數形互助，讓解題思路“直觀可見”

幾何直觀主要是指用恰當的圖形表達自己的理解，或用圖形將抽象的問題直觀化，復雜的數量關系清晰化，從而整體把握問題，解決問題。

一、利用圖形（函數圖像）辨別大小

在不少函數問題中，我們如果僅是代入計算，則無法理清數量之間的關系，這時就可以采用數形結合的方法，畫出函數圖像，使結果一目了然。

例1 （2023·江蘇南通）已知一次函數y=x-k，若對于x＜3范圍內任意自變量x的值，其對應的函數值y都小于2k，則k的取值范圍是 。

【解析】∵一次函數y=x-k，

∴y隨x的增大而增大。

∵對于x＜3范圍內任意自變量x的值，其對應的函數值y都小于2k，如圖1，y=x-k（x＜3）圖像均在y=2k（x＜3）的下方，∴3-k≤2k，解得k≥1。故答案為k≥1。

二、借助幾何模型解決問題

數學公式可以通過代數運算得到，代數公式如能借助圖形進行直觀解釋，則可變得形象直觀。

例2 （2023·江蘇徐州）【閱讀理解】如圖2，在矩形ABCD中，若AB=a，BC=b，由勾股定理，得AC2=a2+b2。同理，BD2=a2+b2，故AC2+BD2=2（a2+b2）。

【探究發現】如圖3，四邊形ABCD為平行四邊形，若AB=a，BC=b，則上述結論是否依然成立？請加以判斷，并說明理由。

【拓展提升】如圖4，已知BO為△ABC的一條中線，AB=a，BC=b，AC=c。

求證：BO2=[a2+b22][-c24]。

【嘗試應用】如圖5，在矩形ABCD中，若AB=8，BC=12，點P在邊AD上，則PB2+PC2的最小值為 。

【解析】【探究發現】上述結論依然成立。理由：

如圖6，作AE⊥BC于點E，DF⊥BC，交BC的延長線于點F。

∴∠AEB=∠DFC=90°。

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥DC，且AB=DC。

∴∠ABE=∠DCF。

∴△ABE≌△DCF（AAS）。

∴AE=DF，BE=CF。

在Rt△ACE中，由勾股定理，可得

AC2=AE2+CE2=AE2+（BC-BE）2。①

在Rt△BDF中，由勾股定理，可得BD2=DF2+BF2=DF2+（BC+CF）2=DF2+（BC

+BE）2。②

由①+②，可得AC2+BD2=AE2+DF2+2BC2+2BE2=2AE2+2BC2+2BE2。

在Rt△ABE中，由勾股定理，可得AB2=AE2+BE2。

∴AC2+BD2=2AE2+2BC2+2BE2=2（AE2

+BE2）+2BC2=2AB2+2BC2=2a2+2b2。

【拓展提升】證明：如圖7，延長BO至點E，使BO=OE，連接AE、CE。

∵BO是AC邊上的中線，

∴AO=CO。

∴四邊形ABCE是平行四邊形。

由【探究發現】，得BE2+AC2=2AB2+2BC2。

∵BE=2BO，∴BE2=4BO2。

∵AB=a，BC=b，AC=c，

∴4BO2+c2=2a2+2b2。

∴BO2=[a2+b22][-c24]。

【嘗試應用】如圖8，以PB、PC為一組鄰邊構造平行四邊形PBQC，O為對角線PQ、BC的交點，當OP⊥AD時，OPmin=AB=8，則PQ的最小值為16。

由【探究發現】，得PQ2+BC2=2PB2+2PC2。∴（PB2+PC2）min=[12]（PQ2+BC2）=[12]（162

+122）=200。

故PB2+PC2的最小值為200。

（作者單位：江蘇省海安市城南實驗中學）