從“螺旋式”上升的角度談教材微整合

校丁永 許盈盈

《論語·里仁》中寫到：“見賢思齊焉，見不賢而內自省也.”筆者在教授九年級數學（下冊）第6章“圖形的相似”時，教材中提出證明三角形三條中線交于一點.結合教材的證明方法及在教學中學生現場生成的證明方法，筆者有了一些思考：難道利用之前所學知識無法證明此問題嗎？由此，引發了筆者更多的思考，故撰寫此文與讀者交流.

1 問題呈現

蘇科版七年級（下冊）第7章“7.4認識三角形”中第25頁“練一練”第2題：分別畫出圖中（一個銳角三角形、一個鈍角三角形）各個三角形的3條中線.你有什么發現？

隨后，在參考答案中給出：三角形的3條中線交于一點.借助“畫一畫”，通過合情推理得出了這一結論，由于所學知識有限，當時并未進行證明，可以說是留下了一個空白.同時，也提到了三角形三條角平分線交于一點，三角形三條高線交于一點.

在八年級（上冊）利用角的軸對稱性證明了三角形三條角平分線交于一點.

在九年級（下冊）利用相似三角形的性質證明了三角形三條中線交于一點.

兩個方面引起了筆者的關注與思考：一方面證明三角形三條中線交于一點出現的太晚，跨度整整兩年；另一方面三角形三條高線交于一點始終沒有給予證明.下面是筆者對這兩個問題的一些思考.

2 問題解決

蘇科版八年級下冊第9章“中心對稱圖形——平行四邊形”，安排了“三角形的中位線”的學習.既提到了三角形，又提到了兩個中點，可以說是與三角形三條中線交于一點非常接近.此處既然提到三角形的兩個中點，何不順勢而為，提出第三邊的中點，從而引出三條中線，并用所學知識證明三條中線交于一點.

2.1 八年級下學期的證明方法

下面筆者給出一種用中位線定理和平行四邊形的判定及性質證明三角形三條中線交于一點.

證法1：中位線法.

如圖1，

延長AO至點G，使OG=AO，連接BG，CG.

∵E，O分別是AB，AG的中點，

∴EO是△ABG的中位線.

∴EO∥BG，EO=12BG.

∴CO∥BG.

同理，DO∥CG，DO=12CG.

∴BO∥CG.

∴四邊形OBGC是平行四邊形.

∴BF=FC.

∴F是BC的中點.

故△ABC三條中線交于一點.

此法稱之為“中位線法”，緣于在作輔助線時以構造中位線為目的.此處利用三角形中位線定理及平行四邊形的定義與性質即可證明，而這兩個知識點恰恰是學生剛剛學過的，同時在學習中位線的時候學生特別容易想到中線，既然已經有了兩個中點，那么再引出第三個中點就顯得更加水到渠成.

2.2 九年級下學期教材給出的證明方法

教材在九年級（下冊）利用相似三角形的性質證明了三角形三條中線交于一點，給出了如下方法.

證法2：同一法.

如圖2（1），△ABC的中線BD，CE相交于點O，連接ED.

∵E是AB的中點，D是AC的中點，

∴ED∥BC，ED=12BC.

∴△EDO∽△CBO.

∴ODOB=EDBC=12.

如圖2（2），△ABC的中線BD，AF相交于點O′，連接FD.同理可得O′DO′B=FDAB=12.

∴點O與點O′重合.

故△ABC三條中線交于一點.

此法雖好，但是學生不易想到，不在學生的最近發展區內.在課堂教學時，由于剛學完相似三角形的判定條件，因此學生給出的幾種不同的證明方法，幾乎都和相似三角形或平行線分線段成比例有關.

2.3 課堂上學生現場生成的證明方法

下面是學生給出的一些證明方法：

證法3：平行四邊形法.

如圖3，

延長OD至點G，使DG=OD，連接AG，CG.

∵D分別是AC，OG的中點，

∴四邊形OAGC是平行四邊形.

∴CO∥AG，AO∥CG.

∴BEEA=BOOG，BFFC=BOOG.

∴BEEA=BFFC.

∵E是AB中點，

∴BE=AE.

∴BF=FC.

故△ABC三條中線交于一點.

這種證明方法也非常簡單，構造平行四邊形，并利用平行線分線段成比例來進行證明，關于相似的判定和性質還未涉及其中.

證法4：倍長中線法.

如圖4，

延長OD至點G，使DG=OD，連接ED，CG.

∵D是AC的中點，

∴DA=DC.

∵∠ADO=∠CDG，

∴△ADO≌△CDG.

∴∠DAO=∠DCG.

∴AF∥CG.

∴BFFC=BOOG.

∵E是AB的中點，D是AC的中點，

∴ED是△ABC的中位線.

∴ED∥BC，ED=12BC.

∴△EDO∽△CBO.

∴ODOB=EDBC=12.

∴BO=OG.

∵BFFC=BOOG，

∴BF=FC.

故△ABC三條中線交于一點.

證法5：利用相似三角形的判定與性質.

如圖5，

連接DE交AF于點G.

∵E，D分別是AB，AC的中點，

∴DE是△ABC的中位線.

∴DE∥BC，DE=12BC.

∴△EDO∽△CBO，

△EGO∽△CFO，

△AEG∽△ABF.

∴EOOC=EDBC=12，EGFC=EOOC=12，EGBF=AEAB=12.

∴BF=FC.

∴AF是BC邊上的中線.

故△ABC三條中線交于一點.

3 深入思考

《義務教育數學課程標準（2022年版）》明確指出，重要的數學概念與數學思想要體現螺旋上升的原則．數學中有一些重要內容、方法、思想是需要學生經歷較長的認識過程，逐步理解和掌握的.因此，教材在呈現相應的教學內容與思想方法時，應根據學生的年齡特征與知識積累，在遵循科學性的前提下，采用逐級遞進、螺旋上升的原則.

3.1 調整教學設計，遞進更加明晰

筆者認為，可以把“證明三角形三條中線交于一點”安排在中位線定理的學習之后.原因有二：其一，七年級下學期已經“初見”，拖到九年級下學期“再見”，跨度太大.其二，在學習“三角形的中位線”時，已有兩邊中點，再提第三邊中點亦是順其自然、水到渠成，對其進行證明便可順勢而為、順水推舟，更能充分調動學生探索的積極性，教學效果也必將事半功倍.整體呈現如圖6所示：

正如南京師范大學顧繼玲教授所說：在不同學段、不同單元中，課程內容重復出現，逐漸拓展知識面，加深知識難度，即同一課程內容多次出現，后面的內容作為前面內容的擴展、深化，以交叉遞進的方式進行，體現螺旋式上升的特點.

3.2 由此及彼再思索，三條高線又如何

七年級（下冊）提到三角形三條中線交于一點、三條角平分線交于一點、三條高線交于一點.

八年級上學期利用角平分線的性質和判定證明三條角平分線交于一點.

可以在八年級下學期，利用中位線的性質和判定證明三角形三條中線交于一點.

然而，教材中并沒有安排“三角形三條高（所在直線）交于一點”的證明.從整體的角度去看，可謂甚是遺憾，下面筆者給出一種證明方法.

在△ABC中，已知高BD，CE交于點F，連接AF并延長，交BC于點G.

求證：AG⊥BC.

證明：如圖7，取BC中點O，連接OD，OE，DE.

∵在Rt△BEC中，∠BEC=90°，

∴OE=OB=OC.

同理，OD=OB=OC.

∴點B，E，D，C在以點O為圓心，OB為半徑的圓上.

同理，點A，E，F，D共圓.

∵∠DBC=∠DEC，

∠DAF=∠DEF，

∴∠DBC=∠DAF.

∵BD⊥AC，

∴∠DBC+∠DCB=90°.

∴∠DAF+∠DCB=90°.

∴∠AGC=90°.

∴AG⊥BC.

故三角形三條高交于一點.

如此便將七年級下學期提出的三角形的三條角平分線交于一點、三條中線交于一點、三條高線交于一點全部證明完畢，如圖8所示.

教師要非常熟悉初中三個年級教材的整體編排，在備課時站在高位進行教學設計.教師站位越高，學生獲得的知識越系統，教師的思路越立體，學生的收獲越豐富，讓學生對后續知識的學習有更多的好奇心和求知欲，發展數學核心素養.

東北師范大學孔凡哲教授指出，“螺旋”是指學習主題相同而內容的深度、廣度不同，“上升”是指層次的提升，以及課程內容的深度、廣度的加深.因此“同一個課程內容的不同層次之間比較適宜進行‘螺旋式上升”，“上升”的表現可以是思維深度的加深，也可以是內容廣度的增加，還可以是學習素材載體的改變等.

3.3 理論聯系實際，大膽進行整合

（1）從初中三年的知識結構去思考，在教材沒有提到的情況下，如果能夠補充證明“三角形三條中線交于一點”“三角形三條高線交于一點”，從而可以促成初中三年整個學段的知識形成閉環，不留空缺.

（2）充分體現幾何知識的學習中，一般思路為觀察、操作、發現、論證.既然發現了結論，如果不去論證，顯得不夠嚴謹，不夠完美，甚是遺憾.

（3）進行教材的微整合時，不能影響整體的教學進度，不能影響整體的知識結構，不能拔高知識的難度，不能增加學生的負擔.

（4）可以更好地體現初中數學知識的螺旋式上升，充分體現數學知識的環環相扣，展示數學知識的層層遞進，讓教學循序漸進，讓學生學習時感悟到條理更清晰、結構更完美！

（5）對教材進行的整合與思考，有利于教師的專業成長，俗話說做人要“活到老、學到老”，那么做老師便要“教到老，研到老”，力爭每輪教學都有新研究、新思考，力求每輪教學都有新成果、新收獲！

參考文獻：

中華人民共和國教育部．義務教育數學課程標準（2022年版）．北京：北京師范大學出版社，2022.

顧繼玲.關于數學教材內容的選擇與組織.數學通報，2017（2）：14，66.

孔凡哲．基礎教育新課程中“螺旋式上升”的課程設計和教材編排問題探究．教育研究，2007（5）：6268.