反比例函數常見題型及解題策略探究

馬美珍

摘要：反比例函數是初中數學中非常重要的一個函數模型，與之相關聯的題型較多，題目也靈活多樣.在解決這類問題時，要注意反比例函數圖象的重要性質，并基于這些性質在解決數學問題中的方法進行分析，如此才可以迅速求得題目中的代數值或者比例系數等問題，就是說要注重對解題策略的總結和歸納，不斷夯實學生的解題基本功，提高學生的解題和思維能力，另外要注意培養學生的建模意識、數形結合思想、分類討論思想等，如此不斷提高學生的數學素養.

關鍵詞：反比例函數；解題策略

1 有關比例系數k的問題

反比例系數k的意義比較重要，也是解決有關問題的基本入口.在解決這類問題時，要注意利用數形結合法，利用“以形助教，以數解形”，使得問題更加直觀，同時要靈活運用系數k的幾何意義，將代數問題轉化為幾何問題，將題目化難為簡，達到事半功倍的效果.

例1如圖1，已知點A在正比例函數y=-2x的圖象上，過點A作AB垂直x軸于點B，四邊形ABCD是正方形，點D在反比例函數y=kx的圖象上.

（1）若點A的橫坐標為-2，求k的值；

（2）若設正方形ABCD的面積為m，試用含m的代數式表示k值.

解析：（1）根據題意可知，因為點A在正比例函數y=-2x的圖象上，且其橫坐標為-2，則當x=-2時，y=4.所以A的坐標為（-2，4）.

過點A作AB垂直x軸于點B，由四邊形ABCD是正方形，

得AD=AB=BC=DC=4.

又OB=2，所以D的坐標為（-6，4）.

由點D在反比例函數y=kx的圖象上，得

k-6=4，則k=-24.

（2）由正方形ABCD的面積為m，得

AD=AB=BC=DC=m，則點D和A的縱坐標為m，所以點A的坐標為-m2，m，OC=OB+BC=3m2.故D的坐標為-3m2，m.

代入y=kx，得k=-3m2×m=-32m.

點評：本題考查反比例函數和一次函數的圖象上的點的坐標特征，解題的核心就是要利用正方形的邊長相等來表示各個點坐標，利用圖形代數化解決圖形有關問題.

2 有關點的坐標問題

對于反比例函數中有關求解點的坐標問題，在搞清楚題目已知條件的基礎上，找出條件之間存在的關系，通過建立未知量和已知量的聯系，找到問題的突破口，從而可快速解決問題.

例2如圖2，點A在反比例函數y=kx的圖象上，僅使用無刻度的直尺作圖（不用寫作法，只保留作圖痕跡）.

（1）在圖2中畫出點A關于原點O的對稱點A′；

（2）點P在y軸上，在圖3中畫出點P關于原點O的對稱點P′.

解析：（1）連接AO，并延長交反比例函數y=kx的圖象于A′，如圖4所示，

則點A′即為所求.

（2）連接PA，并延長交反比例函數y=kx的圖象于點B，連接AO，BO，并延長交反比例函數y=kx的圖象于點A′，B′，連接B′A′，并延長交y軸于點P′，如圖5所示.

因為反比例函數的圖象是中心對稱圖形，對稱中心為原點，所以OA=OA′，OB=OB′.

又∠AOB=∠A′OB′，所以△AOB≌△A′OB′，

則∠ABO=∠A′B′O.又∠BOP=∠B′OP′，

可知△BOP≌△B′OP′（ASA），所以OP=OP′.

故點P′即為所求.

點評：本題考查反比例函數的圖象及性質、無刻度的直尺作圖、全等三角形的判定及性質，根據題目給出的條件，理解反比例函數的圖象是中心對稱圖形，對稱中心為原點，是解決此類問題的關鍵.

3 與直線相交的問題

一次函數與反比例函數是初中數學中兩類非常基本的函數，前者的圖象是一條直線，后者的圖象是雙曲線.對于這二者的相交問題，首先就是要根據已知求得解析式，在此基礎上可以根據數形結合法求解范圍問題，或者利用軸對稱求有關線段或者周長的最值問題等.

例3如圖6，一次函數y=x+4的圖象與反比例函數y=kx（k為常數且k≠0）的圖象交于A（-1，a），B兩點.

（1）求此反比例函數的表達式及點B的坐標.

（2）當反比例函數值大于一次函數值時，直接寫出x的取值范圍.

（3）在y軸上存在點P，使得△APB的周長最小，求點P的坐標并直接寫出△APB的周長.

解析：（1）根據已知.因為點A（-1，a）在一次函數y=x+4的圖象上，所以a=-1+4=3，故點A（-1，3）.因為點A（-1，3）在反比例函數y=kx的圖象上，所以k=-1×3=-3，故反比例函數的表達式為y=-3x.聯立y=-3x，y=x+4，解得x=-1，y=3，或x=-3，y=1，所以點B（-3，1）.

（2）觀察函數圖象可知，當-1

（3）作點A關于y軸的對稱點A′，連接BA′交y軸于點P，此時PA+PB的值最小，則△APB的周長最小，如圖7所示.因為點A（-1，3），所以點A′（1，3），

設直線BA′的表達式為y=mx+n（m≠0），

則m+n=3，-3m+n=1，解得m=12，n=52.

所以直線BA′的表達式為y=12x+52.

在y=12x+52中，令x=0，則y=52.

所以點P0，52.

由A（-1，3），B（-3，1），A′（1，3），可得

AB=（-1+3）2+（3-1）2=22，

A′B=（1+3）2+（3-1）2=25.

所以△APB的周長為PA+PB+AB=A′B+AB=25+22.

點評：本題主要考查了一次函數與反比例函數的綜合，軸對稱最短路徑問題，對于這類問題首先要求出函數解析式，在此基礎上利用圖象法，找出題目中給出的某些點關于直線的對稱點，然后找出線段或者周長最值，尤其要注意利用點的位置求解范圍或最值問題.

在日常的學習中，我們要熟練掌握各種題型的處理方法，積極思考解決各類問題的方法策略.在解決問題中經常進行歸納與反思，總結各類問題的解決方法，培養學生自主思考和探究問題的能力，實現高效解題，并能夠在后面的問題處理中學會融會貫通，更好地開發學生的邏輯思維能力以及發散思維，從而不斷提高學生思考問題、分析問題和解決問題的能力.

參考文獻：

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耿恒考.中考試題中的“反比例函數”.初中生世界，2023（Z5）：70-71.

孫曉琴.數學課堂因數學思想而精彩——反比例函數圖

象與性質的教學思考.數學之友，2011（5）：56-59.