融合學科視角下數學習題的教學研究

2022年4月，教育部正式頒布了《義務教育數學課程標準（2022年版）》，明確指出要將數學與其他學科知識綜合運用，實施有效的數學跨學科學習，使學生形成關聯的知識體系，提高義務教育階段學生的核心素養。目前，數學融合類教學研究過少，因此研究數學教材中融合學科類習題的教學刻不容緩，對北師大版初中二年級數學教材融合學科類習題統計并分類，列舉北師大版教材中的數學融合學科類題目，給出對應分析與教學建議，使初中二年級學生更好地將數學與其他學科靈活地結合起來，感受學科與學科之間的融合，在習題中提升學科融合的意識，發展和提高學生的數學核心素養。

1 問題的提出

學科融合是通過心理學和教育學方法對專業學科知識進行整合、學科內部知識的融合、學科專業知識與中學學科基礎知識的融合、專業理論知識與教育實踐的融合。數學教材中融合學科類習題是指教材中的數學習題與物理、語文、生物等其他學科知識融合，一起解決情境中的真實問題。《義務教育課程標準（2022年版）》（以下簡稱《義務教育新課標》）在核心素養的構成中明確“能夠有意識地運用數學語言表達現實生活與其他學科中事物的性質、關系和規律，并能解釋表達的合理性”。《義務教育新課標》在77頁綜合與實踐中明確“整合數學與其他學科的知識和思想方法，讓學生從數學的角度觀察與分析、思考與表達、解決與闡釋社會生活以及科學技術中遇到的現實問題，感受數學與科學、技術、經濟、金融、地理、藝術等學科領域的融合”。《義務教育新課標》在78頁學業要求中明確“整合數學與其他學科的知識，完成跨學科實踐活動，感悟數學與生活、數學與其他學科的關聯，發展學習能力、實踐能力和創新意識”。2019年12月，世界經合組織在巴黎總部發表的PISA2018中增加“全球勝任力”測試項目，其評估量包含跨文化知識這一要素，要求學生具有跨界性思維。因此，研究數學學科跨界、融合已經成為義務教育階段數學課堂、練習以及課后作業的熱點問題。本文選取北師大版初中二年級數學教材中習題為研究對象，分析在《義務教育新課標》頒布之后，如何將融合學科思想落實到習題教學當中，研究數學教材中數學融合學科類習題在教學中的應用發展刻不容緩。

2 初中數學習題與其他學科融合的原則

初中數學習題與其他學科融合要建立在一定的原則之上。遵循開放性原則、啟發性原則、創新性原則，才能更好地將數學融合學科思想落實到數學習題教學中。

2.1 開放性原則

不是每一道數學習題都涉及學科融合，也不是每一道涉及學科融合類的習題都只涉及一個科目。所以，學科融合習題個數不同，涉及的科目也多樣。涉及學科融合類的習題涉及的方面很多，對于教師和學生查閱資料的途徑和手段也就很多，在數學融合學科類習題的教師講解和學生完成中要遵循開放性原則，選擇適當的方式進行數學融合學科習題教學。

2.2 啟發性原則

在進行數學融合學科類習題教學時，要遵循啟發性原則，引導學生積極主動地聯系其他學科的知識，將生活與其他學科真正融合起來進行教學。比方說，數學應用題中蘊含著物理運動知識、語文文言文翻譯、生物中植物生長知識，引導學生發現其他學科知識與數學知識融合在一起的美妙，激發學生對數學融合學科習題的探究欲望。

2.3 創新性原則

數學包含的知識點很多，它自身的學科特點也決定了學生在學習過程中會遇見很多問題，因此基于融合學科視角下開展數學習題教學，可以幫助學生降低學習難度，幫助學生尋找不同的視角解決數學問題，提高學生對數學知識的掌握，開展融合習題類教學，能夠改變原有的灌輸式習題教學。教師要從學生自身實際情況和融合習題類型及難度出發，開展專題式創新性的教學方式，學生可以積極快樂地掌握融合類知識，并激發解決數學融合類習題的欲望。

3 初中數學融合學科類習題的教學案例

通過對北師大版初中數學二年級教材統計，得到數學融合學科類習題共94道，將其分類為數學與物理、數學與地理、數學與語文、數學與生物、數學與歷史、數學與化學，共六大類。下面將從每類數學融合學科類習題中分析并提出針對性融合學科習題教學的建議（見表1）。

3.1 融合物理知識，巧解數學問題

數學習題融合物理學科知識，需要學生對物理知識及公式有一定程度的掌握和應用，降低學生解決問題的難度，提高學生對數學及物理知識的掌握程度，巧妙地解決數學習題。

本類型題中涉及數學與物理知識，意圖在于聯系初中速度、路程、時間有關的物理知識，通過數學中學習的一元一次方程、二元一次方程組等來解決實際問題。

教學建議：考慮融合學科類型題目所在部分，如在習題部分，所以應在課堂練習或課后作業中進行，遵循融合學科教學的創新性原則，在課堂中進行時可以利用計算機在一體機進行簡單建模并演示。做習題之前教師應向學生明確融合學科類習題的練習，遵循融合學科教學的啟發性原則，啟發學生融合物理知識解決數學問題。讓學生回憶并梳理涉及相應階段物理學科“機械運動”中速度、路程、時間的等相關知識，使學生通過融合學科類習題的練習溝通初中數學與物理知識之間的練習，提高解決真實問題的能力。

3.2 融合語文知識，突破翻譯困難

數學學科融合語文學科的習題大都涉及翻譯知識，這就需要學生掌握和熟記語文文言文中涉及的重點翻譯字詞，以及拓展閱讀范圍，了解數學古書和古人，可以突破數學融合習題涉及的翻譯困難，提高文化素養。

本類型題中涉及數學與語文知識，意圖在于考查初中文言文有關理解的語文知識，并通過數學中應用一元一次方程、二元一次方程組等來解決該問題。首先，數學教師在進行該習題練習和講解前應查閱相關書籍，遵循融合學科的開放性原則，將涉及書籍的背景以及原問題呈現給學生。其次，應讓學生運用學習的語文文言文知識自己嘗試進行翻譯，增加學生課堂主體性的參與。若學生的翻譯大都出現錯誤，數學教師也可與語文教師商議，在語文閱讀課堂中可以帶領學生閱讀書籍知識部分并進行翻譯，增加對數學史的了解。最后，教師呈現標準譯文，并運用對應數學知識解決該數學融合語文學科習題。

教學建議：因為題目所在部分，如在習題部分，遵循融合學科教學的開放性原則，借助網絡或書籍查閱資料，所以應在教師指導的課堂練習或課后作業中進行。利用數學中二元一次方程組等數學知識解決該問題之前，先引導學生利用語文文言文知識進行翻譯，遵循融合學科教學的啟發性和創新性原則，豐富教學方式，注重問題導向，從文言文中的數學問題出發，開展跨學科方式的練習與學習。

3.3 融合地理知識，鞏固學習重點

數學學科融合地理學科，地理學科蘊含的基礎知識及方位感對數學習題教學有較大的幫助。本類型題中涉及數學與地理知識，意圖在于聯系初中一年級上冊經度與緯度等有關的地理知識，通過數學中學習的位置與坐標等來解決該問題。

教學建議：因為該類型題目所在位置，如在習題部分，需要用到世界地圖與中國地圖，所以應在課后作業中進行。做習題之前教師應向學生明確融合學科類習題的練習，讓學生自己回憶并梳理涉及相應階段地理學科“地球的面貌”中經度與緯度以及“認識大洲”中亞洲的等相關知識，學生通過融合學科類習題的練習學習初中二年級數學與初中一年級地理知識，遵循融合學科教學的創新性原則，體會地理與數學密不可分的思想，形成跨學科的應用意識與實踐能力。但有些內容出現需要教師考慮調換位置，如某習題在初中二年級上冊數學教材中出現，在湘教版初中二年級下冊地理教材第五章“中國的地域差異”中才學習到南方地區的相關知識，湘教版初中二年級下冊地理教材中在第七章“認識區域：聯系與差異”中學習長江三角洲區域概況才涉及解決和應用該問題，因此該問題或者該習題提出設置應考慮學生已有的地理知識，遵循學科教學的啟發性原則，教師應進行引導和幫助。

3.4 融合歷史知識，提高文化素養

數學學科融合歷史學科的習題教學涉及數學史的教學，了解數學知識發生、發展的過程，體會數學家鍥而不舍的探索精神，深挖數學習題背后蘊含的理性精神和人文精神。

本類型題目中涉及數學與歷史知識，意圖在于聯系初中歷史教材中秦朝等歷史知識，通過數學中學習的數據分析等知識來解決真實的問題。如部編版初中一年級上冊歷史教材，學生在第三單元“秦漢時期：統一多民族國家的建立和鞏固”的第9課“秦統一中國”和第10課“秦末農民大起義”中學習了秦朝從統一大業到滅亡的歷史過程。聯系數學知識，解決八年級中章節學習的是平均數、中位數與眾數的相關知識。

教學建議：因為該類型題目所在位置，如在復習題部分，并且涉及學生可以回顧復習的歷史知識，所以應將該題目放至課后作業完成。例如，要求學生完成該題目之前應讓學生明確本題目為數學融合歷史學科類習題，遵循融合學科教學的開放性，讓學生有意識去回顧初中一年級歷史第三單元“秦漢時期：統一多民族國家的建立和鞏固”的第9課和第10課，在學生有余力的情況下或歷史復習課堂上，可以讓學生自己建立秦朝從盛到衰的知識框架，以達到完成數學習題的同時也鞏固了歷史知識的目的。并且在部編版初中一年級歷史教材第三單元第9課的“知識拓展”環節也向學生普及了“舉世聞名的秦陵兵馬俑”，在數學課堂中教師就可以提及這部分內容，引導學生課后找出課本梳理秦朝由盛到衰的知識框架，達到融合學科的目的，搭建數學與歷史學科的聯系。但這需要數學教師對歷史教材達到熟悉的程度，也需要數學教師與歷史教師的合作交流，因此想要使此類題目發揮融合學科的作用，需遵循融合學科教學的開放性和創新性原則，也需要豐富各科教師的知識面。如何較好地做到這一點，值得各位一線教師和研究者的進一步思考研究。

3.6 融合生物知識，拓展自然知識

數學學科融合生物學科的習題教學重點在拓展自然常識，在對數學習題教學的同時對所涉及的生物知識進行系統鞏固，增加教學趣味，發現自然之美。

本類型題中涉及數學與生物知識，意圖在于使學生回憶初中一年級綠色植物的生長等相關的生物知識，通過數學中一次函數等相關知識來解決該實際問題。例如，人教版初中一年級上冊生物教材中，在第三單元“生物圈中的綠色植物”中學習了種子植物、裸子植物、被子植物種子的結構及其萌發的環境條件、自身條件、過程，還學習了植株的生長、開花和結果。利用數學知識，在八年級章節學習的是一次函數，來解決此問題。

教學建議：考慮該題目所在位置，如在習題部分，并且涉及初中三年級的化學知識，所以應在課堂練習中進行。進行該習題時，應首先讓學生獨立思考并嘗試解決該數學問題。其次，考慮到此題目涉及初中三年級化學知識，學生還未進行系統性的學習，所以教師在講解習題時應向學生提及在下一年的化學學習中將會學習到溶液的溶解、溶質質量分數等相關知識和計算公式，遵循融合學科教學的啟發性原則，引起初二年級學生對初三年級化學知識的好奇心。在講解完習題之后也可以向學生提出“如果一直向原本的糖水中加糖，加到足夠多時，糖水達到飽和，糖將不會溶解”這種引發學生求知欲的問題，讓學生帶著疑問進入初中三年級化學知識的學習中。當然這也需要數學教師與化學教師的合作配合，在化學教師講授該章節時，可以提及該數學問題，遵循開放性的融合學科教學原則，讓學生對分式的加減法進行簡單回顧。

4 初中數學融合學科類習題的教學建議

根據數學融合學科類習題教學的統計和研究，依次從備課、教學、課后作業三個大環節提出總述的教學建議，這部分教學建議可適用所有數學融合學科類習題教學。

4.1 找出融合學科類習題，增加各個學科知識面

教材中的數學融合學科類例題與習題的數量還是占據一定比例的，所以對教師了解涉及其他學科知識的要求還是比較高的。“備教材”時，教師需要先找出融合學科類習題，遵循開放性原則，閱讀其他學科教材，知道數學融合類別、習題涉及的其他學科的知識位于其他學科教材中的位置，以免在講解時學生對其他學科知識沒有印象，同時促進數學學科走向綜合化；“備學生”時，教師需要知道學生在目前階段是否對涉及的知識有了解，是否需要數學教師進行補充，遵循啟發性原則，將數學融合理念在教案中有所體現。

4.2 借助其他學科知識，提高問題解決效率

在數學融合類習題中會涉及數學與其他學科的知識應用，可以打破不同學科與數學沒有關聯的問題，使學生形成更加完整、更加系統的融合學科知識體系，加強數學融合學科的學習。數學融合學科類習題的教學既能夠梳理該章節的數學知識，也能夠梳理涉及的其他學科的某章節知識，可以將不同學科之間的章節知識通過知識框架建立聯系，提高解決問題的效率。

（1）借助文科知識，將文化素養滲透數學課堂

邏輯性和理性思維是數學學科所要追尋的，感性是語文學科蘊含的，脈絡和規律性是歷史學科遵守的。數學和語文、歷史看似有不可逾越的鴻溝，但實際上兩兩之間，甚至是三者之間存在很多的交集。所以，數學學科應通過語文學科涵養心靈，數學學科應通過歷史學科明晰數學產生和發展的脈絡，以此促進文科與理科真正的融會貫通。

數學教師接受師范教育時不應只對自己所學科目進行了解和研究，應選修語文、歷史、地理等學科，學習基礎知識，擴大知識層面。進入教師工作后，數學教師也不應只專注數學知識和例題、習題的備課，還應該看一些有關歷史、語文、政治、生物等方面的書籍，至少做到在涉及數學融合學科類問題時，能夠明確的解釋出涉及的其他學科的相關內容。

學生在學習數學過程當中，也應把其他學科涉及的知識形成一個整體的脈絡，涉及數學融合學科知識內容時，應明確地知道題目不僅僅單純考查數學知識點，也在考查涉及的其他學科的知識，有融合學科的意識，這樣才能使學生全面發展。

（2）融合理科知識，將邏輯思維貫穿始終

實踐性、嚴謹性、邏輯性是理科學科追尋的，物理、化學、生物學科知識中有很多是需要動手實驗、歸納推理得到的。數學和物、化、生聯系緊密，其嚴謹的邏輯思維貫穿始終。所以，數學學科應與其他理科學科互融互通，促進學生的跨學科素養和數學核心素養的發展，增強學生的思考、動手能力。

數學教師接受師范教育時應對理科科目有貫通的學習，據了解，數學與應用數學、信息與計算科學、統計學都在大二期間開設了大學物理學科的學習，還應按照自身情況選修生物、化學等理科學科，將理性思維貫穿終身，開拓自身視野。進入教師工作后，數學教師也應了解物化生對應階段的教學內容及核心素養，做到遇到數學融合學科習題時，能夠清楚地知道涉及的相關公式和基礎知識，提高教師和學生處理問題的能力。

讓數學融合學習真正在數學習題課堂中真實發生，引導學生建立大單元或融合學科類知識框架，建立數學與其他理科學科之間的知識體系，形成融合學科的數學思維。在數學融合類習題中會涉及數學與其他學科的知識應用，可以打破不同學科與數學沒有關聯的問題使學生形成更加完整、更加系統的融合學科知識體系，加強數學融合學科的學習。

4.3 合理設置課后作業，驅動學生融合探究意識

在課后作業中適當增加習題個數，可以通過恰當地改編習題或適當增加數學融合學科類習題進行，通過在課堂中典型例題與習題的練習增強融合學科的意識。課后作業留有足夠的開放性，學生通過查閱資料對某部分數學知識的產生和由來產生好奇心和探究欲望，遵循數學融合學科習題教學的啟發性原則，加強對有所涉及學科對應部分知識的學習，借助數學融合習題作業引導學生形成數學融合學科的意識，能夠用數學的眼光觀察融合學科題目，一定程度上可以幫助偏科學生找回自信。

通信作者：谷煥春

（作者單位：聊城大學數學科學學院）