基于MATLAB的線性代數實驗教學設計

熊梅 張大林

摘??要：?在線性代數教學過程中，矩陣的逆及矩陣的特征值和特征向量是學生比較難以掌握的兩個重要知識點，本文借助MATLAB軟件，結合基本概念和求法解析，通過實驗項目的設計，在實驗教學過程中讓學生加深對逆矩陣及矩陣的特征值和特征向量的理解和掌握，并在實際學習過程中加以應用.

關鍵詞：?逆矩陣；特征值；實驗教學；MATLAB

MSC（2010）主題分類??15A99

中圖分類號：O151.2

Experimental?Teaching?Design?of?Linear?Algebra?Based?on?MATLAB

--?Take?the?Inverse?of?Matrix，?Eigenvalues?and?Eigenvectors?as?an?Example

Xiong?Mei??Zhang?Dalin

School?of?Mathematics?and?Statistics?of?Qiannan?Normal?University?for?Nationalities??GuizhouDuyun??558000

Abstract：In?the?process?of?linear?algebra?teaching，?the?inverse?of?matrix?and?the?eigenvalue?with?eigenvector?of?matrix?are?two?important?points.It?is?difficult?for?students?to?understand.?In?this?paper，?with?the?help?of?MATLAB?software，?combined?with?basic?concepts?and?solving?analysis，?through?the?design?of?experimental?projects，?let?students?to?deepen?their?understanding?and?mastery?of?the?inverse?matrix?and?its?eigenvalue?and?eigenvector?in?the?process?of?experimental?teaching.?And?apply?it?in?the?actual?learning?process.

Key?words：inverse?matrix;eigenvalue;experimental?teaching;MATLAB

MR（2010）Subject?Classificatio?15A99

Chinese?Library?Classificatio O151.2

1?概述

線性代數是高等院校計算機科學與技術、物理學、電子信息工程等理工類專業以及經濟管理、市場營銷、財務管理等財經類專業必修的一門重要的數學類公共基礎課.[1]?主要包括行列式、矩陣、向量、線性方程組、特征值與特征向量、二次型等內容。是學生學習諸多后續課程的重要理論基礎，對培養學生的思維能力非常重要．在實際教學過程中，許多學生都認為該課程比較抽象，計算量大，計算時容易出錯．尤其是逆矩陣和矩陣的特征值和特征向量概念的掌握和計算.?為此，我們將數學實驗引入線性代數教學中，提高學生的學習參與度，讓學生更深入地理解和鞏固線性代數的基本概念和原理．

2?逆矩陣的概念

定義1?對于n階矩陣A，如果有一個n階矩陣B，使AB=BA=E，?則稱矩陣A是可逆的，并稱矩陣B為A的逆矩陣，A的逆矩陣記為，即.[2]

記，設，，則由行列式的依行依列展開公式，有

故

從而，E，同理E，由逆矩陣的定義得，由此可得出求逆矩陣.

3??矩陣特征值及特征向量

定義2?設是階矩陣，如果數和維非零向量，使關系式成立，則稱數為矩陣的特征值，非零向量稱為的對應于特征值的特征向量（可以是復數，的元素與的分量也可以是復數）.[2]

由得，即得個未知數個方程的齊次線形方程組.?其有非零解的充分必要條件是系數行列式.?方程是以為未知數的一元次方程，稱為矩陣的特征方程.?是的次多項式，記作，?稱為矩陣的特征多項式.?顯然，的特征值就是特征方程的解.?特征方程在復數范圍內恒有解，其個數為方程的次數（重根按重數計算）.?因此，矩陣在復數范圍內有個特征值.

4??實驗項目設計

4.1??MATLAB軟件的句子操作命令

（1）det（A）??????????%求方陣A的行列式

（2）rank（A）?????????%求矩陣A的秩

（3）trace（A）????????%求矩陣A的跡

（4）inv（A）??????????%求矩陣A的逆

（5）norm（A）????????%矩陣A的2-范數

（6）eig（A）???????????%計算矩陣A的特征值

（7）[V，?D]=eig（A）??????%計算矩陣A的特征向量及特征值，用特征值做對角元生成相應階數的對角矩陣D，相應的特征向量生成矩陣V，滿足AV=VD.[3]

4.2??實驗要求

（1）給出矩陣A，判斷矩陣A是否可逆；（2）利用公式，求；（3）利用矩陣的初等行變換求；（4）利用整數逆矩陣加密方法進行加密解密練習；（5）求矩陣的特征值及特征向量。

4.3??實驗內容

（1）給出矩陣。

判斷A是否可逆.[3]

在MATLAB中輸入命令

hls=det（A）???%求方陣的行列式

hls?=-33????%行列式不為0

由矩陣A的行列式不等于0可知，矩陣A可逆。

（2）利用公式，求。

在實際教學過程中，對于用定義來求逆矩陣，學生在計算時容易發生幾個方面的失誤：一是計算代數余子式是忘記乘，二是計算伴隨矩陣時沒有轉置，直接將替換矩陣A的元素后的新矩陣作為伴隨矩陣，三是對定于掌握不透，直接用來計算。通過實驗能夠強化學生對計算步驟中每個細節的掌握，從而減少筆算的錯誤。實現代碼如下：

A=[1?-1?2?-1;?-1?1?3?-2;?2?3?1?0;-1?-2?0?1];

for?i=1：4;

for?j=1：4;

C=A;

C（：，?[i]）=[];?%刪除第i行

C（[j]，?：）=[];?%刪除第j列

A1（i，j）=（-1）^（i+j）*det（C）;

end

end

Astar=（A1）'

invA=Astar/det（A）

運行得

Astar?=

-12.0000????9.0000???-3.0000????6.0000

9.0000???-4.0000???-6.0000????1.0000

-3.0000???-6.0000???-9.0000??-15.0000

6.0000????1.0000??-15.0000??-25.0000

invA?=

0.3636???-0.2727????0.0909???-0.1818

-0.2727????0.1212????0.1818???-0.0303

0.0909????0.1818????0.2727????0.4545

-0.1818???-0.0303????0.4545????0.7576

上述方法與直接應用命名inv（A）所求結果一致。在MATLAB中直接輸入命令inv（A）得

ans?=

0.3636???-0.2727????0.0909???-0.1818

-0.2727????0.1212????0.1818???-0.0303

0.0909????0.1818????0.2727????0.4545

-0.1818???-0.0303????0.4545????0.7576

（3）用初等變換求。

初等行變換方法?利用計算逆矩陣.?先生成矩陣，再利用命令可得，求出.?同時可要求學生通過筆算步驟編程，求出并于前面的結果比較，加強學生對初等變換求逆矩陣計算的掌握。以下是兩種方式計算的結果：

A=[1?-1?2?-1;?-1?1?3?-2;?2?3?1?0;-1?-2?0?1];

E=[1?0?0?0;0?1?0?0;0?0?1?0;0?0?0?1];

AE=[A?E];

rref（AE）

ans?=

1.0000?????????0?????????0?????????0????0.3636???-0.2727????0.0909???-0.1818

0????1.0000?????????0?????????0???-0.2727????0.1212????0.1818???-0.0303

0?????????0????1.0000?????????0????0.0909????0.1818????0.2727????0.4545

0?????????0?????????0????1.0000???-0.1818???-0.0303????0.4545????0.7576

筆算步驟編碼：

A=[1?-1?2?-1;?-1?1?3?-2;?2?3?1?0;-1?-2?0?1];

E=[1?0?0?0;0?1?0?0;0?0?1?0;0?0?0?1];

AE=[A?E];

AE?=

1????-1?????2????-1?????1?????0?????0?????0

-1?????1?????3????-2?????0?????1?????0?????0

2?????3?????1?????0?????0?????0?????1?????0

-1????-2?????0?????1?????0?????0?????0?????1

AE（2，：）=AE（2，：）-AE（1，：）*（AE（2，1）/AE（1，1））;

AE（3，：）=AE（3，：）-AE（1，：）*（AE（3，1）/AE（1，1））;

AE（4，：）=AE（4，：）-AE（1，：）*（AE（4，1）/AE（1，1））;

AE（[2，4]，：）=AE（[4，2]，：）;

AE（3，：）=AE（3，：）-AE（2，：）*（AE（3，2）/AE（2，2））;

AE（4，：）=AE（4，：）-AE（3，：）*（AE（4，3）/AE（3，3））;

AE（3，：）=AE（3，：）-AE（4，：）*（AE（3，4）/AE（4，4））;

AE（1，：）=AE（1，：）-AE（4，：）*（AE（1，4）/AE（4，4））;

AE（2，：）=AE（2，：）-AE（3，：）*（AE（2，3）/AE（3，3））;

AE（1，：）=AE（1，：）-AE（3，：）*（AE（1，3）/AE（3，3））;

AE（1，：）=AE（1，：）-AE（2，：）*（AE（1，2）/AE（2，2））;

AE（2，：）=AE（2，：）/AE（2，2）;

AE（3，：）=AE（3，：）/AE（3，3）;

AE（4，：）=AE（4，：）/AE（4，4）

AE?=

1.0000????0?????????0?????????0????0.3636???-0.2727????0.0909???-0.1818

0????1.0000?????????0?????????0???-0.2727????0.1212????0.1818???-0.0303

0?????????0????1.0000?????????0????0.0909????0.1818????0.2727????0.4545

0?????????0?????????0????1.0000???-0.1818???-0.0303????0.4545????0.7576

與直接命令和初等變換命令的計算結果一致。在MATLAB中，若去除每一行的分號，則顯示每一步的結果。此代碼便于學生在筆算過程中判斷每一步的是否正確，從而強化了初等變換計算逆矩陣的理解和掌握。最后求得

（4）利用整數加密方法對信息鏈“QIANNAN?NORMAL?UNIVERSITY”做加密解密練習。

“加密鎖”及“解密鑰匙”的生成?從一個單位矩陣E出發，對該單位矩陣進行多次的初等（r1）行變換和初等（r3）行變換（k取整數），將單位矩陣變為Q（加密鎖）。由單位矩陣初等變換可知，矩陣Q行列式等于1或-1.?再根據初等變換的性質，矩陣Q逆矩陣（解密鑰匙）必是整數矩陣。

實驗過程：選用各個英文字母的ASCII碼代替英文字母，將信息鏈“QIANNAN?NORMAL?UNIVERSITY”用一組數字表示，空格也用其ASCII碼代替，存入一個向量

W=[81，73，65，78，78，65，78，32，78，79，82，77，65，76，32，85，78，73，86，69，82，83，73，84，89]

按列優先的規則，將信息鏈排成一個5×5階矩陣，執行命令

W=[81，73，65，78，78，65，78，32，78，79，82，77，65，76，32，85，78，73，86，69，82，83，73，84，89];

A=reshape（W，5，5）

A?=

81????65????82????85????82

73????78????77????78????83

65????32????65????73????73

78????78????76????86????84

78????79????32????69????89

對一個5×5階的單位矩陣E，?做若干次（r1）和（r3）行變換后化為整數矩陣

Q?=

360???120????30?????6?????1

416???139????35?????7?????1

453???151????38?????8?????1

348???116????29?????6?????1

300???100????25?????5?????1

因為det（Q）=1，所以Q可逆，且

inv（Q）?=

1.0000???-1.0000????1.0000???-2.0000????1.0000

-2.0000????3.0000???-4.0000????8.0000???-5.0000

-3.0000????0.0000????4.0000???-9.0000????8.0000

-4.0000????0.0000???-0.0000????5.0000???-1.0000

-5.0000????0.0000???-0.0000????0.0000????6.0000

顯然矩陣Q的逆矩陣為整數矩陣，選Q為加密鎖，inv（Q）為解密鑰匙，將此加密鎖加載到原信息鏈上就變成了加密信息鏈B.?下面的程序為加密過程。

W=[81，?73，?65，?78，?78，?65，?78，?32，?78，?79，?82，?77，?65，?76，?32，?85，?78，?73，?86，?69，?82，?83，?73，?84，?89];

A=reshape（W，?5，?5）;

Q=[360，120，30，6，1;416，139，35，7，1;453，151，38，8，1;348，116，29，6，1;300，100，25，5，1];

B=Q*A

得到加密信息鏈為

B?=

40416???????34267???????41198???????42735???????42263

46742???????39627???????47654???????49428???????48881

50888???????43142???????51883???????53814???????53214

39087???????33143???????39841???????41330???????40874

33693???????28569???????34337???????35624???????35234

解密過程為inv（Q）*B=inv（Q）*Q*A=E*A=A，即加密信息鏈B左乘將信息鏈B解鎖回到信息鏈A.?執行命令inv（Q）*B即可得到原信息鏈.

inv（Q）*B

ans?=

81.0000???65.0000???82.0000???85.0000???82.0000

73.0000???78.0000???77.0000???78.0000???83.0000

65.0000???32.0000???65.0000???73.0000???73.0000

78.0000???78.0000???76.0000???86.0000???84.0000

78.0000???79.0000???32.0000???69.0000???89.0000

（5）給出矩陣A，求A的特征值及特征向量。

對于矩陣A的特征值及特征向量的概念，最主要是要掌握其定義，為什么成為特征值，具體的含義是什么？由前面的定義可知，也即是矩陣A作用于向量的效果和作用的效果一致，所以才乘為矩陣A特征值.下面通過實驗項目驗證特征值及特征向量的求法.

在MATLAB隨機生成矩陣A：

A=rand（4）?%??隨機生產4階方陣

A=

0.8147????0.6324????0.9575????0.9572

0.9058????0.0975????0.9649????0.4854

0.1270????0.2785????0.1576????0.8003

0.9134????0.5469????0.9706????0.1419

hls=det（A）?%求方陣的行列式

hls?=-0.0261?%行列式不為0

njz=inv（A）?%矩陣可逆，求逆矩陣

njz?=

-15.2997????3.0761???14.7235????9.6445

-0.2088???-1.8442????1.0366????1.8711

14.5694???-1.9337??-14.6497???-9.0413

-0.3690????0.5345????1.4378???-0.4008

E=njz*A?%驗證逆矩陣的正確性

E?=

1.0000????0.0000???-0.0000???-0.0000

-0.0000????1.0000????0.0000???-0.0000

0.0000????0.0000????1.0000????0.0000

-0.0000???-0.0000???-0.0000????1.0000

[tzxl，?tzz]=eig（A）?%求矩陣特征向量及特征值

tzxl?=

-0.6621???-0.7149????0.1745????0.1821

-0.4819???-0.0292???-0.6291???-0.9288

-0.2766????0.6972????0.5995????0.3178

-0.5029???-0.0438???-0.4630????0.0570

tzz?=

2.4021?????????0?????????0?????????0

0???-0.0346?????????0?????????0

0?????????0???-0.7158?????????0

0?????????0?????????0???-0.4400

驗證？命令如下：

A=[0.8147，0.6324，0.9575，0.9572;0.9058，0.0975，0.9649，0.4854;0.1270，0.2785，0.1576，0.8003;0.9134，0.5469，???0.9706，0.1419];

Lambda=2.4021;

X=[-0.6621，-0.4819，-0.2766，-0.5029]';

A*X

ans?=[-1.5904，-1.1577，-0.6644，-1.2081]'

Lambda*X

ans?=[-1.5904，-1.1576，-0.6644，-1.2080]'

考慮計算機精度問題，可知?成立.

結語

在線性代數教學過程中引入實驗項目的教學內容，可以讓學生更好的理解所學的概念和計算的過程，并讓學生學會通過數學軟件解決計算量大的實際問題，補充了課堂教學所不能展開的演算過程和結果驗證，豐富了線性代數的教學活動，提高教學效果。

參考文獻：

• 劉蒙.?MATLAB?軟件在線性代數教學中的應用[J].淮陰師范學院學報（自然科學版），2017，3.
• 同濟大學數學系.?線性代數（第六版）[M].?高等教育出版社，?2017.
• 李繼成.?數學實驗（第二版）［M].?北京：?高等教育出版社，?2014.

基金項目：黔南州科技局數學一流學科項目（2020XK03ST），黔南民族師范學院高層次人才專項（qnsyrc202204）

作者簡介：熊梅（1979—??），女，貴州安龍人，學士，高級實驗師，研究方向：數學實驗教學與管理。

*通訊作者：張大林（1981—??），男，貴州普定人，博士，副教授，研究方向：最優化理論及應用、普惠金融。