站在核心素養(yǎng)的高度解讀教材

殷文濤 朱曉明

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《課標(biāo)（2022年版）》）提出“核心素養(yǎng)是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中逐漸形成和發(fā)展的，不同學(xué)段發(fā)展水平不同，是制定課程目標(biāo)的基本依據(jù)”.根據(jù)《課標(biāo)（2022年版）》修訂的教材出版發(fā)行前，教師使用的教材是依據(jù)《課標(biāo)（2011年版）》的課程目標(biāo)、課程理念編寫(xiě)的.在這個(gè)“過(guò)渡期”內(nèi)，教師也應(yīng)站在核心素養(yǎng)的高度去研讀現(xiàn)行教材、設(shè)計(jì)教學(xué)方案、實(shí)施教學(xué)方案、評(píng)估學(xué)生的學(xué)業(yè)質(zhì)量，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教育教學(xué)的“三會(huì)”目標(biāo).我們站在培養(yǎng)“核心素養(yǎng)”的高度對(duì)青島版教材“解直角三角形的應(yīng)用”一節(jié)進(jìn)行解讀.

1 解讀教材的核心內(nèi)容

《課標(biāo)（2011年版）》提出，教材編寫(xiě)“應(yīng)當(dāng)體現(xiàn)整體性，注重突出核心內(nèi)容，注重內(nèi)容之間的相互聯(lián)系，注重體現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)的整體性”，《課標(biāo)（2022年版）》指出“教材內(nèi)容結(jié)構(gòu)要著重關(guān)注核心素養(yǎng)的整體性”.數(shù)學(xué)教材是教師教學(xué)的主要依據(jù)，教師只有反復(fù)研讀才能充分理解教材的編寫(xiě)意圖，明確主要內(nèi)容，確定教學(xué)目標(biāo)，找出教學(xué)重難點(diǎn)，設(shè)計(jì)教學(xué)方案.

我們經(jīng)過(guò)反復(fù)研讀“解直角三角形的應(yīng)用”一節(jié)的教材內(nèi)容，認(rèn)為本節(jié)內(nèi)容主要是以模型思想作為“統(tǒng)領(lǐng)”.模型思想是《課標(biāo)（2011年版）》提出的“十大”核心詞之一.在《課標(biāo)（2022年版）》提出了核心素養(yǎng)的概念后，模型觀念成為初中階段“九大”核心素養(yǎng)的組成之一，在解讀“解直角三角形的應(yīng)用”內(nèi)容時(shí)，應(yīng)圍繞培養(yǎng)學(xué)生的“模型觀念”的高度，去理解、把握教材，這樣才能實(shí)現(xiàn)培養(yǎng)與發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目的.

初中階段用以培養(yǎng)學(xué)生模型觀念的主要內(nèi)容有方程（組）、不等式、函數(shù)三大塊.每種具體模型觀念都是在經(jīng)歷圖１所示的學(xué)習(xí)過(guò)程逐漸形成和發(fā)展起來(lái)的.

本節(jié)共分3課時(shí)，是在學(xué)生會(huì)“解直角三角形”的基礎(chǔ)上，通過(guò)精心選擇了來(lái)自于生活和生產(chǎn)中的一些具體實(shí)例，圍繞“建立直角三角形模型—求解直角三角形模型—應(yīng)用直角三角形模型”的“主線”展開(kāi)的.通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生能以“直角三角形模型”為例，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)、理解、感悟圖1所示的數(shù)學(xué)建模過(guò)程.

（1）第1課時(shí)

教科書(shū)先設(shè)計(jì)了測(cè)量“上海東方明珠塔高度”的問(wèn)題情境.通過(guò)閱讀發(fā)現(xiàn)，根據(jù)測(cè)量得到的數(shù)據(jù)，計(jì)算塔高的關(guān)鍵是把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題，從而抽象出對(duì)應(yīng)的“幾何基本模型”（圖2）.這是解決這一類(lèi)測(cè)量問(wèn)題的“通用模型”，建立起這個(gè)模型后就是純粹的數(shù)學(xué)計(jì)算問(wèn)題，運(yùn)用前面剛學(xué)習(xí)的解直角三角形的知識(shí)就很容易解決了.這種設(shè)計(jì)體現(xiàn)了“問(wèn)題情境—建立模型—求解驗(yàn)證”的過(guò)程，有助于學(xué)生感悟模型思想、形成模型觀念.

教科書(shū)隨后又設(shè)計(jì)了兩個(gè)背景和計(jì)算都比較簡(jiǎn)單的例題：例1可直接由背景材料轉(zhuǎn)化為已知兩邊解直角三角形的問(wèn)題；例2對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型是一個(gè)等腰三角形，通過(guò)作等腰三角形的高，利用等腰三角形的性質(zhì)，可以把等腰三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形，進(jìn)而問(wèn)題得到解決.

（2）第2課時(shí)

第2課時(shí)安排了例3，本例取材于學(xué)生熟悉的生活實(shí)際，是以“住宅樓采光”為背景的實(shí)際問(wèn)題，解決的關(guān)鍵在于把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問(wèn)題.本例有兩問(wèn)，第一問(wèn)的轉(zhuǎn)化過(guò)程是通過(guò)把示意圖3抽象為幾何圖形（圖4）來(lái)解決問(wèn)題，第二問(wèn)是通過(guò)添加輔助線把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為能利用圖4所示的基本模型解決的問(wèn)題.

學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)本例題，能夠進(jìn)一步感受到借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明形象，有助于探索解決問(wèn)題的思路.

教科書(shū)在例3之后對(duì)利用解直角三角形解決實(shí)際問(wèn)題的基本思路進(jìn)行了概括，并把圖１中右上角的“數(shù)學(xué)模型”具體為“解直角三角形問(wèn)題”，把右下角的“數(shù)學(xué)模型的解”具體為“求出有關(guān)的邊或角”.

這樣圖1所呈現(xiàn)的解題過(guò)程實(shí)質(zhì)上是數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，即從實(shí)際生活（或具體情境）中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)符號(hào)表示出數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，求出結(jié)果，并回到實(shí)際問(wèn)題中去檢驗(yàn).這與建立方程（組）模型、不等式模型、函數(shù)模型的過(guò)程是一致的.

教材這樣設(shè)計(jì)的目的是為了讓學(xué)生再一次具體感悟模型思想，體會(huì)到數(shù)學(xué)思想和方法的一致性，有助于培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力、模型觀念、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)等核心素養(yǎng).

（3）第3課時(shí)

為了讓學(xué)生進(jìn)一步熟悉建立圖1所示的解題程序，本課時(shí)設(shè)計(jì)了例4和例5兩個(gè)例題，前者是水利工程中的筑壩計(jì)算問(wèn)題，后者是根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)計(jì)算鐵塔的高度問(wèn)題.進(jìn)一步落實(shí)第2課時(shí)的素養(yǎng)目標(biāo).

2 解讀核心素養(yǎng)

初中階段的九大核心素養(yǎng)分為四大類(lèi)：

一個(gè)直觀（幾何素養(yǎng)）：幾何直觀；

兩個(gè)意識(shí)（意識(shí)素養(yǎng)）：應(yīng)用意識(shí)，創(chuàng)新意識(shí)；

三大能力（能力素養(yǎng)）：抽象能力，運(yùn)算能力，推理能力；

三大觀念（觀念素養(yǎng)）：空間觀念，數(shù)據(jù)觀念，模型觀念.

下面就“解直角三角形的應(yīng)用”一節(jié)所能培養(yǎng)的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)分析如下.

2.1 運(yùn)算能力素養(yǎng)

運(yùn)算能力是《課標(biāo)（2011年版）》提出的“十大”核心概念之一，是《課標(biāo)（2022年版）》界定的核心素養(yǎng)之一.“運(yùn)算能力主要是指根據(jù)法則和運(yùn)算律進(jìn)行正確運(yùn)算的能力.能夠明晰運(yùn)算的對(duì)象和意義，理解算法與算理之間的關(guān)系；能夠理解運(yùn)算的問(wèn)題，選擇合理簡(jiǎn)潔的運(yùn)算策略解決問(wèn)題；能夠通過(guò)運(yùn)算促進(jìn)數(shù)學(xué)推理能力的發(fā)展.運(yùn)算能力有助于形成規(guī)范化思考問(wèn)題的品質(zhì)，養(yǎng)成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)態(tài)度.”運(yùn)算能力是在不斷地運(yùn)用數(shù)學(xué)概念（定理、運(yùn)算法則、運(yùn)算律、運(yùn)算公式等），進(jìn)行一定數(shù)量練習(xí)的過(guò)程中逐步形成和發(fā)展起來(lái)的.

本節(jié)內(nèi)容共涉及具體題目23個(gè)（其中5個(gè)例題、6道練習(xí)題和12道習(xí)題），這些問(wèn)題都需要經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)運(yùn)算才能解決，可以說(shuō)本課的所有素材都是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的載體.

2.2 抽象能力素養(yǎng)

《課標(biāo)（2022年版）》指出“抽象能力主要是指通過(guò)對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學(xué)的研究對(duì)象，形成數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、法則和方法的能力”.本課中所有問(wèn)題的解決都需要建立幾何模型，建立模型的過(guò)程是數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程，這個(gè)過(guò)程可逐步培養(yǎng)、提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力.

例如，本節(jié)課測(cè)量“上海東方明珠塔高度”問(wèn)題得到的幾何模型2是經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)抽象的結(jié)果，學(xué)生每經(jīng)過(guò)一次數(shù)學(xué)抽象活動(dòng)，其抽象能力就會(huì)有相應(yīng)的提高.

2.3 模型觀念素養(yǎng)

《課標(biāo)（2022年版）》提出“模型觀念主要是指對(duì)運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題有清晰的認(rèn)識(shí)”.這種觀念是面對(duì)生產(chǎn)、生活實(shí)際問(wèn)題時(shí)，學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)思考建立數(shù)學(xué)模型，并利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決模型，從而解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中逐漸形成和發(fā)展起來(lái)的.

本節(jié)的23個(gè)具體題目都是通過(guò)建立相應(yīng)的幾何模型得以解決的，有助于培養(yǎng)學(xué)生的模型觀念.

2.4 應(yīng)用意識(shí)素養(yǎng)

《課標(biāo)（2022年版）》指出“應(yīng)用意識(shí)主要是指有意識(shí)地利用數(shù)學(xué)的概念、原理和方法解釋現(xiàn)實(shí)世界中的現(xiàn)象與規(guī)律，解決現(xiàn)實(shí)世界中的問(wèn)題”.

本節(jié)課中的23個(gè)問(wèn)題涉及我們生活中的方方面面：測(cè)量建筑物高度問(wèn)題、飛機(jī)飛行問(wèn)題、長(zhǎng)江大橋問(wèn)題、攔河大壩問(wèn)題、樓梯安全問(wèn)題、釣魚(yú)問(wèn)題等.學(xué)生通過(guò)思考、分析，抽象出三角形模型.直角三角形模型，可以利用解直角三角形的知識(shí)直接解決；非直角三角形模型，可以通過(guò)添加輔助線轉(zhuǎn)化為直角三角形模型.

在解決這些問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生進(jìn)一步感悟到現(xiàn)實(shí)生活中蘊(yùn)含著大量與數(shù)量和圖形有關(guān)的問(wèn)題，可以用解直角三角形的方法予以解決，感悟到數(shù)學(xué)的應(yīng)用已經(jīng)滲透到現(xiàn)代社會(huì)的各個(gè)方面，體會(huì)到“數(shù)學(xué)來(lái)源于生活”“數(shù)學(xué)服務(wù)于生活”，不斷增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí).同時(shí)在解決問(wèn)題的過(guò)程中，有可能產(chǎn)生創(chuàng)新的火花，有助于學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的形成.

另外，學(xué)生在解決這些問(wèn)題的過(guò)程中，還能體會(huì)到知識(shí)之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，不斷提高“發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題的能力、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力”（即平常說(shuō)的“四能”），這些都是重要的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

3 解讀數(shù)學(xué)思想方法

《課標(biāo)（2022年版）》在“總目標(biāo)”的第一條中，要求學(xué)生掌握“四基”，其中之一就是數(shù)學(xué)基本思想.基本數(shù)學(xué)思想是具有本質(zhì)性特征和基本重要性的一些思想，處于較高的層次.史寧中教授認(rèn)為，“數(shù)學(xué)發(fā)展所依賴的思想在本質(zhì)上有三個(gè)：抽象、推理、模型.通過(guò)抽象，在現(xiàn)實(shí)生活中得到數(shù)學(xué)的概念和運(yùn)算發(fā)展，通過(guò)推理得到數(shù)學(xué)的發(fā)展，然后通過(guò)模型建立數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系”.其他的數(shù)學(xué)思想都可以由這些“數(shù)學(xué)的基本思想”演變而來(lái)的.

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)教材構(gòu)成體系的靈魂.在解讀教材時(shí)，要把學(xué)生學(xué)習(xí)教材內(nèi)容時(shí)能感悟到的數(shù)學(xué)思想找出來(lái)，這樣便于在具體教學(xué)時(shí)做到有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生去感悟.學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)本節(jié)課內(nèi)容可以感悟到下面兩種重要的數(shù)學(xué)思想.

3.1 轉(zhuǎn)化思想

解題就是把所要解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)熟悉的問(wèn)題的過(guò)程，通過(guò)對(duì)條件、結(jié)論的轉(zhuǎn)化，使問(wèn)題化難為易，化生為熟，化未知為已知，最終求得問(wèn)題的解答.這個(gè)過(guò)程體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法.本節(jié)教材內(nèi)容中，學(xué)生在學(xué)習(xí)、解答具體問(wèn)題時(shí)，可以進(jìn)一步感悟到轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

案例1攔水壩問(wèn)題（教材例4）

某地計(jì)劃在河流的上游修建一條攔水大壩.

大壩的橫斷面ABCD是梯形（圖5），壩頂寬

BC=6 m，壩高25 m，迎水坡AB的坡度i=1∶3，

背水坡CD的坡度i=1∶2.5.

（1）求斜坡AB和CD的長(zhǎng)（精確到0.01 m）；

（2）求攔水大壩的底面AD的寬.

設(shè)計(jì)意圖：為了讓學(xué)生了解坡度的意義及其數(shù)學(xué)表示，知道現(xiàn)實(shí)生活中斜坡傾斜程度的意義，并且進(jìn)一步熟悉通過(guò)建立直角三角形模型解決生產(chǎn)中實(shí)際問(wèn)題的步驟，體會(huì)數(shù)學(xué)與生產(chǎn)生活的密切關(guān)系，教科書(shū)以“攔河壩”為背景設(shè)計(jì)了例4.

通過(guò)閱讀教材，首先要明確問(wèn)題的意義：如圖5，ABCD是梯形，BC表示壩頂?shù)膶挘珹D表示壩底的寬.找出解決問(wèn)題的關(guān)鍵——作輔助線BE⊥AD，CF⊥AD，構(gòu)造Rt△AEB和Rt△DFC，這樣就將求斜坡AB和CD長(zhǎng)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題.教學(xué)時(shí)特別提醒學(xué)生∠A，∠D的正切可分別由i=tan A=１３，i=tan D=１２.５得出.

3.2 方程思想

方程思想就是指把所研究數(shù)學(xué)問(wèn)題中的已知量與未知量之間的等量關(guān)系，轉(zhuǎn)化為方程（組），從而達(dá)到解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種思維方法.方程思想在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中經(jīng)常用到.初中階段體現(xiàn)方程思想的數(shù)學(xué)問(wèn)題主要有兩類(lèi)：一是列方程（組）解決生活或生產(chǎn)中的實(shí)際問(wèn)題；二是列方程（組）解其他的代數(shù)問(wèn)題或幾何問(wèn)題.

案例２計(jì)算鐵塔的高度問(wèn)題（教材例5）

如圖6所示，要測(cè)量鐵塔的高AB，在地面上選取一點(diǎn)C，在A，C兩點(diǎn)間選取一點(diǎn)D，測(cè)得CD=14 m，在C，D兩點(diǎn)處分別用測(cè)角儀測(cè)得鐵塔頂端B的仰角為α=30°和β=45°.測(cè)角儀支架的高為1.2 m，求鐵塔的高（精確到0.1 m）.

設(shè)計(jì)意圖：為了讓學(xué)生利用方程的知識(shí)解決有關(guān)解直角三角形的問(wèn)題，設(shè)計(jì)了這個(gè)測(cè)量鐵塔高度的計(jì)算問(wèn)題.教學(xué)時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生思考如何將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題.

學(xué)生通過(guò)觀察圖6可得C1C=D1D=A1A=1.2 m，鐵塔的高AB可表示為（A1A+A1B），只要求出A1B的長(zhǎng)，就能得到塔的高度AB.

進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，A1B是Rt△BA1D1與Rt△BA1C1的公共邊，設(shè)A1B=x，把兩直角三角形的其他邊分別用含x的式子表示出來(lái)，找出其中的等量關(guān)系，列出關(guān)于x的方程，解含有x的方程即可.

解答例5的關(guān)鍵是利用兩個(gè)直角三角形，通過(guò)設(shè)輔助量列方程.學(xué)生通過(guò)解答本題，能進(jìn)一步體會(huì)用代數(shù)的方法解幾何題的過(guò)程，感悟方程思想.

本節(jié)內(nèi)容主要是通過(guò)建立直角三角形模型解決實(shí)際問(wèn)題，其本質(zhì)是圖形的計(jì)算問(wèn)題.圖形的計(jì)算問(wèn)題最終都可歸結(jié)為求線段的長(zhǎng)度或角的大小，建立方程是求線段的長(zhǎng)度或角的大小的常用方法，建立三角形模型解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)往往需要通過(guò)建立方程來(lái)完成.

學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)本課的內(nèi)容，能進(jìn)一步加深對(duì)用解直角三角形的有關(guān)知識(shí)解決某些簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的理解，認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)與生產(chǎn)、生活的聯(lián)系.在學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生能感悟到抽象、轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法，不斷增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)、逐步形成模型觀念，提高自己的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

教師通過(guò)研讀教材，在設(shè)計(jì)教學(xué)方案以及課堂教學(xué)中，就能始終把圖1所示的“程序”放在心中，把實(shí)際問(wèn)題抽象成三角形模型，通過(guò)解直角三角形模型達(dá)到解決實(shí)際問(wèn)題的目的.