初中生統計思維的發展（上）

潘禹辰 徐文彬

基金項目? 全國教育科學“十三五”規劃2018年度國家一般項目“中小學STEM教育基本理論與本土實踐問題研究”（BHA180126）;江蘇省研究生科研與實踐創新計劃項目“基礎教育階段學生統計素養的培養研究”（KYCX24_1709）.? 通信作者

【摘? 要】? 統計思維是一種關于數據、變異和機會的一般的、基本的、獨立的推理模式.對統計思維及其發展的理解，既要關注統計過程與方法，又要重視統計學作為一門方法論學科的要義，即統計實踐.通過對統計實踐的分析發現，統計實踐由可作為統計學習主題的六個基本要素構成.為了刻畫初中生統計思維發展的可能路徑，結合“認知水平”與“假設學習軌跡”這兩種數學學習軌跡研究的視角，參考初中“統計與概率”領域的具體內容，可將這六個主題作為統計學的大觀念，分別建構學習軌跡，形成逐級提升的發展水平.其中，隨機性主題的發展軌跡為“定性的→非正式量化→正式量化→綜合的”.

【關鍵詞】? 統計思維；統計實踐；統計與概率；學習軌跡；初中生

統計教育有其自身的發展歷史，在20世紀初的大學中，已出現了相對正式的統計課程，并在之后的幾十年里逐步滲入中等教育.近年來，統計教育在世界各國的基礎教育中均不斷受到重視.在我國，數據分析素養在2017年被列為高中數學核心素養之一，數據分析觀念于2022年在義務教育階段數學課程中從核心詞轉變為“數據意識”“數據觀念”兩大分屬于小學和初中的學段核心素養.培養學科核心素養，可以說是當前中小學數學教學的重要目標，而學科思維作為核心素養結構中的最高一層［1］，統計思維是統計課程的靈魂.

本研究通過揭示統計思維在統計實踐中的表現，對統計實踐的六個基本要素分別構建學習軌跡，刻畫初中生統計思維發展的可能路徑，以期為教師依據學生統計思維的發展安排教學提供啟示.

1? 統計思維：統計實踐中的考察

盡管統計學在世界各國的中小學中幾乎都是被作為數學課程的一部分來教授的，但是在學科門類的劃分中，統計學具有其獨立性［2］.統計思維既與數學思維不同，又需要數學思維的介入，還需要其他非數學的技能，比如計算思維.統計學是關于從數據中學習的科學，其目的在于圍繞不確定性進行度量、控制、溝通.不確定性，因統計學中所說的“變異”而產生，變異正是統計思維所面對、需處理的核心要素，也是最能體現統計思維獨特性的地方.Snee［3］將統計思維定義為一種思維過程，是能夠認識到變化就圍繞在我們周圍，而且也出現在我們所做的每一件事情中，所有工作都是一系列相互關聯的過程，而識別、表征、量化、控制和減少變化則提供了改進的機會.Moore［4］稱統計思維是一種關于數據、變異和機會的一般的、基本的、獨立的推理模式.這些定義均關注到了統計思維對變異的處理.

總的來說，已有研究對學習者統計思維的刻畫大致表現為兩個層面：統計過程和方法本身；運用統計解釋現象和解決問題［5］.譬如，Mooney［6］從統計認知角度將統計思維分為四個維度：描述數據、組織數據、表征數據、分析和解釋數據.類似的，Reading［7］建立的中學生統計思維框架包括一般方面、數據收集、數據制表和表征、數據縮減、解釋與推斷.這兩個框架偏向于關注數據處理過程，相較于“運用統計解釋現象和解決問題”的層面，對統計思維的刻畫要窄一些.但是，不可否認的是，這樣的發展框架確也在統計實踐中考察了統計思維.指向運用統計解決問題的統計實踐，囊括了統計過程與方法之義，真正體現了統計學作為一門方法論學科的要義.

各種描述統計實踐的框架表明了統計實踐涉及完整的調查，即提出問題、收集數據、分析數據和解釋結果［8］107.Wild和Pfannkuch［9］基于從提出問題到獲得結論的統計問題解決過程的角度，通過文獻整理，以及對統計學專業學生和實踐統計學家的訪談，為統計思維確立了一個包含四個維度的框架，為理解統計實踐中的統計思維提供了較為全面的參考.其中，統計調查循環（PPDAC模型）描述了進行統計調查的行為，“問題—計劃—數據—分析—結論”的五環節似乎與一般的問題解決過程類似（參見圖1），只是將“數據”作為問題解決的核心，這說明統計調查需要將問題解決的早期階段（即對問題的理解、定義和解決方案的制定等）與后期階段（即數據整理、分析等）一視同仁，因為實際的統計教育中可能已經出現了對早期階段的忽視，而這卻是統計學家們頗為感興趣的部分.同時，注意到“循環”意味著一個問題的解決并不意味著終止，其可能觸發另一個問題或另一種重新定義問題進而重新規劃解決方案的路徑，即使是在一個循環內的各個環節間，也可能需要頻繁的回溯.Wild和Pfannkuch在其他三個維度上的分析，還提出了作為統計思維之基礎的思維體現出的對數據、變異、模型、背景的理解；在統計問題解決中不斷運作著的詢問循環；以及質疑、探索、開放、堅持等統計學習者的良好品質.這些觀點所表明的統計思維的特點都會在一個統計調查循環中得以體現.

統計思維正是在這樣一個完整的統計實踐中表現出來的復雜活動.結合已有框架對統計實踐所涉及的統計問題解決過程的描述，借鑒PPDAC模型的結構（即其五個環節），將“統計問題”“數據收集”“數據整理與表征”“數據分析與解釋”“統計判斷與決策”視為統計實踐的五個基本要素，同時也是統計學習者需要深入理解的五個學習主題.此外，由于“變異”是統計思維的核心要素，是在整個統計實踐過程中都需要考慮的因素［10］，所以認為統計實踐還有第六個基本要素，可稱之為“隨機性”，它既有“變異”之義，也包括作為統計學之基礎的概率論.

2? 學習軌跡：統計思維發展的刻畫

統計思維頗為復雜，卻也能借助統計實踐而表現并逐步提升.通過了解學習者統計思維發展的路徑，把握其發展的階段性特征與層級性變化，有助于實現教學的連貫性、一致性與層次性.鑒于統計思維發展的復雜性和長期性，本研究認為，學習軌跡的研究是刻畫學習者統計思維發展的一個可行思路.同時，學習軌跡將學習者表現可視化、可測化，也具有評價作用，對其研究可以促進教學評的一致性.

“學習軌跡”（Learning Trajectory）最初是由Simon用來表示關于教師對學習的可能路徑的預測，由確定方向的學習目標、學習活動，以及假設的學習過程三部分組成，而隨著課堂活動的實際展開，假設的學習軌跡將得到修改以適應現實［11］.許多研究者還使用“學習進階”（Learning Progression）一詞，其源于美國科學教育領域，美國國家研究理事會（National Research Council）將其定義為“隨著兒童在一個較大的時間跨度內對一個主題的學習和探究，對其連續且復雜的思維發展所進行的描述”，同時，若要產生這種變化，那么將依賴于教學實踐［12］.在科學教育研究中通常認為，學習進階比學習軌跡更上位，學習軌跡構成了學習進階［13］，不過兩者在本質上可認為具有一致性.學習軌跡更常出現于數學教育研究中，它是對兒童（或學習者）在特定數學領域中的思維和學習的描述，以及通過一組設計的教學任務來產生假設的心理過程或行為的相關推測路徑，從而推動其思維水平的發展，進而支持其在數學領域實現特定目標［14］.

在數學學習軌跡研究常見的七類研究視角［15］中，本研究傾向于在統計思維研究中選擇以逐級復雜的認知類型為依據的“認知水平”視角與整合了學習和教學支持的“假設學習軌跡”視角，選擇前者是因為統計思維是學習者基于對統計觀念的認知而產生的，選擇后者則是想在研究學習者的同時更好地與教學相結合.實際上，學習心理研究領域中Piaget和Inhelder［16］對兒童概率認知發展的階段劃分，以及Mooney［6］的初中生統計思維框架（middle school students statistical thinking，簡稱M3ST）和Reading［7］的中學生統計理解框架等統計思維測評框架、Jones等人［17］的概率思維框架、李?。?8］對小學至高中學生建立的認知概率思維的發展框架，等等，都是建立在實證研究基礎上構建的發展框架，是學習軌跡研究的重要參考.

根據Simon［8］297關于學習軌跡的開創性研究，統計學習軌跡的建構要逐步考慮其學習目標、學習進程、學習活動.如圖2所示，學習目標的確定是首要的，其中，具有高度遷移性和持久度的“大觀念”（與大概念、大思想同義）有利于學習者的可持續發展.對統計學中大觀念的界定以國外研究居多［19-22］，盡管尚無定論，但基本都囊括了統計學中諸如數據、變異、分布、關聯、推理等重要思想，并且它們幾乎都會涉及完整的統計實踐過程.鑒于大觀念也可以被表示為幾個主題［23］，本研究將前述的統計實踐的六個構成要素（也是學習主題）作為統計學的大觀念，而完整的統計實踐實質上就成為了一個統計教育的大觀念群.接著，是對學生在某一主題的目標內容上思維和學習發展的可能過程做出假設，這需要考慮多個方面：學生的先前經驗與知識、已有相關研究對學生或教學狀況的揭示、對學習目標中所含概念和相關大觀念的分析，等等.在對以上內容有了較清晰的理解后，就可以進一步規劃學習活動，此時，教師的能動性將發揮很大作用.教師本身對統計學科的掌握程度、對統計教與學的相關理論的理解，都會影響活動的設計.最后，對學生知識和思維的評估不僅是對是否達成學習目標的檢驗，也為學習軌跡的修正提供反饋，并幫助教師不斷補充關于學科本身、學生學習和教學相關的信息.

圖2? 統計學習軌跡和需要的資源

3? 初中生統計思維的發展：“隨機性”的學習軌跡的建構

本研究提出的統計實踐的六個基本要素契合了初中“統計”“概率”的內容，可以作為初中統計學習的主題.下面結合初中“統計與概率”領域的具體內容，先解釋這六個學習主題作為目標的內涵，再分別從發展水平、發展進程、學習內容、學習活動等四個方面建構學習軌跡表本文先呈現“隨機性”的學習軌跡，其余五個主題的學習軌跡將在后續文章《初中生統計思維的發展（下）》中展開，此安排是為了保留統計活動五個環節的完整性.，以刻畫初中生統計思維發展的可能路徑，而其總體學習路徑可以看作是遵循從“統計問題”到“統計判斷與決策”的大致順序，但時而也會相互穿插進行，“隨機性”始終貫穿其中.

生活中隨處可見的隨機事件為兒童理解概率知識奠定了基礎，但是概率的正式知識和一些復雜問題對學生來說仍然需要漫長的發展與完善過程.研究認為，對隨機性的認識存在由點分布認知（隨機事件）到一維分布認知，再到二維分布認知這樣的點、線、面三個層次，初中生的點分布認知已經發展到較高水平且比較穩定，而后兩種認知還處于較低水平，尤其是一維分布認知可能隨著概率知識的增加反而讓學生更傾向于尋找相對確定的規律而減弱了隨機性直覺［24］.就具體的概率概念而言，張增杰等人［25］曾將兒童對概率的認識粗略地分為認識事件的可能性和隨機分布、認識可能性的相對大小、以數量表示概率等三個階段，并進一步認為，第一階段可能存在了解事件可能性卻不承認客體分布具有隨機性的情況，第三階段則會出現用具體數量（m次中有n次）或百分數（大量重復條件下的概括）來表示概率的兩種情況，所以這種發展過程又可細化為“理解事件的可能性

SymbolnB@ 客體的隨機分布

SymbolnB@ 隨機分布下的機遇的相對大小

SymbolnB@ 以具體數量表示機遇大小

SymbolnB@ 概括出機遇在總體中的比率”.鞏子坤等人［26］的研究建構了“認知隨機性

SymbolnB@ 模糊認知

SymbolnB@ 數量化

SymbolnB@ 認知隨機分布

SymbolnB@ 分數表示”的發展路徑，與張增杰等的研究結論基本一致，但是他們路徑中的模糊認知和數量化被認為是沒有本質區別的，即使數量有精確化趨勢也僅限于區間值，“認知隨機分布”在這里主要強調了涉及排列組合的樣本空間概念，這是在前者研究中沒有特別提出的.

據此，本研究根據張增杰等人研究最初確定的三個發展階段，并將最后一個階段再細化為兩階段，共得到四個水平.“以數量表示概率”這一階段與鞏子坤等人研究中的“認知隨機分布”和“分數表示”相對應，但是這兩點所指的樣本空間和概率的分數表示可以看作是概率學習的兩個方面，所以本研究并不將其單純作為遞進關系處理，而是以樣本空間的復雜程度（是否為多步試驗）來劃分發展層次，并在兩個層次中同時關注樣本空間和概率的量化.結合Jones等人的研究［17］，并考慮統計活動中對概率的直觀感知（即不確定性），表1所示的學習軌跡是從事件概率和樣本空間兩方面構建.具體而言，水平1上的學生是從生活經驗感知中學會了區分確定性與不確定性，統計實踐中對變異的感知也能幫助學生了解這一點，但是在可能性大小的描述上還處于定性階段，甚至認為機會不可量化和預測，樣本空間的概念也非常模糊.此時可以安排一個學習過渡，先讓學生按照事件發生的頻繁程度在一個0至1的區間上排序，或通過重復試驗記錄頻數和頻率來引入對概率的定量描述［27］.即使學生還沒有獲得正式的概率概念和樣本空間概念，但他們其實已經有了非正式的接觸（水平2）.為了達到正式量化的水平，學生需要學習概率的頻率定義，進而能夠掌握概率模型，但是此時仍以一步試驗為主.在最高水平上，通過學習樹狀圖、列表等方法，學生可以具備系統列舉多步試驗結果的能力，從而解決較復雜的概率問題.同時，還期望學生能合理地解釋各種情境中的概率，能重視試驗方法，并應用概率進行估計或預測.此外，在發展進程中還需要注意糾正概率錯誤觀念，譬如，對概率意義理解上的機會不可量化及預測、預言結果法等錯誤，以及多步試驗中可能出現的簡單復合法、等可能偏見等錯誤.

學習軌跡的建構是一個假設與驗證、理論與實踐不斷交替、逐步完善的過程.本研究基于已有研究成果和現行課程內容，對初中生統計思維的發展做了相對完整的路徑假設，自有其學理性，但有待進一步的實踐驗證.尤其是不同學習主題之間的交織作用十分復雜且因人而異，這也是本研究分主題建構而并未提供整體學習軌跡的原因.

與此同時，盡管本研究描述的是初中生統計思維的發展，但某些水平的表現可能具有一般性，這便意味著，部分發展進程的描述也適用于其他教育階段中的統計學習者，只是學習者會因學習內容的不同而多次經歷類似的發展過程.（未完待續.后續請見2024年8月刊《初中生統計思維的發展（下）》.）

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作者簡介? 潘禹辰（1998—），女，江蘇蘇州人，博士研究生;主要從事數學教育研究.

徐文彬（1966—），男，安徽宣城人，教授，博士生導師;主要從事數學課程與教學論研究.