里“勾”外“連”各擊破一“垂”定音解“圓”題

牟玉娟

摘要：垂徑定理在圓問題中出現的頻率非常高，是解決與圓有關問題的重要知識.事實上，在應用垂徑定理解決圓的問題時，抓住直徑垂直且平分弦，連接圓心與弦的端點構造直角三角形后用勾股定理都是極為重要的步驟.本文中嘗試將“垂”作為總方向，探究如何利用勾股定理有效解決與圓有關的問題.

關鍵詞：垂徑定理；圓；勾股定理；半徑

通過分析近幾年的中考數學試卷發現了兩個現象，一是在圓中應用垂徑定理解決問題越來越普遍，二是垂徑定理往往與勾股定理相結合.由此可見，教師在新授或復習圓的有關問題時，不僅要注意垂徑定理在圓問題中的重要性，而且要適當拓展與其相關的知識，如直角三角形、勾股定理、等腰三角形、垂直平分線的性質等.基于此，本文中嘗試探究在“連”成直角三角形后利用“勾”股定理解決與圓中“垂”徑定理有關的問題.

1 垂徑定理基礎模型介紹

垂徑定理是初中數學幾何部分的重要內容之一，其模型如圖1所示.在⊙O中，由于AB是⊙O的直徑，CD是與直徑互相垂直的弦，因此可得到如下三個結論：

（1）CE=DE.

（2）BC=BD.

（3）AC=AD.

所以，可將垂徑定理表述為“垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧”.

那么在與圓有關的問題中，如何發現該模型，并且如何使用該模型解決問題呢？下面，從理論上來說明這兩個問題.

首先，從圓問題中發現垂徑定理模型比較簡單，因為題中往往已知直徑和一條弦（非直徑），且這條弦和直徑是互相垂直的關系，所以在圖中尋找“直徑和弦（非直徑）互相垂直”是關鍵.

其次，在使用該模型時，往往是作圓心到弦的垂線段或連接過弦端點的半徑，從而構造出一個以半徑、半弦長的線段、圓心到弦的垂線段為三邊的直角三角形，最后再利用勾股定理便可解決問題.

由此觀之，一“垂”定音的解題效果如何，關鍵在于是否通過“連”構造出直角三角形，能否利用勾股定理進行計算.

2 垂徑定理模型例用

垂徑定理模型的用法主要有以下三種.

2.1 知垂直，連半徑

例1（2022·北京）如圖2，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的一條弦，AB⊥CD，連接AC，OD.

求證：∠BOD=2∠A.

分析：由于∠A是圓周角，因此可根據“同弧所對的圓心角是圓周角的兩倍”進行等量代換.此時，只需連接OC，那么∠BOC就是∠A同弧所對的圓心角，可得∠BOC=2∠A.又因為半徑OC和OD相等，于是得到了一個等腰三角形OCD.由于已知AB⊥CD，所以可認為底邊CD的高一定在AB上.再根據“三線合一”的性質，可以得到OB是∠COD的平分線，進一步得到∠BOD=∠BOC，最后再利用等量代換即可得證∠BOD=2∠A.

證明：如圖3所示，連接OC，則OC是⊙O的半徑，即OC=OD.

∴△COD是等腰三角形.

對于BC，有∠BOC=2∠A.

∵AB⊥CD，

∴∠BOD=∠BOC.

∴∠BOD=2∠A.

點評：看見弦（非直徑）

和半徑（或直徑，或直徑所在的直線）是互相垂直的位置關系，就可利用垂徑定理模型解決問題.此時，只需連接半徑，構造出直角三角形或等腰三角形，然后用勾股定理計算或用等腰三角形的性質證明即可.

2.2 知半徑，作垂直

例2（2022·邵陽）如圖4，⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，若AB=3，則⊙O的半徑是（）.

A.32

B.32

C.3

D.52

分析：涉及半徑和弦長，可過圓心O作弦的垂線，然后在構造出的直角三角形中計算即可.

解：如圖5所示，連接OB，OC，則OB，OC都是⊙O的半徑，即OB=OC.過點O作BC的垂線，垂足為D.

∵△ABC是等邊三角形，AB=3，

∴AB=BC=3，∠A=60°.

∴∠BOC=120°.

∵OD⊥BC，

∴∠BOD=60°，BD=32.

∵sin∠BOD=BDOB，

∴sin 60°=32OB=32.

∴OB=3.

∴⊙O的半徑是3.

故填答案：C.

點評：圓的半徑在圖中可通過連接O和B兩點得到，而要求半徑的長，由于題中已知弦長，則需作垂直.半徑和弦、垂直是垂徑定理中非常重要的關鍵詞，“直徑和弦（非直徑）互相垂直”是識別垂徑定理模型的關鍵.

2.3 半徑垂直皆不知，造弦，連半徑，作垂直

例3如圖6，AB為⊙O的直徑，BC是弦，∠ABC的平分線BD交⊙O于點D，過點D作DE⊥BC交BC的延長線于點E，BC=5，DE=6.求⊙O的直徑.

分析：首先，連接OD，連接AC構造弦，垂徑定理模型已出現.根據“直徑所對的圓周角是直角”得到∠ACB=90°，與DE⊥BC結合得到DE∥AC.然后在等腰三角形DOB中通過等量代換得到∠ODE=90°，證明四邊形D

ECF是矩形，則得到OD⊥AC.根據垂徑定理得到CF=AF=DE=6，即AC=12.最后在Rt△ACB中，根據勾股定理可求得⊙O直徑AB的長.

解：如圖7，連接AC，OD交于點F，則OD是⊙O的半徑，即OD=OB.

∵BD平分∠ABC，

∴∠EBD=∠ABD.

∵OD=OB，

∴∠ABD=∠ODB.

∴∠EBD=∠ODB.

∴OD∥BE.

∴∠ODE=∠DEB=90°.

∴DE⊥OD.

∴DE是⊙O的切線.

∵DE⊥BE，

∠ACB=90°，

DE⊥DO，

∴四邊形ECFD是矩形.

∴AC⊥DO.

∴AF=CF.

∵DE=6，

∴AC=2CF=12.

在Rt△ACB中，根據勾股定理得AB=13.

點評：當垂徑定理模型出現后，根據垂徑定理進行證明和計算變得非常容易，但需注意的是直徑平分弦（非直徑），而不是弦平分直徑.

3 技法總結

垂徑定理模型的關鍵在于緊抓半徑和弦、垂直及“直徑和弦（非直徑）互相垂直”，這樣就可以通過“連”構造直角三角形，最終實現一“垂”定音.當然，在應用的過程中還需注意以下幾個方面：

首先，垂徑定理模型中的半徑（或直徑），不僅平分弦（非直徑），而且平分這條弦所對的弧.這里的弧可以是優弧，也可以是劣弧.尤其是后者，學生極易忽視.如圖1所示，直徑AB不僅平分劣弧CD，還平分優弧CAD.

其次，在垂徑定理模型中，是直徑平分弦（非直徑），而不是弦平分直徑.如圖1，是直徑AB平分弦CD，得到EC=ED，而不是CD平分AB.這一點，很多學生容易出錯.

總而言之，垂徑定理在與圓有關的問題中發揮了極其重要的作用，在利用垂徑定理模型分析問題時，抓住半徑和弦、垂直及“直徑和弦（非直徑）互相垂直”是關鍵，然后再各個擊破，最終讓問題得到圓滿解決.

參考文獻：

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伍春蘭，丁明怡，葛曉紅.數學定理教學的“轉識成智”——以初中“垂徑定理”起始課為例.數學通報，2022，-61（9）：32-36，40.

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