OBE理念下中國數(shù)學(xué)課堂HPM教育價值研究

殷振杰

*基金項目：浙江警察學(xué)院2023年度校級教育教學(xué)改革、課堂教學(xué)改革項目“OBE理念下的新時代公安院校《高等數(shù)學(xué)》課程創(chuàng)新實踐研究”（項目編號：20230105）.

摘? 要：本文在OBE理念下對中國數(shù)學(xué)課堂HPM教育進行價值研究，通過對我國數(shù)學(xué)史進行深入梳理分析，由實例分析對比中西方在極限、算學(xué)、求解高次方程方面的歷史成就，有助于在課堂教學(xué)中提升學(xué)生的民族自豪感和愛國主義情懷，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.關(guān)于中西方的差距問題采用辯證的觀點看待，承認差距、銘記教訓(xùn)是為了更好地推動中國數(shù)學(xué)的繼承與發(fā)展.并且對于中國數(shù)學(xué)未來發(fā)展提出了“強基培元，韜光養(yǎng)晦，奮力實現(xiàn)中國夢”的觀點以及對未來的展望.

關(guān)鍵詞：OBE；HPM；數(shù)學(xué)教育；文化自信

“以史為鑒，可以知興替.”O(jiān)BE（Outcome Based Education）理念，即以成果為導(dǎo)向，以學(xué)生為本的教育理念，我們通過研究我國數(shù)學(xué)發(fā)展歷史，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)不再是單單作為科學(xué)研究的運算輔助工具，它因其背后所蘊含的悠久歷史而散發(fā)出獨特的芳香，在中國數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中運用HPM（History and Pedagogy of Mathematics）教育理論，具有極深遠的意義和價值.中共中央總書記習(xí)近平在前不久主持中共中央政治局第三次集體學(xué)習(xí)時強調(diào)，加強基礎(chǔ)研究，是實現(xiàn)高水平科技自立自強的迫切要求，是建設(shè)世界科技強國的必由之路.將我國這寶貴的數(shù)學(xué)發(fā)展史融入到基礎(chǔ)數(shù)學(xué)日常的教學(xué)環(huán)節(jié)之中，起到“潤物細無聲”的教學(xué)效果，以學(xué)生為中心，站在學(xué)生的角度去教學(xué)，能夠把抽象的數(shù)學(xué)知識更加“接地氣”的傳授，激發(fā)中國學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，也便于學(xué)生更好地理解所學(xué)的抽象數(shù)學(xué)知識，讓學(xué)生感受到中國古代數(shù)學(xué)家為數(shù)學(xué)發(fā)展所做出的艱苦卓絕的努力和來之不易的成功，切身體會到數(shù)學(xué)知識經(jīng)由歷代中國數(shù)學(xué)家不斷嘗試、不斷優(yōu)化更新的形成過程，進一步激發(fā)當(dāng)代青年學(xué)生的愛國主義情懷，增強民族文化自信.

1? 輝煌的歷史成就讓我們有理由文化自信

古代中國數(shù)學(xué)歷史和世界數(shù)學(xué)史相比，既是相互獨立發(fā)展，又有驚人的相似之處.［1］

東方不乏“極限”思想的應(yīng)用.早在春秋時期，我國的杰出哲學(xué)家莊子便發(fā)揮其異于常人的抽象思維能力，提出了“一尺之棰，日取其半，萬古不竭”，指的是一尺長的木棒，第一天取去一半，第二天再取去剩下的一半，以后每天都取去剩下的一半，這樣永遠也取不完.［2］而極限這一概念直到十九世紀才被西方數(shù)學(xué)家準確而清晰地描述出來.

三國時期的數(shù)學(xué)家劉徽曾創(chuàng)造性地運用極限的方式論證了《九章算術(shù)》中關(guān)于多面體體積求解問題中的陽馬術(shù)，后被稱為“劉徽原理”，記錄在其《九章算術(shù)注》之中.其發(fā)明的“割圓術(shù)”更是被史學(xué)記載為中國數(shù)學(xué)史上最早建立可靠理論以及最早建立關(guān)于圓周率精確度的一種迭代算法，即“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失矣”.從圓的內(nèi)接正多邊形中得到的徽率便是圓周率，計算過程比西方數(shù)學(xué)家阿基米德和托勒密的割圓術(shù)更加嚴謹簡潔.為后來祖沖之計算圓周率奠定了堅實的理論基礎(chǔ).在數(shù)學(xué)課堂上若將上述例子作為數(shù)列章節(jié)或極限章節(jié)的引入，更能激發(fā)學(xué)生的民族自豪感.

中國“算學(xué)”乃國之瑰寶.唐代初年時期，唐高宗欽定了十部數(shù)學(xué)名著作為“算經(jīng)十書”的教材，在當(dāng)時的最高學(xué)府國子監(jiān)算學(xué)館內(nèi)進行傳授，其中就有王孝通的《緝古算經(jīng)》，作為其一生之心血結(jié)晶，特別是“開帶從立方”的方法在二次內(nèi)插法和一元三次方程的理論與應(yīng)用中的體現(xiàn)，對中外數(shù)學(xué)家都有極大的啟發(fā)和影響.

作為基本能代表“明初數(shù)學(xué)”發(fā)展水平的《九章算法比類大全》，是吳敬用他十余年的時間對各種數(shù)學(xué)問題進行收集整理、歸納研究所完成的十卷著作.其中既包含楊輝的《詳解九章算法》、劉徽的《海島算經(jīng)》、王孝通的《緝古算經(jīng)》等典籍中的問題，也有意識地提倡學(xué)習(xí)古代數(shù)學(xué)，更注重實用的數(shù)值計算問題，創(chuàng)造性地引入了起源于阿拉伯的“寫算”乘法并加以改進，這一舉措影響了中國古代數(shù)值計算由算籌演變?nèi)〈鸀樗惚P的過程，“鋪地錦”也體現(xiàn)在后來珠算之父程大位所著的《算法統(tǒng)宗》之中，為中國數(shù)學(xué)的發(fā)展注入了強有力的活力助推劑.

享譽世界的萬字數(shù)學(xué)著作《算學(xué)寶鑒》是我國第一部珠算書，由明清數(shù)學(xué)家王文素所創(chuàng)，書中文字言簡意賅，內(nèi)容貼近生活，知識廣泛、算法嚴謹、公式先進，書中的“開方本源圖”甚至比1544年德國數(shù)學(xué)家施蒂費爾所著的《整數(shù)算術(shù)》時間更早，算法更完善，至今依舊被學(xué)者所稱贊，被視為當(dāng)時算學(xué)界的頂峰.

求解高次方程問題在宋元時期達到了中國數(shù)學(xué)發(fā)展的巔峰.在李治所著的《測圓海鏡》和《益古演段》中出現(xiàn)了利用“天元”未知數(shù)的概念建立方程的方法，其與秦九韶分別獨立將記號O表示為空位，從而完善了中國十進制.

秦九韶的《數(shù)書九章》更被譽為一部劃時代的數(shù)學(xué)巨著，內(nèi)容之精妙絕倫，影響之巨大深遠，令后世敬仰.在世界范圍內(nèi)求解不定方程的問題中，書中的“大衍求一術(shù)”可作為中國獨樹一幟的求解方法，亦被稱為“中國剩余定理”，早于西方高斯建立的同余定理.特別是“正負開方術(shù)”在任意高次方程的數(shù)值解法問題上更早于英國霍納的同類型解法.

楊輝不僅對當(dāng)時的籌算乘除計算技術(shù)和縱橫圖進行改進，而且在《詳解九章算法》中記錄了賈憲的二項式展開系數(shù)規(guī)律并歸納為“開方作法源圖”，可以迅速地作開方計算，后被稱為楊輝三角.

朱世杰所著的《四元玉鑒》中，不僅創(chuàng)造性地提出了“四元術(shù)”，用于求多元高次方程組的解，后稱為秦九韶算法，早于西方和其類似的霍納算法，而且還創(chuàng)造性地提出了“垛積術(shù)”和“招差術(shù)”，也就是現(xiàn)在所稱的“朱世杰恒等式”，用于高階等差數(shù)列求和及高次內(nèi)插法之中，完善了在《授時歷經(jīng)》中許衡所用的“招差術(shù)”，為古代數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展做出了巨大的貢獻.朱世杰的數(shù)學(xué)算法與后來牛頓和泰勒的工作有著顯著的聯(lián)系.牛頓插值公式和泰勒公式是微積分學(xué)科中的經(jīng)典理論，而這些理論的雛形可以追溯到朱世杰的成果.牛頓通過巧妙地運用“垛積術(shù)”和“招差術(shù)”等方法，得到了任意次數(shù)的多項式的插值公式，而泰勒則通過引入極限的概念，推導(dǎo)出了泰勒級數(shù)和泰勒展開.這種歷史上的連續(xù)性，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想的漸進演化，為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中學(xué)生理解數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程提供了寶貴的線索.

2? 承認差距，銘記教訓(xùn)，“師夷長技以制夷”

中國數(shù)學(xué)史源遠流長，充滿了輝煌的成就和令人深思的歷史變革.在這個漫長的歷史長河中，有著一些關(guān)鍵時刻，其中有的數(shù)學(xué)家的創(chuàng)新和思想影響至今.元代數(shù)學(xué)家朱世杰就是其中之一，他的算法貢獻為數(shù)學(xué)領(lǐng)域帶來了新的視角.“四元術(shù)”“垛積術(shù)”和“招差術(shù)”等算法的提出標志著一次數(shù)學(xué)的創(chuàng)新浪潮.這些算法在當(dāng)時的數(shù)學(xué)發(fā)展中起到了推動的作用，為中國數(shù)學(xué)的發(fā)展注入了新的活力.特別是“招差術(shù)”，其實質(zhì)是一種離散數(shù)學(xué)中的微積分，為后來微積分學(xué)科的發(fā)展提供了有力的基礎(chǔ).朱世杰的貢獻在數(shù)學(xué)發(fā)展史上占有重要地位.然而，盡管朱世杰在數(shù)學(xué)上的貢獻將中國數(shù)學(xué)推至一個新的頂峰，卻未能在當(dāng)時迎來連續(xù)微積分等理論的發(fā)展.這或許反映出當(dāng)時數(shù)學(xué)家在理論和實際應(yīng)用之間的平衡，而未能深入挖掘理論的潛力.

中國數(shù)學(xué)的發(fā)展并非一帆風(fēng)順，在歷史上也經(jīng)歷過艱難時期.明代開始推崇的八股文模式的科舉制度對數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展產(chǎn)生了深遠的影響.八股文模式的科舉取士歷經(jīng)四百余年，直到清末戊戌變法才廢除.這一制度使得數(shù)學(xué)學(xué)科在科舉選才考試中的地位大幅度下降，考試內(nèi)容空洞，格式單一且嚴格，導(dǎo)致了數(shù)學(xué)的停滯.因為考試要求固定的格式，數(shù)學(xué)家在此背景下往往更注重于應(yīng)試技巧，而非深入理論進行探討，這制約了數(shù)學(xué)理論的深度發(fā)展.與此同時，世界的數(shù)學(xué)發(fā)展并未停滯.解析幾何和微積分的誕生，將世界數(shù)學(xué)發(fā)展從初等數(shù)學(xué)時期推向了一個史無前例的變量數(shù)學(xué)時期.西方數(shù)學(xué)在這一時期取得了巨大的進展，而中國數(shù)學(xué)逐漸與世界數(shù)學(xué)在這四百余年的時光中拉開了巨大的鴻溝.科技和數(shù)學(xué)的飛速發(fā)展讓中國數(shù)學(xué)不得不反思和面對自身的滯后之處.近現(xiàn)代，盡管我國數(shù)學(xué)發(fā)展有所起色，但相對于西方國家的數(shù)學(xué)發(fā)展仍顯得相對緩慢.

在這個背景下，我們需要正視與世界的差距，擺正心態(tài).歷史教訓(xùn)告訴我們，不能忽視理論基礎(chǔ)的發(fā)展，不能因為短期的應(yīng)試需求而犧牲了長遠的數(shù)學(xué)理論建設(shè).中國數(shù)學(xué)歷史中的由強到衰的變化給我們提供了寶貴的經(jīng)驗教訓(xùn).我們要以謙卑的心態(tài)對待自身的數(shù)學(xué)發(fā)展，汲取國內(nèi)外數(shù)學(xué)先進的經(jīng)驗，不斷拓展數(shù)學(xué)的國際視野，使自己的數(shù)學(xué)理論更具前瞻性.為了彌補差距，需要學(xué)習(xí)國外優(yōu)秀的數(shù)學(xué)思想和方法.這不僅包括理論方面的研究，也包括數(shù)學(xué)應(yīng)用的實踐經(jīng)驗.世界各國在數(shù)學(xué)研究、教育和應(yīng)用領(lǐng)域都有獨到之處，我們應(yīng)該敞開思維，接納全球數(shù)學(xué)發(fā)展的精華.正如古人所說，“師夷長技以制夷”，需要在國際化的大背景下，對遇到的數(shù)學(xué)難題進行攻堅克難，不斷提高我國數(shù)學(xué)的學(xué)科實力.然而，國際化并不等同于放棄本土特色.在學(xué)習(xí)國外經(jīng)驗的同時，我們需要保持對中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的尊重和挖掘.古代中國數(shù)學(xué)在算法、天文學(xué)、地理學(xué)等領(lǐng)域有著獨特的貢獻，這些傳統(tǒng)智慧可以成為我們在面對現(xiàn)代問題時的寶貴資源.將傳統(tǒng)文化與現(xiàn)代科技有機結(jié)合，也是推動中國數(shù)學(xué)發(fā)展的一種路徑.

為了實現(xiàn)數(shù)學(xué)的現(xiàn)代化，我們需要在教育體系中進行改革創(chuàng)新，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神、實際問題解決能力，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)科中培養(yǎng)更全面的素養(yǎng).這不僅包括理論知識的傳授，更要注重培養(yǎng)學(xué)生的實踐動手能力，使他們能夠?qū)⑺鶎W(xué)的數(shù)學(xué)知識應(yīng)用于實際生活和科研中.教育的目標應(yīng)該是培養(yǎng)出具備國際競爭力的數(shù)學(xué)人才，能夠在全球范圍內(nèi)參與和引領(lǐng)前沿的數(shù)學(xué)研究.此外，國際合作也是提升我國數(shù)學(xué)水平的一項關(guān)鍵策略.與國際上的數(shù)學(xué)組織、學(xué)術(shù)機構(gòu)進行深度合作，共同推動數(shù)學(xué)領(lǐng)域的前沿研究.通過與國際數(shù)學(xué)界的交流合作，我們可以更好地了解國際數(shù)學(xué)領(lǐng)域的最新進展，拓展自身研究的廣度和深度.在面對數(shù)學(xué)發(fā)展的巨大挑戰(zhàn)時，我們需要在國內(nèi)加強跨學(xué)科的合作.數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的交叉融合將為創(chuàng)新提供更廣闊的空間.與物理學(xué)、計算機科學(xué)、生物學(xué)等學(xué)科的合作，可以激發(fā)新的數(shù)學(xué)問題，推動數(shù)學(xué)理論的發(fā)展.

中國數(shù)學(xué)有著豐富的傳統(tǒng)和輝煌的歷史.然而在現(xiàn)代科技發(fā)展的浪潮下，我們必須正視差距，深刻總結(jié)歷史經(jīng)驗，汲取國內(nèi)外的優(yōu)秀經(jīng)驗，不斷挖掘和發(fā)展自身的數(shù)學(xué)理論.通過教育體制的改革、學(xué)科合作的加強、國際交流的深化，我們有望在數(shù)學(xué)領(lǐng)域迎頭趕上，為世界數(shù)學(xué)的發(fā)展做出更大的貢獻.只有不斷地學(xué)習(xí)、創(chuàng)新，才能走出歷史的陰影，走向數(shù)學(xué)的新輝煌.

3? 強基培元，韜光養(yǎng)晦，奮力實現(xiàn)中國夢

數(shù)學(xué)是一門深奧而又古老的學(xué)科，其發(fā)展歷程充滿了輝煌的成就和激動人心的故事.欲修外先修內(nèi)的古訓(xùn)，在數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域同樣適用.數(shù)學(xué)發(fā)展的過程不是一蹴而就的，它需要經(jīng)過前期的不斷積累，打下堅實的基礎(chǔ)，才能在某一瞬間綻放出屬于自己的光彩.

中國數(shù)學(xué)歷史悠久，而近現(xiàn)代的數(shù)學(xué)發(fā)展更是涌現(xiàn)出一大批杰出的數(shù)學(xué)學(xué)者，他們的貢獻為中國數(shù)學(xué)的蓬勃發(fā)展奠定了堅實的基礎(chǔ).華羅庚被譽為中國解析數(shù)論的創(chuàng)始人和開拓者，陳省身則是整體微分幾何之父，陳景潤證明了哥德巴赫猜想，丘成桐成為首位獲得菲爾茲獎的華人得主，蘇步青創(chuàng)立了中國微分幾何學(xué)派，柯召是中國近代數(shù)論的創(chuàng)始人，谷超豪首次提出高維、高階混合型方程的系統(tǒng)理論.這些學(xué)者通過幾十年的心血和奮斗，為中國數(shù)學(xué)的現(xiàn)代化發(fā)展做出了卓越的貢獻.然而，這些成果仍遠遠不夠.在當(dāng)前，我國在芯片領(lǐng)域、人工智能領(lǐng)域、5G領(lǐng)域等依然面臨著一系列被國外技術(shù)卡脖子的瓶頸問題.這促使我們認識到，需要更多對數(shù)學(xué)有濃厚興趣并能以此為終身職業(yè)、終身目標的人，堅持不懈地進行數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究.只有真正對數(shù)學(xué)有強烈興趣，并將其視為終身職業(yè)目標的人，才能在數(shù)學(xué)的深度研究中找到持續(xù)的動力.這種對數(shù)學(xué)的持續(xù)研究，正是工匠精神的具體表現(xiàn).工匠精神強調(diào)對細節(jié)的極致追求、對事業(yè)的執(zhí)著追求，正是推動數(shù)學(xué)理論不斷進步的力量.工匠不僅致力于解決眼前的問題，更注重于在理論的深度挖掘中找到更廣闊的視野.在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，工匠精神就是通過對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的深度研究，為科技突破提供理論支持，從而推動整個國家科技水平的提升.

基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教育在這個過程中扮演著至關(guān)重要的角色.盡管基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教育的成果可能不如應(yīng)用數(shù)學(xué)那樣直接產(chǎn)生顯著的實用成果，但它猶如河床底部的沙石，是整個科學(xué)體系的基石.通過歷史的洪流不斷沖刷打磨，基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教育能夠韜光養(yǎng)晦、厚積薄發(fā).這種過程最終會在世人面前展現(xiàn)出一顆璀璨耀眼的稀世寶石.當(dāng)這些瓶頸式的問題一個個被我國的數(shù)學(xué)工匠們解決時，我們心中的中華民族偉大復(fù)興的中國夢就真正地展現(xiàn)在世人眼前.這不僅是數(shù)學(xué)理論的突破，更是國家綜合實力的提升.工匠精神的傳承和發(fā)揚，是實現(xiàn)中華民族偉大復(fù)興的必由之路.只有在數(shù)學(xué)領(lǐng)域深耕不輟，不斷追求卓越，我們才能在科技創(chuàng)新的浪潮中迎頭趕上，為國家的繁榮獻上更多的力量.

綜上所述，數(shù)學(xué)教育在中國數(shù)學(xué)發(fā)展中發(fā)揮著不可替代的作用.通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)發(fā)展歷史，我們深刻認識到數(shù)學(xué)的發(fā)展需要前期的不斷積累和打磨.眾多杰出的數(shù)學(xué)家為我國數(shù)學(xué)的蓬勃發(fā)展奠定了堅實的基礎(chǔ)，而數(shù)學(xué)工匠們的努力則將數(shù)學(xué)推向新的高度.但為了更好地應(yīng)對當(dāng)前和未來的科技挑戰(zhàn)，我們需要進一步弘揚工匠精神，注重基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教育的深度培養(yǎng)，并通過國際合作和跨學(xué)科合作，推動我國數(shù)學(xué)領(lǐng)域在全球范圍內(nèi)的卓越發(fā)展.只有如此，中華民族偉大復(fù)興的中國夢才能更加真實地展現(xiàn)在世人眼前.

參考文獻

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