陰影圖形面積的求解思路分析

顧勇進

摘要：計算平面圖形陰影面積是中考中常出現的一類問題，常見的求解平面圖形陰影面積的基本方法有和差法、移動法和代數法等.本文中以不同例題為對象，具體分析求陰影面積問題常見的解題思路.

關鍵詞：圖形與幾何；陰影面積；解法思路

求平面圖形陰影部分的面積是中學平面幾何類問題中的難點，試題靈活多變，需要學生能夠整合題目信息，綜合思考問題，非常考查學生的邏輯思維能力.因此，掌握平面圖形陰影部分面積問題的解題技巧是初中數學教學的重點.

1 和差法

對于不規則的組合圖形，可將其分割成幾個基本的規則圖形，再分別計算幾個基本的規則圖形的面積，最后通過幾個基本的規則圖形的面積的和或差求出整個陰影圖形的面積.解答這類問題，思路一般為：①根據已知條件，將不規則幾何圖形分割成幾個基本的規則圖形；②分別計算幾個規則圖形的面積，通過相加相減即可求出所求陰影部分面積.

例1有一個圓心角為90°的扇形AOB，其半徑OA=2 cm，弧AB的中點為C，線段OB的中點為D，求圖1中陰影部分的面積.

分析：首先連接OC，過點C作CE⊥OB于點E，由C為AB的中點，計算可得S扇形COB和S△COD的值，最后根據已知條件即可得出陰影部分的面積.

圖2

例2如圖2所示，有一個的扇形AOB，∠AOB=100°，OA=12，OC=CB，∠DCO=90°，以OC為半徑的CE交OA于點E，求圖中陰影部分的面積.

分析：首先連接OD，DB，根據已知條件可求出扇形AOD的面積，最后用扇形AOB的面積減去扇形COE的面積，再減去S空白BDC即可求出陰影部分的面積.

2 移動法

移動法是指將圖形中的某一部分切割下來移動到合適的部位，使其組合成一個新的基本規則圖形，以便更易求出陰影部分的面積.具體方法有：平移、旋轉、割補、等積變換等.利用該方法求陰影部分面積的大致思路為：①根據已知條件，對圖形中某個部分進行切割并恰當地移動；②組合成一個新的基本規則圖形，計算即可求出陰影部分的面積.具體解題思路和步驟如以下例題.

例3如圖3所示，半圓O的直徑為AB，AO=R，AC=CD=DB，求陰影部分的面積.

分析：此陰影部分面積不易求，可應用等積法，轉化為易求出面積的圖形.首先連結OC，OD，根據已知可得S陰影=S扇形COD，最后計算即可求出陰影部分面積.

例4如圖5，大半圓O與小半圓O1相切于點C，大半圓的弦AB與小半圓相切于點F，且AB∥CD，AB=4 cm，求陰影部分的面積.

分析：作OE⊥AB于點E，連接O1F，OB，根據切線的性質得O1F⊥AB，再判斷四邊形OO1FE為矩形，得到OE=O1F，然后根據垂徑定理得到BE=12AB=2.在Rt△OBE中，利用勾股定理得OB2-OE2=BE2=4，再利用S陰影=12S大半圓O-12S小半圓O1，通過計算即可求出陰影部分的面積.

3 代數法

代數法是指當有些陰影部分比較復雜，不容易求面積時，可以借助于列方程（組），然后解方程（組）求出陰影部分的面積.解題的大致思路為：①根據題中已知條件列出方程（組）；②通過解方程（組）即可求出陰影部分的面積.具體解題思路和步驟如以下例題.

例5如圖7所示，有一個正方形，其邊長為2，分別以每條邊為直徑

在正方形內作圓，求出陰影部分的面積.

分析：若用一般方法計算陰影部分的面積，過程很復雜，甚至會導致計算錯誤，因此此題選擇用代數法求陰影部分的面積.首先設陰影部分面積為x，空白部分面積為y，由題意可列出方程組，然后解方程組即可求出陰影部分的面積.

例6如圖8所示，已知圓O的直徑AB垂直弦CD于點E，連接AD，BD，OC，OD，且OD=5，若∠ADO∶∠EDO=4∶1，求陰影部分的面積.

分析：首先根據已知條件，設∠ODA=4α，則∠BDC=4α，且∠ODE=α.又∠ODA+∠ODE+∠BDE=90°，即可得到關于α的方程，最后解方程即可求出陰影部分的面積.

根據上述不同的求陰影部分面積問題的分析，可以得到和差法、移動法、代數法的具體解題思路.針對不同類型問題，采取相對應的解題方法進行解答.在解題過程中，應加強對問題條件的分析應用，借助已知條件和相關性質去靈活解答，以此提高解題效率.不同思路對應的解題方式各不相同，有助于學生采取正確合理的思路快速解答求陰影部分面積這一類問題.

參考文獻：

潘秋萍.初中數學陰影面積計算的幾種方法.數理化解題研究（初中版），2013（9）：17.

齊永利.轉化是求陰影部分面積的關鍵.初中數學教與學，2014（21）：15-16.