關(guān)于中點(diǎn)四邊形模型的探究思考

孫鍇

[ 摘 要 ]中點(diǎn)四邊形模型是初中數(shù)學(xué)探究的重點(diǎn)，涉及三角形中位線定理、特殊圖形的判定定理等知識.解讀模型、總結(jié)結(jié)論、應(yīng)用強(qiáng)化對于提升學(xué)生的知識水平和解題能力有極大的幫助.文章探究中點(diǎn)四邊形模型，開展模型教學(xué)思考，提出相應(yīng)的教學(xué)建議.

[ 關(guān)鍵詞 ]平行四邊形；中點(diǎn)；模型；菱形；矩形

中點(diǎn)四邊形模型是一種特殊的幾何模型，該模型以四邊形的中點(diǎn)為基礎(chǔ)構(gòu)建，形成的新圖形為平行四邊形，且增加幾何條件可形成特殊的平行四邊形.本文將深入探究中點(diǎn)四邊形模型，并結(jié)合實(shí)例突破解題探究.

引例探究

引例：如圖1所示，四邊形ABCD四邊的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，G，H，順次連接E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)，試判斷四邊形EFGH的形狀，并說明理由.

點(diǎn)評：上述探究四邊形EFGH的形狀，即任意四邊形中點(diǎn)連線所得圖形的形狀，根據(jù)上述結(jié)論可知為平行四邊形.實(shí)際上上述題目涉及中點(diǎn)四邊形模型，即依次連接四邊形四邊的中點(diǎn)，所得四邊形即為中點(diǎn)四邊形，其知識核心為三角形的中位線的性質(zhì)定理.

模型總結(jié)

中點(diǎn)四邊形模型在初中數(shù)學(xué)中十分常見，增設(shè)條件不同，所獲得的平行四邊形不同，可將平行四邊形演變?yōu)榱庑巍⒕匦巍⒄叫危旅嫔钊胩骄浚偨Y(jié)模型.

中點(diǎn)模型1——矩形

增設(shè)條件：對角線垂直（圖2中BD⊥AC）.

結(jié)論：對角線垂直的四邊形的中點(diǎn)四邊形是矩形.

證明：點(diǎn)M，N，P，Q分別是任意四邊形ABCD四邊的中點(diǎn)，由引例結(jié)論可知四邊形MNPQ為平行四邊形.

由于AC∥PQ，則∠2=∠1=90°.又知MQ∥BD，所以∠3=∠2=90°.可證四邊形MNPQ為矩形.

中點(diǎn)模型2——菱形

增設(shè)條件：對角線相等（圖3中BD=AC）.

結(jié)論：對角線相等的四邊形的中點(diǎn)四邊形是菱形.

中點(diǎn)模型3——正方形

增設(shè)條件：對角線平行且相等（圖4中BD⊥AC，且BD=AC）.

結(jié)論：對角線垂直且相等的四邊形的中點(diǎn)四邊形是正方形.

證明：根據(jù)模型2的思路可先證明四邊形MNPQ為菱形，再結(jié)合模型1的結(jié)論可證明其為矩形，進(jìn)而可證明其為正方形.

解題探究

上述具體探究了三種特殊的中點(diǎn)四邊形模型，即菱形、矩形、正方形成立的條件，并總結(jié)結(jié)論，探索證明過程.而在實(shí)際考查時，中考模型問題的題型多樣、綜合性強(qiáng)，下面結(jié)合實(shí)例具體探究、解析.

1.模型中的綜合探究

例1 在四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，順次連接各邊中點(diǎn)得到的新四邊形EFGH稱為中點(diǎn)四邊形（如圖5所示）.

（1）我們知道：無論四邊形ABCD怎樣變化，它的中點(diǎn)四邊形EFGH都是平行四邊形.特殊的：

①當(dāng)對角線AC = BD時，四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形為 形；

②當(dāng)對角線AC⊥BD時，四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形是 形.

（2）如圖5，在四邊形ABCD中，已知∠B =∠C = 60°，且BC = AB + CD，請利用（1）中的結(jié)論，判斷四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀并進(jìn)行證明.

思路分析：上述為幾何中較為特殊的中點(diǎn)四邊形模型問題，題設(shè)兩問，分別探討特殊條件下四邊形的形狀.解析探究時要結(jié)合中點(diǎn)四邊形模型的相關(guān)知識，結(jié)合題設(shè)條件按照“四邊形→平行四邊形→特殊圖形”的思路來證明.

過程解析：（1）①該問探究“對角線相等”條件下的中點(diǎn)四邊形形狀，可連接AC，BD，利用三角形中位線定理來證明四邊形EFGH是平行四邊形，再證明其為特殊圖形.

連接AC，BD，如圖6所示.已知點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，則EH∥BD，F(xiàn)G∥BD，所以EH∥FG.同理可證EF∥HG，所以四邊形EFGH是平行四邊形.

已知對角線AC=BD，所以EH= EF，可證四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形是菱形.

②該問探究“對角線垂直”條件下的四邊形形狀，把握其中的垂直關(guān)系即可.

當(dāng)對角線AC⊥BD時，EF⊥EH，所以四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形是矩形.

（2）該問探究等角關(guān)系及線段關(guān)系下的中點(diǎn)四邊形形狀，可證明其中的全等三角形，再利用其結(jié)合第（1）問的條件來得出結(jié)論.

解后評析：上述以中點(diǎn)四邊形模型為背景開展幾何探究，題設(shè)兩問，設(shè)定不同條件來探究四邊形的形狀.解析探究時，要充分利用圖形的性質(zhì)條件，作輔助線構(gòu)建模型.上述解析過程涉及矩形、菱形的判定和中點(diǎn)四邊形的定義，掌握中點(diǎn)四邊形的概念、矩形及菱形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

2.新定義中的模型探究

例2 我們給出如下定義：順次連接任意一個四邊形各邊的中點(diǎn)所得的四邊形叫中點(diǎn)四邊形.

（1）如圖7（a），在四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，中點(diǎn)四邊形EFGH是 .

（2）如圖7（b），P是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且滿足PA=PB，PC= PD，∠APB=∠CPD，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn).猜想中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀，并證明你的猜想.

（3）若改變（2）中的條件，使∠APB=∠CPD=90°，其他條件不變，直接寫出中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀（不必證明）.

思路分析：上述以新定義的命題形式考查中點(diǎn)四邊形模型，解析探究時要理解新定義，即中點(diǎn)四邊形的定義，挖掘其中的性質(zhì)定理.后續(xù)探究時要充分利用設(shè)定條件，按照“四邊形→平行四邊形→特殊圖形”的思路來逐步探究.

過程解析：（1）該問證明中點(diǎn)四邊形的性質(zhì)，實(shí)則考查對新定義的理解，利用三角形的中位線定理即可推出結(jié)論.

（2）該問進(jìn)一步設(shè)定條件，涉及等邊、等角條件，猜想驗(yàn)證中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀.探究時可提取其中的特殊三角形，利用其性質(zhì)來推導(dǎo)結(jié)論.

結(jié)合第（1）問可知中點(diǎn)四邊形EFGH是平行四邊形，所以平行四邊形EFGH是菱形.

（3）該問進(jìn)一步變更條件探究中點(diǎn)四邊形的性質(zhì)，分析猜想可知其為正方形，則可按照“特殊四邊形→菱形→正方形”的思路逐步證明.

解后評析：上述以新定義的形式考查中點(diǎn)四邊形模型，問題整體上具有關(guān)聯(lián)探究的特點(diǎn)，所涉三小問之間具有相關(guān)性，其結(jié)論可以互通互用.解析突破時要理解定義、合理猜想、嚴(yán)謹(jǐn)論證，利用特殊四邊形的證明思路，作圖建模，推導(dǎo)論證.

教學(xué)思考

上述圍繞中點(diǎn)四邊形模型開展探究，總結(jié)模型結(jié)論，探索證明思路，并結(jié)合實(shí)例進(jìn)行拓展探究，整個過程對于強(qiáng)化學(xué)生基礎(chǔ)知識，培養(yǎng)探究能力極為有利.同時模型的探究思路具有一定的教學(xué)參考價值，下面結(jié)合教學(xué)實(shí)踐進(jìn)一步思考，提出幾點(diǎn)建議.

1.以基礎(chǔ)知識為探究出發(fā)點(diǎn)

幾何模型探究是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，有利于幾何知識整合與重構(gòu)，可幫助學(xué)生梳理知識網(wǎng)，強(qiáng)化知識基礎(chǔ).模型探究時要以基礎(chǔ)知識作為出發(fā)點(diǎn)，立足教材的性質(zhì)定理，引導(dǎo)學(xué)生思考，逐步構(gòu)建模型.以上述中點(diǎn)四邊形模型為例，探究時立足三角形中位線定理、平行四邊形判定定理，構(gòu)建幾何模型.具體教學(xué)中要注意兩點(diǎn)：一是引導(dǎo)學(xué)生理解定理，掌握定理本質(zhì)；二是讓學(xué)生體會模型的構(gòu)建過程，感悟模型結(jié)構(gòu).

2.將模型總結(jié)作為探究關(guān)鍵

幾何模型探究中要注意總結(jié)歸納，即總結(jié)模型特征、證明思路、幾何結(jié)論，探究時按照“特征分析、定理證明、結(jié)論總結(jié)”的思路來開展.以上述中點(diǎn)四邊形模型為例，從引例入手呈現(xiàn)構(gòu)建過程；分步探究總結(jié)模型的三種情形，并加以證明.因此，教學(xué)中教師要注意引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)模型，掌握模型問題的探究思路.可分如下三個環(huán)節(jié)來開展：一是構(gòu)建探索，引導(dǎo)學(xué)生探索模型特征；二是開展模型“猜想—驗(yàn)證”，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力；三是總結(jié)模型結(jié)論，指導(dǎo)學(xué)生總結(jié)歸納，生成幾何結(jié)論.

3.將應(yīng)用強(qiáng)化作為教學(xué)重點(diǎn)

“應(yīng)用強(qiáng)化”是模型探究的重要環(huán)節(jié)，應(yīng)作為教學(xué)的重點(diǎn)，即針對幾何模型精選問題，引導(dǎo)學(xué)生開展解題探究，應(yīng)用模型知識及分析思路來處理問題，提升學(xué)生的知識應(yīng)用能力.以上述中點(diǎn)四邊形模型的解題探究為例，從“知識綜合”和“新定義拓展”兩大視角設(shè)定問題，按照“思路分析—過程解析—解后評析”的思路進(jìn)行解題探究.探究過程中注意學(xué)生的思維培養(yǎng)，滲透數(shù)學(xué)的思想方法，提升學(xué)生的綜合能力.

寫在最后

開展模型教學(xué)時教師要注意采用合適的方法，注意引導(dǎo)學(xué)生立足教材中的定理，探索構(gòu)建過程，總結(jié)模型結(jié)論，積累探究經(jīng)驗(yàn).通過模型探究，幫助學(xué)生強(qiáng)化基礎(chǔ)知識，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，提升思維能力，培養(yǎng)核心素養(yǎng).