一次函數與反比例函數綜合題型解法初探

孟凡波

近年來，把一次函數與反比例函數結合起來考查的綜合題型越來越多地出現在各地的中考試卷中，已成為中考的必考內容與熱點題型，值得我們高度重視.現以黑龍江省2022年部分地市的中考真題為例，對常見的一次函數與反比例函數綜合類題型的解法作初步探討，供大家參考.

1 與函數的圖象、性質有關的低檔題型

這種題型側重于考查對函數的定義、圖象、性質、解析式等基礎知識的理解與運用，多為選擇題、填空題，分值在3～5分之間，難度較小.

例1（2022年大慶市中考試題）寫出一個過點D（0，1）且y隨x增大而減小的一次函數關系式.

解析：因為函數值y隨自變量x的增大而減小，所以可設一次函數的關系式為y=-x+b.

把點（0，1）代入關系式得，b=1.

所以，一次函數關系式為y=-x+1.

故答案為：y=-x+1（答案不唯一）.

思路與方法：本題主要考查考生對一次函數性質的理解與運用能力.理解了一次函數的性質（對于直線y=kx+b，當k>0時，y隨x的增大而增大；當k<0時，y隨x的增大而減?。?，只需把已知點的坐標代入函數關系式即可求出b的值，進而寫出函數關系式.

思路與方法：本題側重考查考生對反比例函數性質的理解與靈活運用能力.解法1利用了反比例函數的性質，運用這種方法時要注意給出的圖象上的點是否在雙曲線的同一分支上，還要考慮到k值的符號、雙曲線的位置、函數值的增減性三者之間的相互依存關系.解法2采用了特殊值法，相比較而言，顯得非常簡捷.

2 與函數解析式有關的中檔題型

這種題型常以選擇題、填空題的形式出現，分值雖然在5～10分之間，但難度明顯增加，屬于中檔題型.

例3（2022年齊齊哈爾市中考試題）如圖1，A是反比例函數y=kx（x<0）圖象上一點，過點A作AB垂直y軸于點D，且D為線段AB的中點.若C為x軸上任意一點，且△ABC的面積為4，則k=.

解析：設點Aa，ka，

a＜0，因為D為線段AB的中點，AB垂直于y軸，

所以AB=2AD=-2a.

又因為S△ABC=12×（-2a）×ka=4，所以k=-4.

故答案為：-4.

思路與方法：本題主要考查利用面積求反比例函數中k的值，解題的關鍵是能否靈活運用S△ABC=12×（-2a）×ka=4這個關系式.

例4（2022年哈爾濱市中考試題）已知反比例函數y=-6x的圖象經過點（4，a），則a的值為.

解析：把點（4，a）代入y=-6x，得a=-64=-32.

故答案為：-32.

思路與方法：本題主要考查反比例函數圖象上點的坐標特征，明確函數圖象若經過一個點，則這個點的坐標就符合函數解析式是解題的關鍵.只要把點的坐標代入反比例函數解析式，即可求出a的值.

3 一次函數與反比例函數綜合類高檔題型

這種綜合類題型，涉及的知識點多，覆蓋面廣，常以壓軸題的形式出現，分值在10～15分之間，側重于考查考生的思維方式、創新能力和靈活運用所學知識的能力，綜合性較強，難度較大，屬于高檔題型.

例5（2022年綏化市中考試題）如圖2，在平面直角坐標系中，已知一次函數y1=k1x+b與坐標軸分別交于A（5，0），B0，52兩點，且與反比例函數y2=k2x的圖象在第一象限內交于P，K兩點，連接OP，△OAP的面積為54.

（1）求一次函數與反比例函數的解析式；

（2）當y2>y1時，求x的取值范圍；

（3）若C為線段OA上的一個動點，當PC+KC最小時，求△PKC的面積.

解析：（1）因為一次函數y1=k1x+b與坐標軸分別交于A（5，0），B0，52兩點，所以把A（5，0），B0，52兩點分別代入y1=k1x+b，可得5k1+b=0，b=52，解得k1=-12，b=52.所以一次函數的解析式為y1=-12x+52.

如圖3，過點P作PH垂直x軸于點H，因為A（5，0），

所以OA=5.又因為S△PAO=54，所以12×5×PH=54，解得PH=12.由-12x+52=12，可得x=4，

所以P4，12.

因為點P4，12在雙曲線上，所以k2=4×12=2.

故反比例函數的解析式為y2=2x.

（2）根據題意，聯立方程組得y=-12x+52，y=2x.

解得x1=1，y1=2，x2=4，y2=12.所以點K的坐標為（1，2）.

根據函數圖象可知，反比例函數圖象在直線上方時，有04，所以當y2>y1時，x的取值范圍為04.

（3）如圖3，作出點K關于x軸的對稱點K′，連接KK′交x軸于點M，則K′（1，-2），OM=1，再

連接PK′交x軸于點C，連接KC，則PC+KC的值最小.

設直線PK′的解析式為y=mx+n，

把P4，12，K′（1，-2）代入，得m+n=-2，4m+n=12，

解得m=56，n=-176.

所以直線PK′的解析式為y=56x-176.

當y=0時，x=175，

所以C175，0，則OC=175.

所以MC=OC-OM=175-1=125，

AC=OA-OC=5-175=85，

AM=OA-OM=5-1=4.

因此S△PKC=S△AKM-SKMC-S△PAC=12×4×2-12×125×2-12×85×12=4-125-25=65.

思路與方法：本題主要考查反比例函數與一次函數的綜合，正確作出輔助線是解答本題的關鍵.

第（1）小題先運用待定系數法求出一次函數的解析式，再根據△OAP的面積為54和直線AB的解析式求出點P的坐標，進而可求出反比例函數解析式.

第（2）小題根據已知條件列出方程組并求解即可得到點K的坐標，然后再結合函數的圖象便可得出x的取值范圍.

第（3）小題先作出點K關于x軸的對稱點K′，然后連接KK′，使PK′交x軸于點C，再連接KC，則PC+KC的值最小，可求出點C的坐標，最后根據S△PKC=S△AKM-SKMC-S△PAC的關系即可求出△PKC的面積.

例6（2022年大慶市中考試題）已知反比例函數y=kx和一次函數y=x-1，其中一次函數圖象過（3a，b），（3a+1，b+k3）兩點.

（1）求反比例函數的關系式；

（2）如圖4，函數y=13x，y=3x的圖象分別與函數y=kx（x>0）圖象交于A，B兩點，在y軸上是否存在點P，使得△ABP周長最?。咳舸嬖冢蟪鲋荛L的最小值；若不存在，請說明理由.

解析：（1）把點（3a，b），3a+1，b+k3代入y=x-1，得b=3a-1，b+k3=3a+1-1，解得k=3.所以反比例函數解析式是y=3x.

（2）存在點P使△ABP周長最小.理由如下：

解y=13x，y=3x和y=3x，y=3x，得

x=3，y=1和x=1，y=3.所以A（3，1），B（1，3）.

如圖5，作點B關于y軸的對稱點B′，連接AB′，交y軸于點P，當點A，P，B′在一條直線上時，線段AB′的長度最短，所以存在點P使△ABP周長最小，此時△ABP的周長為AB+BP+AP=AB+PB′+AP=AB+B′A=（3-1）2+（1-3）2+（3+1）2+（1-3）2=25+22.

思路與方法：本題主要考查函數的綜合運用能力，會利用待定系數法求函數解析式，利用軸對稱求出點P的位置是解題關鍵.第（1）小題較簡單，用待定系數法求出函數解析式即可；第（2）小題是具有探索性的問題，只要能夠作出點B關于y軸的對稱點B′，連接AB′，交y軸于點P，即可解決三角形周長最小的問題.

綜上所述，一次函數與反比例函數綜合類題型考查的知識點多，范圍廣，涵蓋了各種題型，因其難易程度不同，分值也不相同，解題的思路與方法也不盡相同.但是不管哪種題型，解題的關鍵都是要在數形結合思想的指導下，在理解函數的性質、看懂函數圖象的基礎上，敏銳地從中捕捉到所需要的信息，利用好交點的坐標等已知條件，準確地把握和運用其中的數量關系，綜合運用函數、方程、不等式等相關知識和方法加以解答.