基于整體概念的“圓”章節(jié)起始課探究

朱文蘭

摘要：整體概念的章節(jié)起始課教學(xué)，是提升學(xué)習(xí)者高水平數(shù)學(xué)思維，實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)者對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容的深入、系統(tǒng)理解的有效途徑.本文中教學(xué)設(shè)計(jì)以“圓”章節(jié)起始課為例，按從整體到局部再到與其余圖形關(guān)系的順序展開研究.從圓上的一個(gè)點(diǎn)、兩個(gè)點(diǎn)、三個(gè)點(diǎn)……依次構(gòu)造不同的圖形，確定本章的研究對(duì)象和研究?jī)?nèi)容，從而體現(xiàn)整體概念的章節(jié)起始課的價(jià)值和意義.

關(guān)鍵詞：整體概念；章節(jié)起始教學(xué)

整體概念教學(xué)是在系統(tǒng)思維指導(dǎo)下，以課程標(biāo)準(zhǔn)為依據(jù)，按步驟整體設(shè)計(jì)教學(xué)，從而提高教學(xué)成效，提升學(xué)生的核心素養(yǎng).“整體”即從教學(xué)目標(biāo)出發(fā)，以全局的視角系統(tǒng)地理解教材、整合教材，在教學(xué)設(shè)計(jì)中統(tǒng)籌兼顧地安排基本知識(shí)、滲透基本思想方法，把知識(shí)和方法融入到學(xué)科體系中去教學(xué)，其目的是提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.筆者在圓的章起始課中圍繞整體概念進(jìn)行了探討，與大家分享.

1 教學(xué)分析

1.1 圓在封閉平面圖形體系中的核心地位

圓作為常見的幾何圖形之一，是曲線型圖形的代表.小學(xué)階段學(xué)生初步建立了對(duì)“曲線”這一抽象概念的認(rèn)識(shí)；初中階段實(shí)現(xiàn)從直觀感知到代數(shù)表達(dá)的飛躍，不僅深化了對(duì)圓的理解，更促進(jìn)了對(duì)幾何問題解決能力的培養(yǎng)；高中階段圓是圓錐曲線的基礎(chǔ)，還作為復(fù)數(shù)、向量、微積分等高級(jí)數(shù)學(xué)內(nèi)容的重要載體，展現(xiàn)了其在數(shù)學(xué)體系中的基石作用.

1.2 教學(xué)目標(biāo)與方法

本章是在小學(xué)學(xué)習(xí)圓的基礎(chǔ)上，對(duì)圓的概念和性質(zhì)的進(jìn)一步系統(tǒng)研究.對(duì)比八年級(jí)對(duì)直線型幾何圖形（三角形、四邊形）的研究過程，九年級(jí)對(duì)于圓的研究在思想方法上與直線型圖形既有聯(lián)系又有區(qū)別.在圓的性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)與探索過程中，如何“由近及遠(yuǎn)”地發(fā)現(xiàn)圓的性質(zhì)鏈，如何從”整體—局部”理解并掌握?qǐng)A的對(duì)稱性（軸對(duì)稱性、旋轉(zhuǎn)不變性）是本章學(xué)習(xí)的重點(diǎn).

本章教學(xué)中教師不僅要有意滲透研究圖形組成要素、相關(guān)要素之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，還要從整體上利用圓的對(duì)稱性發(fā)現(xiàn)圓的有關(guān)性質(zhì).三角形、四邊形等的學(xué)習(xí)，是沿著“定義—性質(zhì)—特例—應(yīng)用”的研究路徑，用“定性—定量”“整體—局部”“一般—特殊”“特殊—一般”等研究方法，得到了它們的性質(zhì)，圓也將用類似的學(xué)習(xí)路徑和方法來探究.

2 “圓”章節(jié)起始課教學(xué)過程

2.1 創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，獲得研究對(duì)象

教師利用多媒體讓學(xué)生欣賞生活中的圓，接著讓學(xué)生動(dòng)手畫一畫并思考：

（1）請(qǐng)?jiān)诩埳袭嫵?個(gè)圓，觀察畫圓的過程，你能歸納出圓的定義嗎？

追問：你還有不同的定義方法嗎？

（2）圓上的點(diǎn)有什么性質(zhì)呢？

追問：你能解釋為什么車輪是圓形的嗎？

師生活動(dòng)：讓學(xué)生通過觀察、歸納共性，得到圓的靜態(tài)定義，即在平面內(nèi)到一定點(diǎn)（圓心）的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合；通過在操場(chǎng)上畫一個(gè)圓的過程得到圓的動(dòng)態(tài)定義，即在同一平面內(nèi)，一條線段繞著其固定的一個(gè)端點(diǎn)（圓心）旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)的軌跡所形成的圖形.師生一起對(duì)定義中的關(guān)鍵詞進(jìn)行辨析，明確圓心確定了圓的位置，半徑確定了圓的大小.鼓勵(lì)學(xué)生從不同角度理解圓，為學(xué)生從直觀描述到嚴(yán)謹(jǐn)表述構(gòu)建通道.

教學(xué)說明：在通過圓規(guī)畫圓，直觀感知圓上點(diǎn)的本質(zhì)特征后，引導(dǎo)學(xué)生歸納圓的定義，發(fā)展學(xué)生抽象概括能力.在用“發(fā)生法”定義圓的過程中，理解圓的相關(guān)要素（圓心、半徑）的作用，為進(jìn)一步探索圓的性質(zhì)做好鋪墊.在歸納圓的定義“一靜（集合嚴(yán)格定義）一動(dòng)（旋轉(zhuǎn)描述法定義）”的過程中讓學(xué)生經(jīng)歷從具體到抽象、從直觀感受到嚴(yán)密表述的的思維過程.利用追問引導(dǎo)學(xué)生把數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際生活，從圓的定義出發(fā)，得到圓上點(diǎn)的性質(zhì)之后，即車輪上每一個(gè)與地面接觸的點(diǎn)到軸心的距離相等，從而解釋生活中圓形輪胎滾動(dòng)更平穩(wěn)的現(xiàn)象，突出知識(shí)的背景與應(yīng)用.

2.2 基本圖形與性質(zhì)探索

2.2.1 合作探究：認(rèn)識(shí)圓中相關(guān)元素

問題1得到圓的定義后，還要研究圓的哪些內(nèi)容呢？從什么角度去研究呢？

問題2在圓上任取兩個(gè)點(diǎn)，連接這2個(gè)點(diǎn)，能得到什么圖形呢？這些圖形有特例嗎？

追問：周長(zhǎng)相等的圓是等圓嗎？弧長(zhǎng)相等的兩段弧是等弧嗎？

問題3用線段連接圓上三個(gè)點(diǎn)，可以構(gòu)成什么圖形呢？連接圓上四個(gè)點(diǎn)呢？

問題4把問題2和問題3所得的圖形再和圓心、半徑聯(lián)系起來，你又有什么發(fā)現(xiàn)呢？

問題5我們研究了單個(gè)圓的圖形之后，還可以研究什么呢？

師生活動(dòng)：通過問題1，引導(dǎo)學(xué)生從整體（對(duì)稱性）到局部（圖形的要素和相關(guān)要素）入手研究圓的性質(zhì).通過問題2，學(xué)生發(fā)現(xiàn)圓上兩條特殊的線，從而得到弧和弦的概念，其中半圓和直徑是特殊的弧和弦.通過追問，師生一起辨析等圓和等弧的含義.通過問題2～4，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)圓依次添線成為圖1中的各個(gè)圖形，這樣本章的研究?jī)?nèi)容和重要圖形就都通過邏輯關(guān)系有序呈現(xiàn)出來.通過問題5，引導(dǎo)學(xué)生還可以研究圓與其他圖形的關(guān)系.

教學(xué)說明：通過問題鏈，引導(dǎo)學(xué)生從定義出發(fā)，“由近及遠(yuǎn)”地對(duì)圓展開研究，在研究圖形的性質(zhì)就是研究圖形基本要素與相關(guān)要素確定關(guān)系的觀念引導(dǎo)下，發(fā)現(xiàn)圓的基本要素及相關(guān)要素是重要的內(nèi)容.圓的相關(guān)要素如弧、弦、圓心角、圓周角等的發(fā)現(xiàn)不是直接觀察能夠得到的.連接圓上的兩個(gè)點(diǎn)，能得到兩類特殊的線.一是弧，有優(yōu)弧、劣弧之分，有特殊的弧——半圓（從位置角度看，是直徑所對(duì)的弧；從數(shù)量角度看，是圓周的一半）.二是弦，有特殊的弦——直徑（從位置角度看，是過圓心的弦；從數(shù)量角度看，是同圓或等圓中最長(zhǎng)的弦）.連接圓上三個(gè)點(diǎn)，可以構(gòu)成圓周角、圓內(nèi)接三角形.得到這些基本圖形之后，再和圓心、半徑聯(lián)系起來，則圓中所有相關(guān)要素全部被發(fā)現(xiàn)和確定.

2.2.2 合作探究：量化點(diǎn)與圓位置關(guān)系

問題6你能說出同一平面內(nèi)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系嗎？

問題7如何用圓心和半徑表示點(diǎn)與圓的位置關(guān)系呢？

教學(xué)說明：圓把平面上的點(diǎn)分成了三部分，類比圓上點(diǎn)的代數(shù)特征，可以利用圓心和半徑把平面上點(diǎn)與圓的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系.同樣可以用數(shù)量關(guān)系確定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.類似地，以后研究直線和圓的位置關(guān)系時(shí)，圖形的幾何特征與代數(shù)特征也可以互相轉(zhuǎn)化.這樣通過知識(shí)間的聯(lián)系和綜合，發(fā)展學(xué)生的理性思維，實(shí)現(xiàn)圖形的性質(zhì)、圖形的變化和圖形證明的有機(jī)結(jié)合.

2.3 思維訓(xùn)練與能力培養(yǎng)

例1如圖2，在A地正北80 m的B處有一幢民房，正西100 m的C處有一變電設(shè)施，在BC的中點(diǎn)D處是一古建筑.因施工需要，必須在A處進(jìn)行一次爆破.為使民房、變電設(shè)施、古建筑都不遭到破壞，問爆破影響面的半徑應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？

變式1如圖3，在A地正北30 m處有一點(diǎn)B，正西40 m處有一點(diǎn)C，BC所在的直線為公路.因施工需要，必須在A處進(jìn)行一次爆破.為使公路不遭到破壞，問爆破影響面的半徑應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？

變式2如圖3，在A城正北300 km處有一點(diǎn)B，正西400 km處有一點(diǎn)C，從A地測(cè)得一熱帶風(fēng)暴中心O從C處沿CB方向移動(dòng)，距風(fēng)暴中心200 km的范圍內(nèi)為受影響區(qū)域.問：A城是否會(huì)受到這次風(fēng)暴的影響？為什么？

變式3（挑戰(zhàn)）將變式2中“距風(fēng)暴中心200 km的范圍內(nèi)為受影響區(qū)域”改為“距風(fēng)暴中心260 km的范圍內(nèi)為受影響區(qū)域”.問：A城是否會(huì)受到這次風(fēng)暴影響？若受到影響，影響會(huì)持續(xù)多長(zhǎng)時(shí)間？（風(fēng)暴中心的移動(dòng)速度為20 km/h.）

教學(xué)說明：讓學(xué)生嘗試著自己畫圖，獨(dú)立思考后，教師引導(dǎo)學(xué)生把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，結(jié)合圖2找出所要求的量.進(jìn)一步熟悉點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定，幫助學(xué)生從實(shí)際生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題，把數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用于實(shí)際生活中去.

2.4 整體概念的滲透與鞏固

問題面對(duì)一個(gè)新的幾何圖形，我們將怎樣開展研究？

師生一起繪制思維導(dǎo)圖，如圖4.

教學(xué)說明：引導(dǎo)學(xué)生回顧認(rèn)識(shí)圓的過程，首先通過“畫一畫”，觀察畫圓過程得出圓的定義，然后通過從圓上取一點(diǎn)、兩點(diǎn)、三點(diǎn)……獲得了弧、弦及半圓、直徑等概念，再將這些相關(guān)元素與圓心和半徑聯(lián)系起來，揭示圓的系統(tǒng)研究?jī)?nèi)容，最后重點(diǎn)研究點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.引導(dǎo)學(xué)生歸納按照“由近及遠(yuǎn)”“從系統(tǒng)內(nèi)到系統(tǒng)外”按次序、有層次研究新圖形的方法和步驟.

3 教學(xué)反思

3.1 聯(lián)系越豐富，理解越深刻

促進(jìn)深刻理解，需要打開學(xué)生學(xué)習(xí)與發(fā)展的內(nèi)部轉(zhuǎn)換過程.通過如何畫出一個(gè)圓，從而用“發(fā)生法”描述圓的定義，歸納圓上點(diǎn)的共性，這樣多角度多維度地把圓的相關(guān)知識(shí)有效融合起來，能有效優(yōu)化圓的知識(shí)結(jié)構(gòu)和學(xué)生思維結(jié)構(gòu)，對(duì)學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí)和發(fā)展產(chǎn)生積極的影響.

3.2 思考有邏輯，研究對(duì)象有序呈現(xiàn)

初中階段平面幾何內(nèi)容的教學(xué)，是培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、邏輯性和系統(tǒng)性的優(yōu)良載體.“圓”的第一課時(shí)，有圓（圓心、半徑）的定義，?。踊?、半圓、優(yōu)?。?、弦（直徑）、等圓、等弧等概念.教師以整體性原則為指導(dǎo)，在圓上任意取兩點(diǎn)并連接這兩點(diǎn)，圓上任意取三點(diǎn)并連接這三點(diǎn)……把所得圖形與圓心、半徑聯(lián)系起來，從而得到本章所要研究的對(duì)象.通過邏輯思考發(fā)現(xiàn)不同知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，能簡(jiǎn)化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的認(rèn)識(shí)，避免認(rèn)知上的重復(fù)，從而提升學(xué)生的系統(tǒng)性思維，加強(qiáng)數(shù)學(xué)對(duì)象之間的內(nèi)在邏輯聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)為“遷移而教”的目的.

參考文獻(xiàn)：

鄭瑄，吳增生.“圓”章起始課教學(xué)的思考與實(shí)踐.中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2019（21）：49-53.

章建躍.“圓”的課程教材設(shè)計(jì)與教學(xué).數(shù)學(xué)通報(bào)，2020，59（7）：1-7，34.