借力不變性尋找統一性

黃東元

摘要：要想做到把所學的數學知識和蘊含的數學思想方法從整體上去進行統一，就必須用更高的觀點去審視，從更一般的視角去切入.本文中嘗試借助“變化中的不變量和不變性”，透過現象看本質，將各種不同的構造統攝于同一個基本思想之下，進而深刻認識數學的本質.

關鍵詞：統一性；不變量；不變性

1 啟示

在數學的發展史上，古埃及幾何學的一個重大缺陷就是他們沒能將眾多的特殊情況納入更一般的視角，從而無法得出更廣泛和更基本的定理.與此相反，笛卡兒用線段的長度來表示所有的連續量，連續量所具有的重要特性就鮮明地表示出來了：首先，不論多少都能分割；其次，這些連續量也能自由地結合在一起；再次，能夠很容易地比較它們的大小.例如：形狀不同的杯子里的水的體積是不容易比較的，但是如果將體積轉換成長度，立刻就可以進行比較，只要把水倒進帶刻度的量杯后就可以比較，量杯本來就是把體積轉換成長度的工具.類似地，桿秤是把重量轉化成長度的工具；時鐘是把時間轉化成曲線的長度的機械；溫度計把溫度轉化成了長度：等等.這一切都為坐標系的出現做好了準備，為坐標幾何的誕生奠定了基礎，像這樣用一種原理把完全不同的事實統一起來，充分顯示了數學的威力.

美國數學家莫里斯5克萊因認為：現代科學最重要的信念是自然界的一致性和不變性.英國數學家阿蒂亞也認為：數學各分支（代數、幾何、拓撲、分析等）之間的相互作用絕不僅僅是一種偶然的巧合，實際上它反映了數學的本質，數學的統一性和簡單性都是極為重要的.

2 思考

要想把數學進行統一，關鍵是找到一個合適的突破口.縱觀數學的發展史，解析幾何之所以能統一代數和幾何，是因為幾何學擁有一種內蘊的代數結構.1872年，德國數學家克萊因在《愛爾蘭根綱領》中將幾何變換用于認識歐氏幾何，促成了人類對幾何本質的深刻認識：幾何就是研究在各種變換群下的不變性和不變量，在學生的思維上形成的是用不變的規律解釋始終變化的圖形特點的認識.笛卡兒在他的《方法論》中論述了自然定律的永恒不變性，在物理學中有動量守恒定律、角動量守恒定律、能量守恒定律等；在數學上則有不變性、不變量、不變型等.受此啟發，筆者嘗試以能否運用變化中的不變量和不變性為突破口，把數學知識和方法進行統一.下面是筆者在這方面做的一些嘗試，不當之處，還請批評指正！

3 變中有不變的典型案例

在千變萬化的現象背后，只要抓住不變的規律，就能夠透過現象看本質，達到對數學知識的深刻理解.在初中數學知識中，存在著很多變化中有不變的典型案例，舉例如下：

（1）任意多邊形的內角和隨著邊數的增加而增大，但是它的外角和永遠不變.

（2）在自然數、有理數、實數、復數中，數系的范圍在擴大，但其中的運算法則a+b=b+a，ab=ba，（a+b）+c=a+（b+c），（ab）c=a（bc），a（b+c）=ab+ac保持不變.

（3）分解質因數與整式的分解因式在形式上雖然不同，但本質上屬于同一種運算結構.

（4）在旋轉、平移、軸對稱這些剛體運動中，圖形的位置雖然發生了變化，但是圖形中任意兩點間的距離和夾角保持不變.

（5）對于同一個函數來說，它的表達形式可以不同，但是變量間的對應關系是不變的.

（6）對于一元二次方程來說，它的形式雖然千變萬化，但是它的根的判別式是一個不變式.

（7）如果讓某種隨機實驗發生（通過計算機模擬），雖然每次出現的結果不盡相同，但是通過大量的實驗之后，就會發現它們的平均值是一個穩定的結果，這個結果就是這個隨機事件的概率，這就是著名的蒙特卡洛方法.

下面再結合人教版教材，列舉在初等數學方法方面利用變化中的不變量和不變性的例子.

案例1利用速度和不變列方程

（人教版數學教材七年級上冊第99頁第10題）王力騎自行車從A地到B地，陳平騎自行車從B地到A地，兩人都沿同一公路勻速前進，已知兩人在上午8時同時出發，到上午10時，兩人還相距36 km，到中午12時，兩人又相距36 km.求A，B兩地間的路程.

分析：本題中有王力和陳平的速度以及A，B兩地間的路程三個未知量，難度較大，學生不容易理解，但是考慮到兩人都是勻速行駛，因此兩人的速度都不變，則兩人的速度和就不變，可以把兩個人看成“一個人”.

解法1：設“這個人”的速度為x km/h，則8時到10時階段，A，B兩地間的路程可以表示為（2x+36）km;

8時到12時階段，A，B兩地間的路程可以表示為（4x-36）km.

列方程，得2x+36=4x-36，解得x=36，則A，B兩地間的路程為108 km.

解法2：設全程為x km，則8時到10時階段“這個人”的速度為x－362；8時到12時階段，“這個人”的速度為x+364.根據速度不變列方程x－362=x+364，解得x=108，則A，B兩地間的路程為108 km.

案例2利用速度不變列方程

（人教版數學教材七年級上冊第99頁第11題）一列火車勻速行駛，經過一條長300 m的隧道需要20 s的時間.隧道的頂上有一盞燈，垂直向下發光，燈光照在火車上的時間是10 s，求這列火車的長度.

分析：本題中有如下兩個情境.

（1）火車過隧道（小學里有汽車過橋的問題）.

火車穿隧道的過程是從火車頭進隧道開始，到火車尾出隧道結束，由于火車本身有長度，學生理解有困難，因此可以在火車尾處選一個點P，如圖1所示.

把火車穿隧道等效為點P穿隧道，學生容易理解，如圖2，設火車長為x m，則點P走的路程為（300+x）m，火車的速度=點P的速度=300+x20.

（2）燈照火車.

由于火車本身有長度和速度，不容易理解，可以根據相對運動理論等效處理為：火車不動，燈泡以火車的速度把火車掃描了一遍，如圖3，即燈泡在10 s的時間里走了一個車身長x m，燈泡的速度=x10.因此，燈泡不動，火車的速度=x10.

根據火車的速度不變列方程，得300+x20=x10.

案例3利用年齡差不變或時間不變列方程

（七上第112頁第8題）父親和女兒的年齡之和是91，當父親的年齡是女兒現在年齡的2倍的時候，女兒的年齡是父親現在年齡的13，求女兒現在的年齡.

解法1：根據年齡差不變列方程.不管過去還是現在，父親與女兒的年齡差始終不變.

設女兒現在的年齡為x，則父親現在的年齡是91-x.

若干年之后（或之前），當父親年齡為2x時，女兒的年齡為91-x3.

根據父親與女兒的年齡差不變列方程，得

（91-x）-x=2x-91－x3.

解法2：父親和女兒都經歷了同樣的時間，根據時間不變列方程，得（91-x）-2x=x-91－x3.

案例4利用積分和不變列方程

（七下習題）在一次國際象棋女子挑戰賽上，我國女子國際象棋大師謝軍在苦戰15盤后，以凈勝俄羅斯棋手加利亞莫娃2分的優異成績，第三次奪得棋后桂冠，比賽的積分規則是勝一局得1分，負一局得0分，和棋各得0.5分，則謝軍最后積分多少？

分析：

所以，每一局無論誰勝誰負或者是和，謝軍與加利亞莫娃的積分和不變，都等于1分，設謝軍的積分為x，加利亞莫娃的積分為y，則x+y=15.又x-y=2，則

x+y=15，

x-y=2.

問題得解.

案例5利用邊數比不變列方程

（七下習題）

有種足球是由32塊黑白相間的牛皮縫制而成的（如圖4），黑皮可看作正五邊形，白皮可以看作正六邊形，設白皮有x塊，黑皮有y塊，則可以列方程組.

解法1：如圖4，站在白皮的角度看，有一半的邊對著黑邊，設白皮x塊，則白邊有6x條，黑邊有3x條；站在黑皮的角度看，y塊黑皮有5y條邊.根據黑邊條數相等列方程，得3x=5y.

解法2：每一條黑邊都對應一條白邊，但是，白邊只有一半和黑邊對應，則

白邊數是黑邊數的2倍，所以6x=2×5y.

故3x=5y.

解法3：每塊白皮外邊有三塊黑皮，記這個組合為（白，黑），則x塊白皮外有3x塊黑皮，

就有3x個（白，黑）組合；

每塊黑皮外邊有五塊白皮，記這個組合為（黑，白），則y塊黑皮外邊有5y塊白皮，就有5y個（黑，白）組合.

根據（白，黑）組合與（黑，白）組合個數相同，列出方程

3x=5y.

解法4：均攤法.

如圖5，用b表示黑皮，a表示白皮，每塊黑皮被5個白皮共用，把白皮平均分攤為5份，白皮的15給了黑皮.

由白皮周圍有3個黑皮，可知

每個白皮對應35個黑皮，則

5個白皮對應3個黑皮.

所以白皮∶黑皮=5∶3，即x∶y=5∶3.

例如：每個人分12個饅頭，10個人就分5個饅頭，人數∶饅頭數=2∶1.

自然哲學認為：在千變萬化的現象背后，存在著不變的和永恒的東西，只有真正永恒的東西才是有價值的.我們要在個性中尋找共性，在變化中尋找不變，在混沌中尋找秩序，在秩序中尋找永恒，用一般觀念來統領全局，建立一個前后一致、邏輯連貫的知識系統.張奠宙先生也認為：“數學中到處都是變與不變的矛盾統一.萬變不離其宗，數學研究變化，卻以找到其中的不變性作為歸宿.”數學思維在運作過程中運用的是一些具有普適性的數學方法，這些數學方法超越了研究對象本身，具有高度的統一性.變中有不變，就能進行統一，將各種不同的構造統攝于同一個基本思想之下，從而達到深刻認識數學的本質的目的.