角平分線模型揭秘

李琳

在幾何模型中，角平分線是一種重要模型，也是中考的必考知識.下面從三個方面探討角平分線模型，以使學生對事物的認識由淺入深，由表象到理性.

1 角平分線的定義

在角的內部，從角的頂點出發，把這個角分成兩個相等的角的射線叫做這個角的平分線.已知OP是∠AOB的角平分線，可得以下兩組連等式，即∠AOP=∠BOP=12∠AOB，∠AOB=2∠AOP=2∠BOP.利用這些倍角或半角關系，結合圖形中的角的和差關系，可進行角的多種轉化.

例1已知∠AOB和∠COD均為銳角（∠AOB＞∠COD），OC與OA重合，將∠COD繞點O逆時針旋轉t°即∠AOC＝t°（0＜t≤90），OP平分∠AOC，OQ平分∠BOD.

（1）若∠AOB＝m°，∠COD＝n°，求∠POQ的度數（用代數式表示）；

（2）在（1）的條件下，若OB平分∠POQ，請直接寫出t的值（用含m，n的代數式表示）.

解析：（1）①若點C，D均在∠AOB內部，如圖1，因為OP平分∠AOC，OQ平分∠BOD，所以∠POC=12∠AOC，∠DOQ=12∠BOD，則∠POQ＝∠POC+∠COD+∠DOQ=12∠AOC+∠COD+12∠BOD=12（∠AOC+∠COD+∠BOD）+12∠COD=12∠AOB+12∠COD=12m°+12n°.

②若點C在∠AOB內部，點D在∠AOB外部，如圖2，則有∠AOB+∠COD-∠BOC＝∠AOD，所以∠AOD+∠BOC＝∠AOB+∠COD＝m°+n°.故∠POQ＝∠POC+∠COB+∠BOQ=12∠AOC+∠COB+12∠BOD＝∠COB+12（∠AOC+∠BOD）＝∠COB+12（∠AOD-∠BOC）=12∠AOD+12∠COB=12m°+12n°.

③若點C，D均在∠AOB外部，如圖3所示，則∠AOB+∠COD+∠BOC＝∠AOD，所以∠AOD-∠BOC＝∠AOB+∠COD＝m°+n°.所以∠POQ＝∠POC+∠BOQ-∠COB=12∠AOC+12∠BOD-∠COB=12（∠AOC+∠BOD）-∠COB=12（∠AOD+∠BOC）-∠COB=12∠COB+12∠AOD=12m°+12n°.

綜上所述，∠POQ=12m°+12n°.

（2）由OB平分∠POQ，得∠BOP=12∠POQ=14m°+14n°.因為∠BOP＝∠AOB-∠AOP＝∠AOB-12∠AOC＝m°-12t°，所以m°-12t°=14m°+14n°，整理得t=3m-n2.

評注：實際上本題的第（1）小題只有文字敘述，沒有圖形，所以在解答時要將所有符合題意的圖形都畫出來討論一番，盡管結果都是一樣的，但討論是必須的，否則就是漏解.

2 角平分線的性質

根據角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等，可以得到三角形被內角平分線分成的兩個小三角形的面積之比等于這個角的相應兩邊長之比.

例2在△ABC中，D是BC邊上的點（不與點B，C重合），連結AD.

（1）如圖4，當D是BC邊上的中點時，S△ABD∶S△ACD=；

（2）如圖5，當AD是∠BAC的平分線時，若AB=m，AC=n，求S△ABD∶S△ACD的值（用含m，n的代數式表示）；

（3）如圖6，AD平分∠BAC，延長AD到點E，使得AD=DE，連接BE，如果AC=2，AB=4，S△BDE=6，那么S△ABC=.

解析：（1）如圖7，過點A作AE⊥BC于點E.因為D是BC邊上的中點，所以BD=DC.所以SABD∶S△ACD=12×BD×AE∶12×CD×AE=1∶1.

故答案為1∶1.

（2）如圖8，過點D作DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F.因為AD為∠BAC的角平分線，所以DE=DF.

因為AB=m，AC=n，所以SABD∶S△ACD=12×AB×DE∶12×AC×DF=m∶n.

（3）如圖6，因為AD=DE，所以由（1）知S△ABD∶S△EBD=1∶1.由S△BDE=6，得S△ABD=6.因為AC=2，AB=4，AD平分∠CAB，于是由（2）知S△ABD∶S△ACD=AB∶AC=4∶2=2∶1，則S△ACD=3，所以S△ABC=3+6=9.故答案為9.

評注：本題將三角形兩條重要的線段，即中線、角平分線融合在一起，分別利用“等底同高的兩個三角形面積相等”與“角平分線上的點到角兩邊的距離相等”，探討了中線、角平分線在分三角形面積方面的數量關系.

3 與角平分線有關的尺規作圖

作已知角的平分線是尺規作圖五個基本作圖之一，作圖依據是基本事實“邊邊邊”.如果找到一個點，使這一點到角兩邊的距離相等，則該點一定在角平分線上，這時作角平分線即可.但是，如何作圓的內接三角形的角平分線呢？此時可以借助圓找出角所對弧的中點即可.

例3已知△ABC是⊙O的內接三角形，請僅用無刻度的直尺在下列圖形中按要求畫圖.

（1）在圖9中，已知OD⊥BC于點D，畫出∠A的角平分線；

（2）在圖10中，已知OE⊥AB于點E，OF⊥AC于點F，畫出∠A的角平分線.

作法：（1）如圖11所示，延長OD交⊙O于點M，連接AM，則AM就是∠BAC的角平分線.

理由：因為OD⊥BC于點D，根據垂徑定理，得OM平分BC，且OM平分BC，所以MB=CM.根據等弧所對的圓周角相等，得∠BAM=∠CAM，所以AM是∠BAC的角平分線.

（2）如圖12所示，延長OE交⊙O于點H，延長OF交⊙O于點K，連接CH，BK，兩條線段相交于點N，作射線AN，則射線AN就是∠BAC的角平分線.

理由：因為OE⊥AB于點E，根據垂徑定理，得OH平分AB，所以BH=AH，根據等弧所對的圓周角相等，得∠BCH=∠ACH，所以CH是∠BCA的角平分線.同理，可知BK是∠ABC的角平分線.又CH，BK兩條線段相交于點N，因為三角形的三條角平分線相交于一點，所以射線AN就是∠BAC的角平分線.

評注：本題利用尺規作圖可以直接作出所求角的平分線，但題中只能使用直尺，所以必須借助題中的垂直條件.此類題一方面考查了尺規作圖，另一方面考查相關圖形的性質.

角平分線的定義是七年級的學習內容，角平分線的性質與尺規作圖是八年級的學習內容，三角形的內切圓與內心是九年級的學習內容，同一個幾何模型，對它的研究在不斷的加深，體現了新課程的安排呈螺旋式上升的理念，使學生對事物的認識由淺入深，由表象到理性.