從前后一致角度看“韋達定理”的教學引入

蔡維

摘要：“一元二次方程根與系數的關系”（又稱“韋達定理”）在新一版課標中補修改為“必學”內容.圍繞“韋達定理”新授課教學研究也逐漸多起來.那么如何在“韋達定理”引入時體現代數教學的前后一致？比如遵循從特殊到一般的研究思路，又如基于正、反兩個角度的研究方法，再如引導學生用不同方法驗證根與系數的關系.

關鍵詞：前后一致；韋達定理；特殊到一般

重視數學概念教學是很多教師都認同的一種教學理念.然而，由于種種原因，如何提升概念教學的品質或深度，仍然是一個值得深入鉆研的課題.最近，筆者有機會觀摩學習了某區的優秀課評課活動，課題為“一元二次方程的根與系數關系”（后文簡稱“韋達定理”），近十位數學教師同課異構，各具特色.各地選送的參賽教師在教學基本功、課堂組織上都不相上下，但是從他們對“韋達定理”引入的教學設計來看，教師對教材內容、教學方法的理解還是有差別的.本文中梳理參賽教師對“韋達定理”引入的三種典型教學設計，并給出簡評，提供案例研討.

1 “韋達定理”引入的三種教學設計

教學設計1通過列表計算方程的兩根之和與積引出韋達定理

活動：解方程并填寫下表1.

教學組織：給學生印發了導學案，導學案上將表格制好，學生只需計算填空即可.不到2分鐘，很多學生都填好了，然后教師組織學生匯報解答，進一步概括出“韋達定理”的內容.再安排學生利用一元二次方程的求根公式進行證明.

簡評：這種引入方式簡單直接、開門見山，學生接受新知也很順暢，課堂進展速度快，為后續進行大量練習贏得了時間.然而，這種設計不能向學生傳遞如何發現問題和提出問題的研究思路，屬于“去頭、掐尾、燒中段”的陳舊教學方式.在上述課堂中，學生對“為什么要學習韋達定理？”“怎樣想到分析兩根之和、兩根之積？”這些本原問題缺少思考，都是教師用“填表”強加給學生，學生在這個過程中只是像一個計算器一樣完成了計算，所謂的發現根與系數的關系，對思維能力的培養是較低層次的.

教學設計2直接從一元二次方程的求根公式推導“韋達定理”

教師：若關于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a，b，c為常數，且a不為0），當Δ＝b2-4ac≥0時，兩根為x1＝-b+b2-4ac2a，x2＝-b-b2-4ac2a.

從求根公式可以看出，一元二次方程的根可以用“系數”來表示，反映了根與系數之間的關系.現在請同學們繼續研究根與系數的更多關系.你們想從哪些方向進行研究呢？

生：我們還想研究兩根之和、兩根之積、兩根之差、兩根之商.

教師：很好，請同學們分組研究，然后全班交流展示研究成果.

（學生分組研究了5分鐘左右.）

生：我們小組發現x1＋x2＝-ba，x1·x2＝ca，x1-x2＝

b2-4aca，x1x2＝b-b2-4acb+b2-4ac.（投影展示了他們小組是如何根據方程兩根運算得出的.）

教師：很好！我們發現，兩根之和、兩根之積與系數的關系比較簡潔，教材上將它們作為一元二次方程的根與系數的重要性質，以后可以直接運用.

簡評：這種教學設計從一元二次方程的求根公式出發，直接安排學生繼續研究根與系數的其他聯系，學生能說出想研究“兩根之和、兩根之積、兩根之差、兩根之商”，雖然推進了本課學程，但筆者對學生為什么想到要研究“兩根之和、積、差、商”還是感覺“不夠自然”（有可能教師在課前對部分學生進行了研究方向的提示）.另外，教師認為學生研究出兩根之差、兩根之商的形式不夠簡潔，就不將其歸納為一元二次方程的根與系數的關系，這樣的解釋也比較勉強、說服力不強.此外，從代數教學的前后一致來看，最好能按照從特殊到一般來設計.即先研究二次項系數為1時一元二次方程的根與系數關系，再過渡到二次項系數不一定為1的“更一般情形”.

教學設計3研究一元二次方程根與系數之間聯系的其他表現形式

師：前面我們已學習了一元二次方程的求根公式，說明方程的系數a，b，c決定了方程根的值，反映了根與系數之間的聯系.那么，根與系數之間的聯系還有其他的表現形式嗎？這節課我們一起來研究.

問題1你能看出方程（x-2）（x-3）＝0的兩根嗎？將該方程化為形如x2＋px＋q＝0的一般形式，你能看出兩根與p，q之間的關系嗎？

學生很快看出：p＝-5，q＝6.

問題2你能看出方程（x-x1）（x-x2）＝0（x1，x2為已知常數）的兩根嗎？將該方程化為形如x2＋px＋q＝0的一般形式，你能看出x1，x2與p，q之間的關系嗎？

學生很快發現：x1＋x2＝-p，x1·x2＝q.

教師結合PPT給出一段數學史話，據說是數學家韋達的一種證明方法：

設關于x的方程x2＋px＋q＝0的兩個不相等的實數根分別為x1，x2，則

x21＋px1＋q＝0，①

x22＋px2＋q＝0.②

由①-②，得，x21-x22＋px1-px2＝0.

整理，得（x1-x2）（x1＋x2＋p）＝0.因為x1≠x2，所以x1＋x2＋p=0，即x1＋x2＝-p.再將其代入①中，可得x1·x2＝q.

問題3對于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，其中a不一定為1，那么它的兩根之和、兩根之積與系數又有怎樣的關系？（提示：可根據求根公式探究.）

學生根據求根公式進行加、乘運算之后，很快得出：x1＋x2＝-ba，x1·x2＝ca.

簡評：這種設計的思路主要遵循了人教版九年級上冊教材中相關教學內容的安排，并進行了加工轉化，是“用教材教”的體現，立意較高.首先是從學生最近發展區出發，學生剛學習過用因式分解法解一元二次方程，能直接看出問題1、問題2的兩根，再將方程展開為一般形式，有利于看出兩根之和、兩根之積與系數的關系；再將問題“一般化”，符合代數教學從簡單出發，逐次深入的研究習慣.此外，這種教學設計，努力讓學生自主發現或提出研究兩根之和、兩根之積與系數的關系，相比前兩種教學設計要更加自然一些.

2 “韋達定理”的教學要努力體現前后一致

基于“三個理解”（理解數學，理解學生，理解教學）來看韋達定理的教學，筆者以為主要從以下三個方向做好代數教學的前后一致，即體現從特殊到一般的研究思路，體現從正反兩方面研究的視角，體現從多角度驗證性質的方法.以下分別展開簡述.

（1）教學要體現從特殊到一般的研究思路

韋達定理的教學，一般先從特殊的一元二次方程出發，即二次項系數為1的情形，并且能運用“十字相乘法”快速看出兩根的方程，然后將其展開為一般式對比兩根與系數之間的關系，學生往往能自主發現兩根之和、兩根之積與系數之間的關系，然后“一般化”為字母系數的探究、歸納與概括.這個教學過程是學生從具體的數學問題解決中，概括出以前尚未知曉的一般規律與方法，并將其應用于新問題的解決，屬于層次較高的“發現型概括”.

（2）教學要體現從正反兩方面研究的視角

我們知道，一元二次方程的解法要解決的是“給定方程，求根”的問題，而“給定方程”就是“給定系數”，然后求出確定的根，即方程的根是由系數所確定的.這個教學邏輯前后都是一致的，比如七年級一元一次方程ax＋b＝0（a，b為常數，a≠0）的解是x＝-ba.在數學中，對一個數學對象從正面研究之后，往往還要從反面看看是否有值得研究的問題.基于這樣的逆向思考，如果給出一元二次方程的兩根，那么方程會有怎樣的形式呢？從而引出韋達定理的研究內容.

（3）教學要體現從多角度驗證性質的方法

數學學習的經驗表明，“好的數學定理”往往有多種證明方法，不同的證明方法能關聯不同的數學知識或方法.韋達定理也是一個“好的數學定理”，教學過程中教師要引導學生從不同角度進行驗證、確認，除運用求根公式直接運算驗證之外，還可向學生推介韋達的證明方法.此外，還可將一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）轉化為x2＋bax＋ca＝0，再借助之前已證明過的二次項系數為1時一元二次方程根與系數關系來解釋，體現了一題多解的思想.在多角度驗證性質環節多花費一些教學時間，看似擠占了后續練習鞏固的時間，實則對促進學生深刻理解根與系數關系十分重要，因為讓學生看到數學新知與此前方法之間的廣泛聯系、互通，能促進學生深刻理解、長久記憶.

參考文獻：

章建躍.理解數學是教好數學的前提.數學通報，2015（1）：61-63.

涂榮豹，陳嫣.數學學習中的概括.數學教育學報，2004（1）：17-22.