以形助思，妙解動態問題

動態問題一直是中考的熱門考點，很多同學難以抓住其中的關鍵條件和時間節點，導致多解、漏解或錯解。下面，我們將借助數軸來幫助大家厘清時間點，尋找解決動態問題的方法。

如圖1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，點P從點B出發，沿BA邊向終點A以每秒1cm的速度運動，同時點Q從點C出發沿C→B→A向終點A以每秒3cm的速度運動，P、Q其中一點到達終點時，另一點隨之停止運動，設運動時間為t秒。解答下列問題：

（1）當Q在BC邊時：

①當t為幾秒時，PQ的長為[22]cm？

②連接AQ，當t為幾秒時，△APQ的面積等于16cm2？

（2）如圖2，以P為圓心，PQ為半徑作⊙P，在整個運動過程中，是否存在這樣的t值，使⊙P正好與△ABD的一邊（或邊所在的直線）相切？若存在，求出t值；若不存在，請說明理由。

第（1）問的兩個問題，雖然難度不大，但是依舊有部分同學答錯：

（1）①當t為2或[145]秒時，PQ的長為[22]cm。

②當t為[23]或8秒時，△APQ的面積等于16cm2。

我們如果審題仔細一點，不難從“P、Q其中一點到達終點時，另一點隨之停止運動”中分析出t的取值范圍是0≤t≤[83]。因此，①應取t=2，②應取t=[23]。

第（2）問的分類情況讓動態過程顯得更為復雜。我們可以找出關鍵時間節點，將它們在數軸上標記出來（如圖3），然后在每個時間范圍內進行討論。

解：（2）①當0≤t≤[83]時，BP=t，BQ=8-3t。在Rt△BPQ中，由勾股定理，得PQ2=BP2+BQ2，PQ2=t2+（8-3t）2。若⊙P與△ABD的邊AD相切，則AP=PQ，即AP2=PQ2。所以（6-t）2=t2+（8-3t）2。解得t1=[6+223]（舍去），t2=[6-223]。

②當[83]＜t≤4時，點Q在AB邊上且在P右邊時，PQ=8-2t。

若⊙P與邊DB相切，如圖4，則∠PKB=90°，PK=PQ=8-2t?！咚倪呅蜛BCD是矩形，∴∠BAD=90°=∠PKB，AD=BC=8?！郆D=[AB2+AD2]=[62+82]=10?！摺螾BK=∠DBA，∴△PBK∽△DBA?！郲PKAD]=[PBBD]，即[8-2t8]=[t10]。解得t=[207]。

若⊙P與邊AD相切，如圖5，則PA=PQ?！?-t=t-（3t-8）。解得t=2。當t=2時，點Q在BC邊上，故舍去。

③當4＜t≤[143]時，點Q在AB邊上，且在點P左側，PQ=2t-8。

若⊙P與邊DB相切，如圖6，PQ=PK。由等積法得[12]BD·PK=[12]BP·AD，所以10×（2t-8）=8t。解得t=[203]（舍去）。

若⊙P與AD相切，當P、Q兩點中的Q點先到A點時，如圖7，此時t=[143]。∴⊙P的半徑為6[-143]=[43]。

綜上，時間為[6-223]或[207]或[143]秒時，⊙P正好與△ABD的一邊（或邊所在的直線）相切。

（作者單位：江蘇省泗陽縣實驗初級中學）