常微分方程中的生物數學模型及其在教學中的應用

摘 要 常微分方程作為數學課程中的一門重要基礎課程，在提高學生綜合素質方面具有舉足輕重的作用。文章基于以學生為中心的教學理念和金課“兩性一度”的建設要求，針對傳統常微分方程教學中存在的問題，以兩種群Lotka-Volterra生態模型和人口預測模型為研究對象，探索了生物數學模型在教學中的具體應用，旨在幫助學生更好地掌握該課程的基礎理論，激發學生對該課程的學習興趣，提高學習效率，并培養學生解決問題的能力。

關鍵詞 常微分方程；教學研究；生物數學模型

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdk.2024.18.030

Bio-Mathematical Models in Ordinary Differential Equations and

Their Application in Teaching

QIN Wenjie， WU Xingxiao， LI Huimin

（School of Mathematics & Computer Science of Yunnan Minzu University， Kunming， Yunnan 650504）

Abstract Ordinary differential equations， as an essential foundational course in mathematics， play a crucial role in enhancing students' overall qualities. This article， based on a student-centered teaching philosophy and the construction requirements of the "two genders， one degree" curriculum， addresses issues in traditional ordinary differential equations teaching. Focusing on two types of mathematical models-the Lotka-Volterra ecological model and a population prediction model - the study explores the specific applications of biological mathematical models in teaching. The aim is to help students better grasp the fundamental theories of the course， stimulate their interest in learning， improve learning efficiency， and cultivate their problem-solving abilities.

Keywords ordinary differential equations; teaching research; Bio-Mathematical Models

1 常微分方程的重要性

2018年，在新時代全國高等學校本科教育工作會議上，教育部提出，對于現代大學生，應有效地增加他們的課業負擔，將一些傳統的水課轉變為金課[1]。自從金課提出以來，各個部門一直在不斷推行并落實這一政策。教育部于2020年11月24日公布了被評為國家級一流本科課程的名單，其中包括了常微分方程這門非常重要的課程。

常微分方程是指只有一個自變量的微分方程。著名數學家塞蒙斯曾說過：“近三個世紀以來，微分方程不僅是分析學的核心，也是高等分析中大多數理論和思想的根源。”[2]常微分方程是數學中與實際應用直接相關的基礎課程，在許多學科領域中都有著極其重要的應用。常微分方程源于生活，同時也應用于生活。許多自然界規律的微觀表示就是微分方程，因此為了更好地將這些規律呈現在人們面前，并解決生活中的實際問題，我們需要深入學習常微分方程的理論知識，并分析不同函數所對應的微分方程的相關性質。

2 生物數學模型引入微分方程教學的必要性

交叉學科是指不同學科之間相互融合而形成的新興學科[3]。它不僅強調對單一領域的研究，還注重培養學生的跨領域思維和建立知識框架結構的能力。國務院學位委員會和教育部于2021年1月正式將交叉學科設立為我國的第14個學科門類，并在同年12月發布的《交叉學科設置與管理辦法》中指出，交叉學科的設置必須堅持高起點和高標準，嚴格把控質量關口。另一方面，習近平總書記多次強調“要下大氣力組建交叉學科群”。發展交叉學科有助于實現不同學科之間的融合與創新，發揮各個學科潛在的優勢，推動科技的發展。

生物數學是近年來興起的交叉學科，是一種利用數學知識和方法來分析解決自然界中復雜問題的學科[4]。至今，生物數學已經逐漸完善，并在生物學、農學、神經學和醫學等各個領域廣泛應用。雖然涉及范圍較廣，但在應對實際問題時，主要方法都是通過建立研究對象的相關數學模型，并對模型加以分析，得出具有參考價值的結論或策略。一個科學合理的數學模型能夠準確反映問題的本質，因此建立模型是至關重要的一步，這需要大量微分方程及其定性理論的相關知識，通過對模型的討論，最終將現實問題轉化為求解微分方程的問題。

針對特定的情況，將微分方程理論知識與生物數學模型結合，能夠將抽象的問題具體化，便于我們直觀地分析問題。對于學生的理論學習，以及對問題中關鍵因素的探索都是有幫助的。

3 生物數學模型在常微分方程教學中的實際應用

為了學生更好地掌握和應用相關理論知識，教師可以在教學過程中引入適當的生物數學模型。

3.1 在概念教學過程中引入生物數學模型

教師可以引入合適的生物數學模型幫助學生深入理解抽象的概念[5]。例如在講解常微分方程的奇點定理和駐定性理論時可以給學生講解文獻[6]中提到的兩種群的Lotka-Volterra模型：

（1）

其中和分別表示在時刻兩種群的數量；和分別表示兩種群的內稟增長率；和分別表示兩種群內部的作用系數；表示物種2對物種1的作用系數；表示物種1對物種2的作用系數。

由（1）式可以引出常微分方程組以及微分方程組駐定性的定義。例如，在（1）中的參數都是與無關的常數，所以是駐定的。同時可以引導學生根據（1）式探究兩種群的Lotka-Volterra競爭、捕食、合作模型。

當兩種群間是競爭關系時，每個種群除了受種內制約因素的限制外，兩種群之間還彼此制約，所以、、和前面的符號都是負的，可得Lotka-Volterra競爭模型：

（2）

同理可得Lotka-Volterra捕食和合作模型。

進一步分析模型（2），通過求解，可知（2）式存在四個平衡點，分別為零平衡點，邊界平衡點和，以及內部平衡點，在此處可引入奇點，并說明奇點在該模型中的實際意義，讓學生更深入地理解奇點。例如表示的是在兩種群的競爭過程中，種群1處于劣勢地位，隨著時間的推移，種群1最終趨于滅亡。

3.2 在定理教學過程中引入生物數學模型

在理論教學中引入生物數學模型，并以提問的方式講解相關的定理知識，最后引導學生用理論知識解決實際問題。例如以（2）式為例引導學生探究兩種群的競爭動態以及兩種群的競爭動態和奇點的關系，從而引出雅可比矩陣、Hurwitz判據和零解穩定性定理。

先向學生介紹雅可比矩陣的定義，并以為例引導學生求解（2）式在平衡點處的雅可比矩陣：

再計算該矩陣的特征方程：

（5）

以此介紹零點穩定性定理和Hurwitz判據。由Hurwitz判據，當

時，有，所以（2）式在處特征方程的根都有負實部，可得奇點是漸進穩定的。

在進行定理教學之前引入合適的數學模型，再對模型進行分析，從而引出需要探究的問題，由此引出定理，再用定理解決需探究的問題，這不僅能讓學生意識到理論知識的實用性，而且可以提高學習效率。

3.3 在解題方法的教學過程中引入生物數學模型

在講解這部分的內容時，教師通常是直接給出相關類型的微分方程，然后對該方程進行求解，這忽略了從實際問題中提取微分方程的過程[7]。這樣的教學方式往往只追求教會學生如何求解現有方程而忽于應用。因此，教師在講解生物數學模型時可結合實例，讓學生認識到解題方法在解決實際問題時的重要性。例如，在講解 “變量分離法”時，可引入馬爾薩斯的人口預測模型

（6）

其中表示時刻的人口總量，表示人口增長率。設時人口為，可解得通解為

（7）

可以看出人口增長速度不斷加快，但人口增長受環境、經濟、醫療等因素影響，導致不是一個常數。

引入Logistic人口模型。假設人口最大容納量為，則

（8）

若時總人口為，則可解得

（9）

由此可知，當時人口的增長速度為零；當時出現負增長。

這不僅能讓學生更好地掌握解題方法，而且可提醒學生知識來源于生活也將應用于生活。

3.4 在知識應用過程中引入生物數學模型

在培養學生解決實際問題能力的過程中，教師可把學生分成幾個小組，提出生活中的實際問題，讓學生以小組為單位建立相應的數學模型并分析，例如傳染病模型可以讓學生仿照人口增長模型進行建模并分析[8]。

學生應用所學知識，分析數學模型并解決實際問題，深入理解現實生活中傳染病相關數據指標所代表的意義，根據官方公布的數據指標科學地觀察傳染病傳播趨勢，增強防控意識，并積極響應國家的號召，這樣可以在教學中自然地融入課程思政理念。

4 結語

本文首先強調了常微分方程的實用性以及國家對該課程的重視。然后，從生物數學模型與微分方程的聯系出發，說明了將生物數學模型引入常微分方程課程教學的必要性。最后，探討了生物數學模型在常微分方程教學中的具體應用。

在教學中引入生物數學模型是踐行“以學生為中心”教學理念的一種體現。在教學中引入適當的生物數學模型，可以讓學生認識到常微分方程來源于生活并應用于生活，意識到學習該課程的重要性。在教學過程中，教師可以利用生物數學模型引導學生以解決實際生活問題為導向，既激發了學生的求知欲，又提高了他們應用所學知識解決問題的能力。將生物數學模型引入課堂中，可以將抽象知識具體化，極大地幫助學生理解和掌握相關知識。

在常微分方程教學中引入生物數學模型的同時，可結合計算機數學軟件的應用，幫助學生在掌握各種理論知識的同時提高解題能力，促進學生全面發展。

*通信作者：李慧敏

基金項目：云南省第三批本科省級一流本科課程“常微分方程”；云南省研究生優質課程“生物數學原理”“高等數理統計”“高等概率論”；國家自然科學基金地區基金“云南生物多樣性與害蟲治理復雜關聯的數學模型研究”（12261104）。

參考文獻

[1] 陳怡靜，劉媧路，張彩貞.高校英語金課建設的現實困境與實踐路徑[J].教育教學論壇，2020（28）：336-337.

[2] 王高雄，周之銘，朱思銘，等.常微分方程（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2020.

[3] 郝婷，郭凱鋒，宋廣林，等.我國農林高校發展新興交叉學科的思考[J].高教學刊，2023，9（14）：17-20，25.

[4] 周玉梅.淺談生物數學的發展及應用[J].課程教育研究，2018（14）：181-182.

[5] 馮濤.淺談生物數學建模方法在常微分方程教學中的應用[J].科技視界，2022，31：105-107.

[6] 楊謙.Lotka-Volterra模型的擴展與應用研究[D].南昌：江西財經大學，2022.

[7] 蒙麗宇，張林，韋瓔，等.基于混合式標準模式和數學核心素養下常微分方程標準的改革[J].大眾標準化，2021（19）：115-11.

[8] 王金妮.數學建模思想在常微分方程教學中的應用[J].中國新通信，2021，23（16）：177-178.