基于教材建模型 強化思維顯本質

尹偉 孔祥騫

【摘? 要】? 初中數學學業水平考試命題依據義務教育數學課程標準，圍繞教材中的基本圖形和探究題展開，將線段、三角形、平行四邊形、一次函數、二次函數等核心知識有機結合，立足教材、基于經驗、重視探究、拓展思維、誘發思考、強化運算、指向素養，實現以考促評、以評引教、以教導學，充分發揮數學學科育人功能．

【關鍵詞】

立足教材；關注本質；數學思維；核心素養

試題的命制與評價應依據學業質量標準和課程內容，注重對學生核心素養的考查，綜合考量學生的思維習慣與數學水平，以評促學，充分發揮數學學科的育人價值，引領學生帶著飽滿的熱情投入數學知識的學習與探究中［1］．線段、三角形、平行四邊形、拋物線等圖形是初中數學教材中常見的圖形，將這些基本圖形組合在一起，整體把握圖形間的聯系，可以綜合考查學生運用基礎知識和基本技能分析、解決問題的能力．2023年山東省濟寧卷第22題的設計立足教材、把握基礎，旨在挖掘數學知識的內在聯系，突出數學內容的結構性、整體性、一致性，讓學生親身經歷圖形的變換，從運動的視角尋求變化過程中一般到特殊的規律，探索圖形之間的聯系用以解決問題，考查學生的抽象能力、運算能力、幾何直觀、推理能力、模型觀念、應用意識、創新意識等核心素養，同時引領教師立足發展學生核心素養實施數學教學．

1? 真題呈現

如圖1，直線y=-x+4交x軸于點B，交y軸于點C，對稱軸為x=32的拋物線經過B，C兩點，交x軸負半軸于點A．P為拋物線上一動點，點P的橫坐標為m，過點P作x軸的平行線交拋物線于另一點M，作x軸的垂線PN，垂足為N，直線MN交y軸于點D．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若0＜m＜32，當m為何值時，四邊形CDNP是平行四邊形？

（3）若m＜32，設直線MN交直線BC于點E，是否存在這樣的m值，使MN=2ME？若存在，求出此時m的值；若不存在，請說明理由．

圖1??????? 備用圖

2? 試題簡析

（1）y=-x2+3x+4．

（2）如圖2，由題意知PN∥CD，所以當PC∥MN時，四邊形CDNP是平行四邊形．

過點P作PG⊥y軸，垂足為G．易知∠PCG=∠NDO=∠PNM，∠PGC=∠MPN=90°，故得△PCG∽△MNP，所以PGMP=GCPN．設點P坐標為（m，-m2+3m+4），則M（3-m，-m2+3m+4）．所以PG=m，MP=3-m-m=3-2m，PN=-m2+3m+4，GC=GO-OC=-m2+3m+4-4=-m2+3m，

所以m3-2m=-m2+3m-m2+3m+4，

解得m1=6-213，m2=6+213>32（舍）．

故當m=6-213時，四邊形CDNP是平行四邊形．

（3）存在m=3-52或m=5-1816，MN=2ME．理由如下：

圖2

如圖2，設PN與直線BC的交點為F，過點M作MH∥PN交直線BC于點H．

設點P坐標為（m，-m2+3m+4），則M（3-m，-m2+3m+4），H（3-m，-（3-m）+4），F（m，-m+4）．

①當點E為線段MN的中點時，此時ME=EN． FN=yF-yN=-m+4-0=-m+4，MH=yM-yH=-m2+3m+4-（m+1）=-m2+2m+3．

易證△ENF≌△EMH，所以FN=MH．故-m+4=-m2+2m+3，

化簡得m2-3m+1=0．解得m1=3-52，m2=3+52>32（舍）．

圖3

②如圖3，當點E在線段NM的延長線上時， MN=2ME，此時EMEN=13．

FN=yF-yN=-m+4-0=-m+4，

MH=yH-yM=（m+1）-（-m2+3m+4）=m2-2m-3.

易證△EMH∽△ENF，所以MHNF=EMEN=13．所以m2-2m-3-m+4=13，整理得3m2-5m-13=0，解得m1=5-1816，m2=5+1816>32（舍）．

綜上所述，當m=3-52或m=5-1816時，MN=2ME．

3? 命題過程

3.1? 源起：課本基本圖形和習題

試題的內容素材來源于人教版義務教育教科書數學九年級上冊第39頁的圖形（如圖4）及探究活動（方框內容）．雖然解三元一次方程組是選學內容，但命題組在此基礎上進行了再創造，先求二次函數解析式，設置已知二次函數圖象與y軸的交點，這樣既規避了借助解三元一次方程組求二次函數解析式，將選學內容轉化為課程標準規定的內容，又可以讓學生通過多種思路求解，增強了題目的靈活性、方法的多樣性，實現“不同的人在數學上得到不同的發展”，很好地落實了初中數學學業水平考試試題的評價功能．再引入二次函數圖象上的動點P，引出幾何圖形的構建，然后發現動點P運動導致D，M，N，E運動，此時猜想：①點E是否可以是MN的中點？②P，C，D，N四個點圍成的四邊形可否是平行四邊形？此思路主要是考查運動變化中線段的中點及平行四邊形的存在性，增強題目探究性、創新性，切口小、易入手，利于學生解答．基于此設計命制出壓軸題第一稿．圖4

探究

我們知道，由兩點（兩點的連線不與坐標軸平行）的坐標可以確定一次函數，即可以求出這個一次函數的解析式．對于二次函數，探究下面的問題：

（1）由幾個點的坐標可以確定二次函數？這幾個點應滿足什么條件？

（2）如果一個二次面數的圖象經過（-1，10），（1，4），（2，7）三點，能求出這個二次函數的解析式嗎？如果能，求出這個二次函數的解析式．

圖5

一稿? 如圖5，直線y=-12x+5交x軸于點B，交y軸于點C，經過B，C兩點的拋物線交x軸負半軸于點A，P為拋物線上一動點，過點P作x軸的平行線交拋物線于另一點M，作x軸的垂線PN，垂足為N，交直線BC于點F；直線MN交y軸于點D，交直線BC于點E．已知拋物線的對稱軸為x=4，點P的橫坐標為m（m＜4）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）當m為何值時，E為MN的中點？

（3）是否存在以C，D，P，N四點為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出此時m的值；若不存在，請說明理由．

3.2? 探究：線段中點和平行四邊形的存在性

第（1）題求二次函數的解析式，屬于常規題型，學生能從題干中抓住已知條件進行分析推理，運用待定系數法容易求出二次函數的解析式．具體思路為：由題干知B，C兩點的坐標為B（10，0），C（0，5），根據對稱軸是直線x=4，可以得到點A的坐標為（-2，0），這樣可以從這4個條件中靈活選擇其中的3個條件，設二次函數解析式的不同形式，運用待定系數法即可求解．

第（2）題探究“m為何值時，E為MN的中點？”屬于中等難度，以中點為突破口，添加輔助線構造全等三角形或者三角形的中位線，通過線段的數量關系，運用線段與點坐標之間的關系計算即可得到結論．

第（3）題是平行四邊形的存在性問題，要使“以C，D，P，N四點為頂點的四邊形為平行四邊形”，結合題干給出PN與CD的位置關系“PN∥CD”，只需根據平行四邊形的判定定理“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”或者“兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形”入手即可，即還需滿足PN=CD或者PC∥DN．入口比較直接，先根據四個點的位置進行分類討論，組成的四邊形可能是“四邊形CDNP”或“四邊形CDPN”．根據圖中給出的一種情況進行分析，找出各點之間的聯系，可將線段位置關系轉化成角相等，將線段長度用端點的坐標表示，通過構造相似三角形或者借助直角三角形中銳角三角函數進行計算，進而求解，進一步體現轉化與化歸和數形結合的思想．

3.3? 科學：線段倍分關系漸呈現

通過計算發現，當點P在第四象限時，借助相似三角形的相似，可以得到m滿足的關系式，列出方程進行求解.運用幾何畫板演示發現此時滿足條件的點P是存在的，但反復計算發現當m<0時得到的是關于m的一元三次方程，超出初中學生的計算水平．再次通過幾何畫板演示，改變點P的位置時，發現點P在拋物線對稱軸右側時也存在類似的情形，故第（3）題這樣設計不科學，必須重新設計，以達到課程標準規定的學生認知水平．

于是，將第（3）題探究平行四邊形的存在問題修改為“四邊形CDNP是平行四邊形”，這樣更科學，不需分類討論，同時還降低了難度．為了更加嚴謹，限制點P的運動路徑僅為第一象限內對稱軸左側，即添加條件“0＜m＜4”．這樣難度降低，有利于學生解答，考查學生幾何直觀、推理能力及運算能力等核心素養，于是將“當m為何值時，四邊形CDNP是平行四邊形”調整到第（2）題的位置，這樣就需重新設計第（3）題．

在第一稿第（2）題的基礎上，命題者還是想圍繞點M，N，E的運動尋找突破口進行設計．運用幾何畫板拖動點P發現，M，N，E三點也是動點，運動過程中除了存在點E為線段MN中點的情況，還發現當點E在線段MN外時，可能存在ME=NE或者EM=MN這兩種數量關系，因此，結論“MN=2ME”應運而生．命題者思考在同一直線上線段的數量關系可以借助構造全等三角形或者相似三角形進行研究，整體難度適中，考查學生推理能力、幾何直觀、運算能力及應用意識等核心素養，調整設計方案得到壓軸題第二稿．

圖6

二稿? 如圖6，直線y=-12x+5交x軸于點B，交y軸于點C，經過B，C兩點的拋物線交x軸負半軸于點A，P為拋物線上一動點，過點P作x軸的平行線交拋物線于另一點M，作x軸的垂線PN，垂足為N，交直線BC于點F；直線MN交y軸于點D，交直線BC于點E．已知拋物線的對稱軸為x=4，點P的橫坐標為m（m＜4）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）0＜m＜4時，當m為何值時，四邊形CDNP是平行四邊形？

（3）m＜4時，點P運動的過程中，是否存在MN=2ME？若存在，求出此時m的值；若不存在，請說明理由．

經過反復試做與商討，認為該題對知識點、基本思想方法和核心素養等方面的綜合考查比較明晰，但計算難度與計算量偏大，估計多數學生在有限的時間內很難完成答題，仍需要進一步調整．

3.4? 優化：調整數據簡化計算

命題組反復推敲，嘗試對題干中二次函數與一次函數的解析式進行簡化，旨在繼續降低計算難度，這符合減少繁瑣運算的命題原則．具體改進如下：把一次函數解析式修改為y=-x+4，這樣A，B，C三點的坐標隨之改變，二次函數的解析式也比較簡單，求解后為y=-x2+3x+4．如此以來，此題計算量大大減少，更加貼近學生的總體認知水平，而且可以節省做題時間．這樣修改題干中有關數據后得到本題的第三稿．

三稿? 如圖7，直線y=-x+4交x軸于點B，交y軸于點C，經過B，C兩點的拋物線交x軸負半軸于點A，P為拋物線上一動點，過點P作x軸的平行線交拋物線于另一點M，作x軸的垂線PN，垂足為N，交直線BC于點F；直線MN交y軸于點D，交直線BC于點E．已知拋物線的對稱軸為x=32，點P的橫坐標為m（m＜32）．

圖7??????? 備用圖

（1）求拋物線的解析式；

（2）0＜m＜32，當m為何值時，四邊形CDNP是平行四邊形？

（3）m＜32，點P運動的過程中，是否存在MN=2ME．若存在，求出此時m的值；若不存在，請說明理由．

3.5? 嚴謹：語句嚴謹圖形美觀

試題基本確定之后，命題者再次結合課程標準、課本知識及能力要求進行審核，對試題題干及問題逐字逐句的校對與分析，將“已知拋物線的對稱軸為x=32，點P的橫坐標為m（m＜32）”調整為“對稱軸為x=32的拋物線經過B，C兩點”，將“直線MN交直線BC于點E”這一條件放置到第（3）小題中，這樣題干敘述更加準確、簡潔、嚴謹；對圖形進行美化，修改字母的位置，調整圖形整體布局，使圖形美觀、大方、精確，展現數學圖形的對稱美、簡約美；合理給出圖形中的二次函數及直線BC圖象的長短，增添備用圖，確保學生在二、四象限能夠完整地構造圖形解決問題，彰顯人文關懷．最終形成了2023年濟寧卷第22題（見“真題呈現”）．

4? 特點分析

4.1? 立足學情，兼顧教材核心知識

濟寧市初中學校有五四和六三兩個學制，教材版本不同，命題者多次磋商，反復研討，決定依據課程標準（兼顧2011版），綜合考慮全市學生實際，在確保試卷整體難度相對平穩的前提下，適當提高試題的應用性、探究性、綜合性．基于此，命題者將壓軸題（第22題）設計為代數與幾何的綜合試題，試題以一次函數、二次函數為載體，綜合函數、方程、圖形的變化、平行四邊形的判定、三角形全等與相似、線段的和差倍分等核心知識點，考查學生應用數形結合、分類討論、函數與方程、轉化與化歸等數學思想方法解決問題的能力．

4.2? 注重探究，強化核心素養培育

題目最終為函數類動點與平面幾何相結合的問題，在運動變化中尋求平行四邊形和線段倍分關系的存在性，由一般到特殊，步步為營，滲透了平面幾何與解析幾何的內在聯系，具有較強的探究價值．題目考查學生通過圖形的轉化與再構造，運用三角形全等和相似、線段中點的性質等知識與平面直角坐標系結合解決問題，促進學生用數學的眼光審題、觀察，用數學的思維探究、思考，用數學的語言應用、表達，發展學生的核心素養．

4.3? 動靜結合，揭示數學知識本質

點P為拋物線上的主動點，其余動點為從動點，點P運動導致四邊形CDNP形狀發生改變，也會導致點E與線段MN的位置關系發生變化，多次試驗發現當點P在某一特殊位置時，線段MN和ME存在特殊的數量關系．在解決問題時，可以通過抽離基本圖形，化繁為簡，找出所求線段間的關系，通過構造全等三角形、“A型”或“X型”相似三角形，化斜為直，將所求線段的數量關系轉化為與坐標軸平行的線段之間的數量關系，化繁為簡，步步深入，揭示數學知識的內在聯系．

4.4? 層層遞進，確保試題的效度、信度

本題三個問題從易到難，層層遞進，不僅注重“四基”“四能”考查，更注重素養立意，考查學生思維的深度、廣度．第（1）題求二次函數的解析式的方法靈活多樣，難度比較低，便于學生得分，也是解決本題后兩小題的基礎，具有很好的關聯作用．第（2）題為降低難度，限制了點P的運動路徑，經過分析可以選擇不同的判定方法探究平行四邊形的存在，體現一題多法，易于求解，滿足不同學生的需求．第（3）題綜合性強，計算量大，需要分類討論，既注重了通性通法，也能體現解法的靈活多樣，具有很強的區分度，題目中給出的圖形也具有很強的指引作用，有助于學生分析、思考、操作，利于提升試題的效度．

5? 命題感悟

5.1? 堅持依標靠本，落實學業要求

《義務教育數學課程標準（2022年版）》明確指出：“學業水平考試命題要堅持素養立意，凸顯育人導向；要遵循課標要求，嚴格依標命題．”［2］教材是教學的重要載體，是命題的重要資源.本題以課本中的二次函數圖象為素材，巧妙的融入了線段的倍分關系、平行四邊形、相似三角形等內容，題干簡潔易懂、內涵豐富，立足學情，挖掘教材，創新設計．通過讓學生經歷教材習題的變式過程，幫助學生在遇到綜合性較強的難題時能夠拆解題目，追本溯源，最終得到正確的答案［3］．題目考查函數與方程的簡單綜合運用、平行四邊形的判定，入口較簡單，學生完成起來較容易，落實了學業要求，充分發揮教材的育人功能．

5.2? 立足“四基”“四能”，發展核心素養

命題應關注數學本質，落實考試命題由基于“四基”“四能”到核心素養考查的新課標要求．本題注重對一次函數的性質、二次函數解析式確定、平行四邊形的判定、函數與方程的綜合這些基礎知識的考查，讓學生感覺比較熟悉；第（2）（3）題通過構造相似三角形、全等三角形，借助三角形相似或全等的性質，運用解析幾何策略將幾何問題坐標化，考查學生基本技能；引導學生借助已有數學經驗解決問題，融入轉化與化歸、分類討論和數形結合等數學思想．注重培養學生用運動和變化的眼光發現問題，經歷探究和操作的過程思考問題，用嚴謹的數學語言清晰的表達思維過程和運算結果，發展學生幾何直觀、推理能力、運算能力和創新意識等核心素養．

5.3? 重視問題創新，誘發學生思考

本題作為試卷的壓軸題，探究性強、計算難度大、知識覆蓋面廣．第（3）題“是否存在MN=2ME”是結合學生在課本上初識線段、射線、直線時所學，將這一內容融合到復雜圖形中，基于教材進行創新，讓學生感覺題干與圖形雖似曾相識，但綜合性較強．學生需要綜合運用所學知識進行分析、思考，運用平時積累的數學經驗進行深入探究，可依據圖形發現點E是線段MN的中點這一情形，但是容易忽略點E在線段MN外時的情形，有針對性的考查學生嚴謹、科學的精神．整個試題分步設問，不斷引導學生深度思考，解答方式靈活多樣，以便激發學生的求知欲，挖掘學生的潛能．

5.4? 去繁存簡求真，彰顯選拔功能

在命題過程中需要不斷試做、反思，才能確保試題嚴謹、科學．為落實學業水平考試“一考兩用”的功效，命題者經歷了多次試做、修改、反思、完善．力求每一大題難度呈現有梯度、能力考查有深度、學生得分有區分度、對考生信心關懷有溫度．尤其本題的設計，題干簡捷、清晰、嚴謹，綜合性、邏輯性都很強，對學生推理能力和運算能力要求比較高．第（3）問難度比較大，區分度高，如果學生能發現問題的本質，也就是“M，N，E三動點共線，MN=2ME時”即有點E在線段MN上或在MN外這兩種情況，問題就變得比較清晰．這樣才能有助于學生構造圖形，抽離出相似模型、全等模型，力求簡單、直接，兩種情況雖位置不同，實則殊途同歸，就是轉化為線段NF和MH的關系，那么本題也就相對容易解決，對學生幾何直觀能力要求特別高，具有很強的區分度，彰顯考試的選拔功能．

參考文獻

［1］曹一鳴．新版課程標準解析與教學指導·初中數學：2022年版［M］．北京：北京師范大學出版社，2022：198．

［2］中華人民共和國教育部．義務教育數學課程標準：2022年版［M］．北京：北京師范大學出版社，2022：91．

［3］賴周萍，李佳潔．談課本習題到中考試題的轉變：以反比例函數為例［J］．中學數學，2023（08）：58-59．

作者簡介? 尹偉（1984—），男，山東曲阜人，中學一級教師；主要從事初中數學教學、解題命題、教師成長研究．孔祥騫（1977—），男，山東曲阜人，中小學高級教師，山東省齊魯名師建設工程人選；主要從事數學教育教學研究.一道中考填空題的多維解析與教學啟示基金項目? 2022年安徽省教育科學研究項目“指向邏輯思維生長的初中數學‘圖形與幾何教學實踐研究”（JK22068）;2023年安徽省教育信息技術研究項目“數字化教育視域下初中生幾何直觀核心素養培育的實踐研究”（AH2023016）.