聚焦代數(shù)推理指向自主建構(gòu)提升核心素養(yǎng)

何平

1 試題呈現(xiàn)

2 解法探究

2.1 第（1）問的證法探究

（1）開口方向+頂點坐標(biāo)

（2）開口方向+圖象與y軸的交點

2.2 第（2）問的證法探究

思路1：借助二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行證明.

思路2：借助代數(shù)推理進(jìn)行證明.

點評：對變量范圍的判斷，既可以從函數(shù)性質(zhì)的角度去計算，也可以利用代數(shù)推理進(jìn)行論證.

2.3 第（3）問的解法探究

思路1：畫草圖，借助不等式組的解集判斷.

思路2：畫草圖，借助頂點和臨界值判斷.

解法2：軸距法.

思路3：借助一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系判斷.

分析：畫草圖，將二次函數(shù)圖象與x軸的交點問題轉(zhuǎn)化為求相應(yīng)的一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想方法.

3 試題評價

3.1 關(guān)注基礎(chǔ)知識，體現(xiàn)人文關(guān)懷

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）中對二次函數(shù)的考查要求：“會用描點法畫出二次函數(shù)的圖象，會利用一些特殊點畫出二次函數(shù)的草圖，會根據(jù)二次函數(shù)的表達(dá)式求其圖象與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)，理解函數(shù)圖象與表達(dá)式的對應(yīng)關(guān)系，理解函數(shù)與對應(yīng)的方程、不等式的關(guān)系，增強(qiáng)幾何直觀.”本題是一道典型的含參二次函數(shù)問題，第（1）問考查二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，證明函數(shù)圖象與x軸交點問題；第（2）問給定參數(shù)a的值，結(jié)合自變量的取值范圍，證明因變量的取值范圍；第（3）問在前兩問的基礎(chǔ)上，給定自變量的范圍，求參數(shù)a的范圍.三個問題的設(shè)計符合《標(biāo)準(zhǔn)》的要求，前兩個問題關(guān)注了對基礎(chǔ)知識的考查，第（3）問適當(dāng)提升難度，體現(xiàn)了綜合題的考查要求.本題問題設(shè)置簡約靈動，有利于增加學(xué)生答題的自信，更顯示了對學(xué)生的人文關(guān)懷.

3.2 注重邏輯論證，發(fā)展代數(shù)推理

《標(biāo)準(zhǔn)》提出了推理能力是初中階段核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)，在數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域也有推理或證明的內(nèi)容.代數(shù)推理：從一定的條件出發(fā)，依據(jù)代數(shù)定義、代數(shù)公式、運算法則、運算律、等式（不等式）的性質(zhì)等，得到具體數(shù)和代數(shù)式結(jié)構(gòu)、數(shù)量上的相等和不等關(guān)系等.本題的前兩問都聚焦在邏輯論證上，第（1）問只需判斷判別式4a2-12a的取值范圍；第（2）問求證y＞0，都是典型的代數(shù)推理問題.問題設(shè)計體現(xiàn)了新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，實現(xiàn)了對推理能力的考查.

3.3 滲透數(shù)形結(jié)合，凸顯素養(yǎng)立意

從第（2）問到第（3）問的設(shè)計，層層遞進(jìn)，從特殊到一般，難度逐級提升，學(xué)生由第（2）問的解題經(jīng)驗，自然聯(lián)想到畫草圖分析，第（3）問結(jié)合函數(shù)圖象求a的取值范圍，簡化了運算過程.在畫草圖分析的基礎(chǔ)上，可以借助不等式組的解集、二次函數(shù)頂點和臨界值、根的判別式和臨界值以及根與系數(shù)的關(guān)系求解，實現(xiàn)了解法的多元化，各種解法都滲透了數(shù)形結(jié)合、分類討論及轉(zhuǎn)化的思想方法，蘊含了對推理能力、運算能力的考查，實現(xiàn)了對學(xué)生核心素養(yǎng)的評價.

4 教學(xué)導(dǎo)向

4.1 聚焦代數(shù)推理，促進(jìn)深度思維

在《標(biāo)準(zhǔn)》的指導(dǎo)下，要發(fā)展學(xué)生的代數(shù)推理能力，在教學(xué)中需要重視學(xué)生運算能力的培養(yǎng)，讓學(xué)生明確運算過程中每一步的依據(jù)，弄清算理.然而，有學(xué)生在代數(shù)推理時采用舉例驗證的方法，例如，在證明4a2-12a＞0時，通過例舉a＝-2時，4a2-12a＝40＞0來達(dá)到證明的目的，這樣的證明過程不嚴(yán)謹(jǐn)，顯然是缺乏對代數(shù)推理的理解.因此，教學(xué)中需要關(guān)注代數(shù)推理的教學(xué)，例如比較大小時常用作差比較法，同時還要強(qiáng)化分析法和綜合法的應(yīng)用，提升代數(shù)推理能力.在教學(xué)中對于本題還可以嘗試思考以下問題：

（1）該函數(shù)圖象所經(jīng)過的象限隨a值的變化而變化，直接寫出函數(shù)圖象所經(jīng)過的象限及對應(yīng)的a的取值范圍；

（2）當(dāng)-1≤x≤4時，y＜5，直接寫出a的取值范圍；

（3）已知點A（m，3），B（m＋1，3），若線段AB與該二次函數(shù)的圖象有公共點，直接寫出m的取值范圍.

4.2 指向自主建構(gòu)，提升核心素養(yǎng)

含參二次函數(shù)問題的根本還是函數(shù)的圖象與性質(zhì).教學(xué)中要關(guān)注二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）中a，b，c的作用.本題中a的大小決定了函數(shù)圖象的開口方向，開口大小，|a|越小函數(shù)開口越大，|a|越大函數(shù)開口越小，有學(xué)生形象地總結(jié)|a|是“小胖子”.另外，對于參數(shù)需要適時分類，在變化中學(xué)會動中取靜，恰當(dāng)?shù)剡x擇臨界值輔助判斷，建立方程或不等式模型，利用草圖分析法感受數(shù)形結(jié)合的價值，體會從特殊到一般研究問題的方法.這些能力的培養(yǎng)都需要在平時的教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行充分的探究，自主建構(gòu)相關(guān)知識，并形成系統(tǒng)的認(rèn)知體系，從而能有效地運用已學(xué)知識解決問題.教學(xué)中可以利用圖3加深學(xué)生對含參二次函數(shù)相關(guān)知識和解題策略的理解，形成解決問題的一般方法，提升數(shù)學(xué)抽象能力、運算能力以及推理能力，從而實現(xiàn)核心素養(yǎng)的提升.

參考文獻(xiàn)：

中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

黃秀旺.關(guān)于初中代數(shù)推理的認(rèn)識與思考——基于初中代數(shù)推理的文獻(xiàn)分析.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2023（2）：5-8.