現代外國哲學， 2020（2）：167．

[18]趙兆兵．數學理解的內涵、意義與實踐策略探究[J].江蘇教育，2019（49）：37 - 40．

[19]楊新榮，宋乃慶．民族地區中學數學課堂學習 環境和數學態度關系調查研究[J].民族教育 研究，2016（6）：71- 76.

[20] GROUWS D A.數學教與學研究手冊[M].陳昌 平，譯，上海：上海教育出版社，1999：67．

[21]王瑞霖，綦眷霞．數學理解的五層遞進及教學策略[J]．中國教育學刊，2014（12）：40 - 45．

[22]王茂莉．高校學生關鍵能力的彈性培育體系 構建研究[J].教育與教學研究，2013 （2）：84 - 87．

[23]朱立明．高中生數學關鍵能力：價值、特質與 操作性定義[J].天津師范大學學報（基礎教 育版），2021（2）：49 - 54．

[ 24] GREENO J.Understanding and Procedural Knowl-edge in Mathematics Instruction[J].Educational Psychologist， 1978（3）：262 - 283.

[25]蔣玉國，黃磊．核心素養視角下小學數學課堂 情境創設問題與改進研究[J].教育與教學研 究，2018（9）：106 - 110，129.

[26]羅祖兵．教育學問題教學的問題情境及其創 設[J]．現代教育科學，2011（9）：75 - 78.

[ 27] BYERS V. HERSCOVICE. Understanding School Mathematics[J].Mathematics Teaching， 1977 （12）：24 - 27．

[28]安德森LW，克拉思沃爾DR，艾拉沙恩PW，等．布盧姆教育目標分類學（修訂版）[M].蔣小平，羅晶晶，張琴美，譯．北京：外語教學與研究出版社，2009：50.

[29]杜萍，田慧生．論教學智慧的內涵、特征與生 成要素[J].教育研究，2007（6）：26 - 30.

[30]錢旭升，論深度學習的發生機制[J].課程·教 材·教法，2018（9）：68 - 74.

[31]任旭，夏小剛．問題情境的創設：基于思維發 展的理解[J].數學教育學報，2017 （4）：15 - 18．

[32]劉歷紅．小學教師課堂教學藝術生成策略研究[M].北京：中國社會科學出版社，2019：58．

（責任編輯：彭文彬）

Generation Basis， Value Implication and Development Path

of Learning Under Mathematical Understanding

WU Renfang ZHAO Binru

（Department of Mathematics and Statistics， Hunan Normal University， Changsha， Hunan， 410081， China）

Abstract： Mathematics learning is an effective pathway for leamers to acquire mathematics knowledge and ability，and it is the central issue of mathematics education. Based on the perspective of mathematical understanding， this studyconstructs the generation basis of mathematical leaming from mathematical concepts， propositions， reasoning， and proofs，nurtures the value implication of mathematical learning within the mathematical meaning， relationship ， ability， context， andcogjiition， and explores the development path of mathematical leaming through mathematical design， abstraction， inquiry，reflection， and context， so as to meet the needs of effectiveness， core quality， approach source， review field， and emotionalfield in mathematics leaming.

Key words ： mathematical understanding ; mathematical leaming; mathematicl situation; methematicl design