中考熱點題型：“代數推理”考題解析

近幾年，關于代數推理的題型成為熱點。這類題型中包含對有關推理過程的判斷、辨析，一般結合方程、不等式、函數等知識考查。下面，我們結合具體的例子跟同學們一起探討。

例1 （2022·福建）推理是數學的基本思維方式，若推理過程不嚴謹，則推理結果可能產生錯誤。例如，有人聲稱可以證明“任意一個實數都等于0”，并證明如下：

設任意一個實數為x，令x=m，

等式兩邊都乘x，得x2=mx。①

等式兩邊都減m2，得x2-m2=mx-m2。②

等式兩邊分別分解因式，得

（x+m）（x-m）=m（x-m）。③

等式兩邊都除以x-m，得x+m=m。④

等式兩邊都減m，得x=0。⑤

所以任意一個實數都等于0。

以上推理過程中，開始出現錯誤的那一步對應的序號是 。

【解析】本題是圍繞等式變形展開的，所以掌握等式的基本性質是解題的關鍵。等式的基本性質1：等式兩邊同時加（或減）同一個數（或式子），結果仍相等。等式的性質2：等式兩邊乘同一個數，或除以同一個不為0的數，結果仍相等。這道題目中：①依據等式的性質2；②依據等式的性質1；③考查因式分解；④依據等式的性質2，但是忽略了“除以不為0的數”，∵x=m，∴x-m=0，因此不符合等式性質2；⑤依據等式的性質1。

這道題目以數學推理為框架，考查尋找命題證明的錯誤步驟，以讓同學們感受代數推理的嚴謹性和必要性?？此菩骂}，但背后隱藏高頻考點。同學們遇到此類問題，審題是關鍵，當然在平時學習中，對計算過程的科學性和合理性也要有深刻的思考。

例2 （2023·江蘇鹽城）課堂上，老師提出了下面的問題：

已知3a＞b＞0，M=[ab]，N=[a+1b+3]，試比較M與N的大小。

小華：整式的大小比較可采用“作差法”。

老師：比較x2+1與2x-1的大小。

小華：∵（x2+1）-（2x-1）=x2+1-2x+1=（x-1）2+1＞0，

∴x2+1＞2x-1。

老師：分式的大小比較能用“作差法”嗎？

……

（1）請用“作差法”完成老師提出的問題。

（2）比較大小：[2368] [2265]。（填“＞”“=”或“＜”）

【解析】對于比較大小，由整式的作差到分式作差，這是代數推理中常見的類比推理。根據題意，M-N=[ab][-a+1b+3]=[a（b+3）b（b+3）][-b（a+1）b（b+3）]=[ab+3a-ab-bb（b+3）]=[3a-bb（b+3）]?！?a＞b＞0，∴3a-b＞0，b（b+3）＞0?！郲3a-bb（b+3）]＞0?！郙＞N。

在第（2）問中，比較兩個分數的大小。方法一：直接作差，這種方法很明顯計算量大且容易出錯。方法二：借助（1）中的結論，令a=22，b=65，則M=[2265]，N=[2368]，由（1）中結論得到[2368]＜[2265]。類似方法二這樣的“代入”法，就是我們常說的從一般到特殊的演繹推理。

例3 （2022·江蘇南通）已知實數m、n滿足m2+n2=2+mn，則（2m-3n）2+（m+2n）（m-2n）的最大值為（ ）。

A.24 B.[443] C.[163] D.-4

【解析】我們先將式子化簡，（2m-3n）2

+（m+2n）（m-2n）=10-7mn。做到這里，有同學認為可以依據條件中“m2+n2=2+mn”，且等式左邊≥0，得到等式右邊2+mn≥0，所以mn≥-2，即mn的最小值是

-2。不難發現，并未出現這個選項。那么，這個解法有問題嗎？問題出現在哪里？我們不妨反過來推理，若mn=-2，則m2+n2=0，根據平方的非負性，可得m=n=0，顯然與剛才的結論mn=-2矛盾。

對上述推理過程復盤反思，除了要考慮“m2+n2≥0”，還要想到隱含條件“（m+n）2≥0，（m-n）2≥0”。因此，我們可以得到m2+n2=2+mn≥0，（m+n）2=m2+n2+2mn=2+3mn≥0，（m-n）2=m2+n2-2mn=2-mn≥0，即[-23]≤mn≤2。當mn=[-23]時，最大值為[443]。故選B。

（作者單位：江蘇省海安市城南實驗中學）