問題驅動 自主建構 促進生長

周紅亞

［摘? 要］ “鉛垂高”這一數學模型在生產與生活中有著重要的應用，具有廣泛的研究價值. 研究者以生長數學理念為指引，結合教學實際精心設計指向深度學習的問題鏈，讓學生在問題的驅動下自主建構“鉛垂高”這一數學模型，并提供機會讓學生靈活應用該模型解決不同背景的實際問題，促進學生思維生長，提高學生的學習品質.

［關鍵詞］ 問題鏈；思維生長；深度學習；鉛垂高

教學立意

1. 價值立意

“鉛垂高”這一概念雖然在教材中沒有出現，但是其在解決問題的過程中經常出現，是解決某些數學問題的重要工具，具有一定的探究意義. 在教學中，教師若僅將“鉛垂高”作為數學模型讓學生簡單套用，則學生的學只能停留于模仿和套用上，很難體現其教學價值，難以引發有深度的學習. 為了改變這一局面，教師應設計有效的問題情境，讓學生在問題的驅動下主動構建“鉛垂高”這一實用型工具，以此讓學生通過經歷數學模型的建構過程，深化對知識的理解，提高數學應用水平，落實數學素養.

為了引導學生經歷“鉛垂高”這一數學模型的建構過程，教師應設計生長路徑明顯的數學問題，幫助學生深入理解這一數學模型的基本特征及現實意義，同時通過多場景、多角度、多層次的探索幫助學生了解不同問題的區別與聯系，揭示問題的本質. 另外，教師應創設一些獨立思考和合作交流的時間和空間，幫助學生更好地發現問題、提出問題、拓展問題、感悟問題，運用問題促進學生思維生長，提升學生的綜合學力.

2. 教學方法

對于“鉛垂高”，其最初形態為“絕對值”，然后是“平面直角坐標系”，其廣泛應用于解斜三角形面積的問題中. 在學習過程中，應引導學生追根溯源，讓學生在知識發現、發展和應用過程中深刻理解知識，提升學生發現、分析和解決問題的能力. 基于以上內容的邏輯分析，教學中可以專題的方式展開，讓學生在任務的驅動下主動思考、主動交流、主動建構，通過運用任務驅動、分析討論等多種“以生為主”的教學活動的開展，培養學生自主學習能力，讓學生學會合作、學會學習.

教學過程

1. 專題復習，建立邏輯關聯

例1? 如圖1，請指出A，B，C，D各點分別表示的數，計算兩點間的距離，并說一說你的計算過程.

例2? 如圖2，在平面直角坐標系xOy中，A，B，C，D各點的坐標是什么？請分別求出線段AB，CD，AD，BC的長度，并說一說你的計算過程.

師生活動：例題給出后，教師讓學生獨立思考，然后點名讓基礎較為薄弱的學生呈現計算結果及解題過程. 從學生反饋來看，學生能夠靈活運用絕對值和平面直角坐標系中平行于坐標軸的兩點之間距離的表示方式寫出兩點之間的距離.

設計意圖? 通過上述兩個例題的設計，了解學生對已有知識的掌握情況，并結合學生的實際反饋進行有效的指導，以此掃清知識障礙，感悟知識間的邏輯聯系，為接下來探究“鉛垂高”這一數學模型做鋪墊.

2. 問題變式，深化“鉛垂高”的理解

問題場景：已知拋物線y=-x2+2x+3與x軸相交于點A（-1，0），B（3，0），與y軸相交于點C（0，3）.

問題1? 如圖3，點P為拋物線上一動點，且僅在直線BC的上方運動，過點P作PD∥y軸交直線BC于點D，設點P的橫坐標為m，求線段PD的長（用含m的代數式表示）.

問題2? 如圖4，點P為拋物線上一動點，且僅在直線BC的下方運動，過點P作PD∥y軸交直線BC于點D，設點P的橫坐標為m，求線段PD的長（用含m的代數式表示）.

問題3? 點P為拋物線上一動點，過點P作PD∥y軸交直線BC于點D，設點P的橫坐標為m，求線段PD的長（用含m的代數式表示）.

師生活動：上述三個問題難度不大，教師先讓學生獨立完成，然后以小組為單位讓學生交流探究結果，最后對學生的探究結果進行點評、歸納. 當然，一些基礎較為薄弱的學生面對動點問題時容易產生畏難情緒，基于此，教師要及時啟發和指導，并鼓勵學生進行互動交流，以此通過相互啟發、相互幫扶消除學生的畏難情緒，提高學生學習信心.

設計意圖? 上述三個問題構成了一個變式題組，審視題目不難看出，點P的位置雖然不同，但是其結構相同，以此通過“變與不變”加深對“鉛垂高”表示方法的理解. 三個問題逐層呈現，逐層遞進，讓學生在探究中體會“鉛垂高”表示上的細微區別，使學生的思維自然生長，為接下來引出三角形面積問題做好鋪墊.

3. 問題驅動，促進思維生長

問題4? 通過前面問題的探究，大家對“鉛垂高”這一模型已經有了一定的了解，你能說一說“鉛垂高”可以解決哪些問題嗎？

問題5? 請設計幾個利用“鉛垂高”求三角形面積的問題.

結合已有經驗易知，“鉛垂高”是解決三角形面積問題的重要工具. 在教學中，教師沒有直接呈現相關的三角形面積問題讓學生求解，而是將題目設計主動權交給學生，讓學生以上述問題場景為背景，設計對應的求三角形面積的問題，讓學生在設計問題的過程中體會“鉛垂高”的工具意義，提高學生學習的積極性. 在教師的啟發和引導下，在原有問題的基礎上學生設計了如下對應的三角形面積問題.

問題6? 如圖5，點P為拋物線y= -x2+2x+3上一動點，且僅在直線BC的上方運動，過點P作PD∥y軸交直線BC于點D，連接PC，PB，設點P的橫坐標為m，求△PBC的面積（用含m的代數式表示）.

問題7? 如圖6，點P為拋物線y= -x2+2x+3上一動點，且僅在直線BC的下方運動，過點P作PD∥y軸交直線BC于點D，連接PC，PB，設點P的橫坐標為m，求△PBC的面積（用含m的代數式表示）.

問題8? 已知點P為拋物線y=-x2+2x+3上一動點，過點P作PD∥y軸交直線BC于點D，連接PC，PB，設點P的橫坐標為m，求△PBC的面積（用含m的代數式表示）.

師生活動：在教師的引導下，學生改編原有問題——將求線段的問題改編為求三角形面積的問題. 教師整理并投影展示上述三個問題，然后預留時間讓學生以小組合作的方式解決問題. 在解題過程中，有些小組遇到了障礙，教師啟發學生將一個三角形的面積轉化為兩個三角形面積的和或差，這樣各個小組便順利地解決了問題. 解題后，教師預留時間讓學生對解題過程進行對比分析，進而揭示問題的本質，讓學生掌握解決此類問題的通法.

設計意圖? 此環節引導學生將線段問題轉化為三角形面積問題，使數形結合更加緊密. 對于上述三個問題（問題6、問題7、問題8），無論點P在何位置，△PBC的面積最終都可以轉化為線段OB與線段PD的乘積的一半，而這里的OB為定值，因此解題關鍵就是求線段PD的長. 分析至此，問題迎刃可解. 這樣以不同背景為依托，讓學生感受“鉛垂高”在解決此類斜三角形問題中的妙用，提高學生學習積極性.

問題9? 以上各題所研究的均為過點P作PD∥y軸，交直線BC于點D，然后用點P的橫坐標來表示PD的長. 如果將問題“變一變”，如圖7，過點P作PE⊥BC，垂足為E，那么此時線段PE的長是否依然可以用點P的橫坐標來表示呢？

問題10? 在問題9的基礎上，用點P的橫坐標還可以表示什么呢？能否表示△PDE的周長和面積呢？

設計意圖? 通過以上問題的解決，讓學生發現“斜高”與“鉛垂高”同根而生，緊密聯系. 這樣由平行到垂直，引導學生將相關知識進行合理的串聯，拓寬學生的視野.

問題11? 如圖8，點P為直線BC上方拋物線上的一動點，連接OP，交線段BC于點Q，設點P的橫坐標為m，求（用含m的代數式表示）.

問題12? 如圖9，點P為直線BC上方拋物線上的一動點，連接OP，交線段BC于點Q，連接PC，記△PCQ的面積為S，△OCQ的面積為S，設點P的橫坐標為m，求（用含m的代數式表示）.

設計意圖? 上述兩個問題有一定難度，教師可以啟發學生聯想相似三角形和“等高”模型，引導學生用線段PD加以 表示，讓學生進一步感知“鉛垂高”在解決三角形面積問題中的價值. 解題后，教師應有意識地引導學生總結歸納解題過程，讓學生發現上述問題雖然形式不同，但是其求解方法前后一致，以此在深化知識理解的同時，提高學生舉一反三的能力.

在教學過程中，教師可以根據實際學情確定是否繼續進行拓展延伸. 若學生通過獨立思考和合作交流能夠順利解決以上問題，教師還可以繼續拓展，延伸出定值，如問題1到問題3，若PD=2，求點P的坐標；又如問題6到問題8，若△PBC的面積為定值2，求點P的坐標；抑或在問題9的基礎上，給出PE的長為2，求點P的坐標；對于問題11，不妨給出=1，求點P的坐標. 當然還可以將問題推廣為求最值的問題，如點P為直線BC上方拋物線上的一個動點，PD，S，PE，，是否存在最大值？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由. 這樣引導學生從不同角度分析與探究問題本質，既有利于知識的深化，又能幫助學生積累豐富的活動經驗，促進學生數學思維的生長.

4. 體驗感悟，促進知識的升華

在數學教學中，若想讓學生學會學習，僅僅靠講授和練習是不夠的，還要預留時間讓學生進行反思與感悟. 在本節課教學中，教師從學生最近發展區出發，結合學生實際學情設計問題鏈，使學生在問題鏈的驅動下掌握了核心的基礎知識，鍛煉了學生的解題技能. 同時通過有效的歸納總結讓學生體會許多看似不同的問題，其解題方法卻有異曲同工之妙，以此激發學生學習數學的積極性. 在歸納總結環節中，教師又設計了如下問題引導學生回頭看.

（1）本節課我們主要復習了哪些內容？

（2）通過以上問題的解決，你有何發現？問題最后落在了何處？

（3）解決問題的過程中運用了哪些數學思想方法和策略？

設計意圖? 反思與回顧是課堂教學的重要一環，是完善認知、內化能力的主要途徑. 該環節若僅預留時間讓學生總結歸納而不進行有效的指導，可能難以達到預期. 基于此，教師結合教學內容及教學目標精心設計問題，讓學生在問題的引領下積極思考、積極交流，以此理清知識的來龍去脈，逐步建立完善的認知結構，提升分析和解決問題的能力.

教學反思

復習課不僅要讓學生知道知識和方法從哪里來，還要讓學生知道知識和方法到哪里去，在腦海中形成清晰的知識脈絡，以便學生能夠靈活應用相關知識解決問題. 在本節課教學中，教師精心設計問題鏈，引導學生回顧“絕對值”和“平面直角坐標系”相關內容，讓學生感悟知識間的邏輯聯系. 在此基礎上引出“鉛垂高”的應用，以此通過對問題的深入探究建構起知識與方法的“前世今生”，逐步形成完整的知識結構，提高學生的數學應用水平. 因此，在復習教學中，教師應重視合理地引入問題鏈，充分發揮問題在誘發學生思考，啟迪學生智慧，優化學生認知結構等方面的價值，提高復習教學有效性. 為了充分發揮問題鏈的積極作用，教師在設計問題鏈時應重視以下幾點.

1. 問題設計應體現生長

在傳統復習教學中，為了實現“多講多練”的教學目標，部分教師在復習課堂的選題上呈現出一定的隨意性，使課堂上出現了一些重復題或無太大關聯的問題，而重復的練習容易造成思維疲勞，而關聯不大的問題會影響思維的自然生長，這樣的復習課堂看似豐富多彩，其實學生的收獲甚微，影響復習效果. 因此，教師在設計問題鏈時，應注意問題的梯度性和生長性，使學生的思維潛移默化地發散和生長. 在本節課教學中，教師引導學生用點P的橫坐標表示“鉛垂高”PD后，還可以讓學生思考若PD為確定值時，點P的坐標是什么？在此基礎上進一步延伸，讓學生思考“鉛垂高”是否存在最值，以此通過有效的拓展延伸，讓學生的思維自然生長.

2. 問題設計應回歸本原

在本節課教學中，教師從不同角度引導學生發現、提出問題，并引導學生利用不同方法解決問題，以此通過多角度分析和全方位探討讓學生對如何應用“鉛垂高”處理三角形面積問題了然于心. 如求PD的長和△PBC的面積，點P的位置雖然不同，但是其構造方式相同，解題思路相同，應用的數學思想方法也相同，這樣通過全方位探討讓學生對“鉛垂高”的理解更加透徹，促進學生深入思考，提高學生分析和解決問題的能力.

總之，在復習教學中，教師應精心選題，合理設置問題鏈，有意識地呈現知識的“前世今生”，以此讓學生全方位地理解知識，建構完善的知識體系，提高課堂教學有效性.