范希爾理論指導(dǎo)下的平面幾何教學(xué)

涂友利

[ 摘 要 ]在范希爾理論指導(dǎo)下，研究者以“多邊形內(nèi)角和定理”為例，提出應(yīng)從學(xué)生現(xiàn)有的思維水平出發(fā)，結(jié)合教學(xué)實(shí)際設(shè)計符合學(xué)生最近發(fā)展區(qū)的教學(xué)活動，讓學(xué)生在逐層的探索中逐步提高自身的幾何思維能力及幾何素養(yǎng)，切實(shí)提高學(xué)生解決平面幾何問題的能力.

[ 關(guān)鍵詞 ]范希爾幾何教學(xué)理論；幾何思維能力；幾何素養(yǎng)

范希爾理論自誕生以來一直備受關(guān)注，該理論將幾何教學(xué)分為五個教學(xué)階段，即學(xué)前詢問、引導(dǎo)定向、闡明、自由定向、整合，為設(shè)計層級遞進(jìn)的教學(xué)活動提供了依據(jù).在初中平面幾何教學(xué)中，大部分學(xué)生幾何直觀、邏輯推理等幾何素養(yǎng)比較缺乏，使得學(xué)生整體的幾何思維能力處于較低水平，影響幾何教學(xué)效果.為了改變這一局面，教師應(yīng)該認(rèn)真研究教學(xué)、研究學(xué)生，從學(xué)生現(xiàn)有思維水平出發(fā)，設(shè)計符合學(xué)生已有認(rèn)知的由淺入深的探究活動，以此通過逐層探究，讓學(xué)生的思維能力螺旋上升.筆者在教學(xué)“多邊形內(nèi)角和定理”時，以范希爾逐層分析框架為指導(dǎo)，讓學(xué)生在逐層探究中體驗(yàn)了數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的魅力，提高了學(xué)生的幾何思維能力，促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落實(shí).現(xiàn)將教學(xué)設(shè)計分享給大家，供參考.

教學(xué)目標(biāo)

1.引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷探索多邊形內(nèi)角和公式的過程，培養(yǎng)學(xué)生的幾何思維能力.

2.通過觀察、操作等活動提高學(xué)生的實(shí)踐能力，讓學(xué)生體會分類、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

3.在分類、轉(zhuǎn)化、推理等數(shù)學(xué)活動中培養(yǎng)學(xué)生良好的思考習(xí)慣，體會從特殊到一般的研究方法，發(fā)展學(xué)生的推理能力.

教學(xué)設(shè)計

1.學(xué)前詢問

設(shè)計1 視頻展示生活圖片，引導(dǎo)學(xué)生觀察生活中的多邊形，如足球、扳手、房屋平面圖等，讓學(xué)生畫出對應(yīng)的多邊形，然后進(jìn)行展示.

大部分學(xué)生可以通過觀察、分析、對比等活動正確畫出對應(yīng)的多邊形.當(dāng)然，在實(shí)際操作中，也有學(xué)生因忽視“首尾相連”這一特征而得到錯誤的結(jié)果.師生和生生的互動交流可以完善學(xué)生的原有認(rèn)知，幫助學(xué)生深刻理解多邊形的概念.

設(shè)計意圖 以學(xué)生熟悉的生活情境為背景，讓學(xué)生直觀感知生活中的數(shù)學(xué)，激發(fā)學(xué)生的探究欲.在繪制多邊形的過程中，學(xué)生會自然地與之前所有的三角形內(nèi)容進(jìn)行對比，通過模仿畫出四邊形、五邊形等，并能夠結(jié)合三角形的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)來描述四邊形、五邊形的特點(diǎn)，最終形成多邊形的概念.

2.引導(dǎo)定向

設(shè)計2 結(jié)合三角形的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，畫一畫、猜一猜、算一算下面圖形的內(nèi)角和是多少.（課件給出四邊形、五邊形、六邊形）

學(xué)生雖然知道三角形的內(nèi)角和是180°，但是并不能確定其他凸多邊形的內(nèi)角和度數(shù)，此時教師不要急于呈現(xiàn)過程和方法，而應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生自主分析組成要素及特征，大膽地給出自己的猜想，然后進(jìn)行組內(nèi)交流.

設(shè)計意圖 學(xué)生根據(jù)學(xué)習(xí)長方形、正方形的經(jīng)驗(yàn)易猜想四邊形的內(nèi)角和是360°，但是對于五邊形、六邊形卻難以靠經(jīng)驗(yàn)完成猜想.此時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生觀察正方形、長方形和其他四邊形，分析它們的共性特征，大膽猜想，繼而引出下面的數(shù)學(xué)活動.在此過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生從特殊出發(fā)，讓學(xué)生體驗(yàn)從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生的思維品質(zhì).

3.闡明

學(xué)生結(jié)合已有經(jīng)驗(yàn)猜想四邊形的內(nèi)角和為360°，但是對于如何推理演繹比較模糊，在本階段，教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行推理驗(yàn)證，體驗(yàn)結(jié)論的合理性.

設(shè)計3 四邊形的內(nèi)角和是360°嗎？你會驗(yàn)證嗎？

課前教師為學(xué)生準(zhǔn)備了若干不同類型的四邊形，鼓勵學(xué)生以小組為單位，通過量一量、拼一拼等活動進(jìn)行驗(yàn)證，并展示學(xué)生的交流成果.

設(shè)計意圖 引導(dǎo)學(xué)生通過量、剪、拼等活動驗(yàn)證猜想，在此過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形之間的關(guān)系，為接下來的探究活動做鋪墊.

通過以上活動，學(xué)生雖然能夠給自己的猜想一個合理的解釋，但是由量、剪、拼等操作活動得到的結(jié)論并不嚴(yán)謹(jǐn)，需要教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步證明，以此讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，逐步培養(yǎng)學(xué)生的理性思維.

設(shè)計4 以小組為單位，將剛剛的若干四邊形剪成若干三角形.要求：所剪三角形至少有一條邊是原來四邊形的邊.

活動中，教師鼓勵學(xué)生從不同角度思考，運(yùn)用不同的方法剪拼，并讓學(xué)生對以上剪拼結(jié)果進(jìn)行分類，然后投影展示剪拼成果.

設(shè)計意圖 通過進(jìn)一步的剪拼活動，引導(dǎo)學(xué)生將圖形分一分，逐漸將四邊形與三角形建立聯(lián)系，從而為接下來的轉(zhuǎn)化證明提供依據(jù).

設(shè)計5 結(jié)合以上的分一分活動，你們是否能夠證明四邊形的內(nèi)角和為360°呢？

預(yù)留充足的時間讓學(xué)生交流、討論，尋找不同方法驗(yàn)證結(jié)論.活動中，學(xué)生的主體作用得以激發(fā)，促進(jìn)了教學(xué)質(zhì)量和學(xué)習(xí)品質(zhì)的提升.教師板書學(xué)生的交流結(jié)果：

方案1 如圖1，連接BD，將四邊形ABCD分成兩個三角形，則四邊形ABCD的內(nèi)角和為180°×2=360°.

方案2 如圖2，在BC邊上任意取一點(diǎn)E，連接AE，DE，將四邊形ABCD分成三個三角形，此時四邊形ABCD的內(nèi)角和為3×180°-180°= 360°.

方案3 如圖3，連接AC，BD，將四邊形ABCD分成四個三角形，則四邊形ABCD的內(nèi)角和為4×180°- 360°=360°.

方案4 如圖4（與方案3相同），在四邊形ABCD內(nèi)任取一點(diǎn)E，連接EA，EB，EC，ED，則四邊形ABCD的內(nèi)角和為4×180°-360°= 360°.