重在邏輯分析與推理論證的尺規作圖

近年來，江蘇各地中考試卷中尺規作圖的考查地位不斷提升。本文帶領同學們對2023年江蘇各地中考試卷中的典型尺規作圖考題做一次梳理，分析在這個考點上可能的考查題型。

題型一 考查作法依據

考題1 （2023·江蘇常州）小明按照以下步驟畫線段AB的三等分點：

[畫法 圖形 （1）以A為端點畫一條射線；

（2）用圓規在射線上依次截取3條等長線段AC、CD、DE，連接BE；

（3）過點C、D分別畫BE的平行線，交線段AB于點M、N。

M、N就是線段AB的三等分點。

這一畫圖過程體現的數學依據是（ ）。

A.兩直線平行，同位角相等

B.兩條平行線之間的距離處處相等

C.垂直于同一條直線的兩條直線平行

D.兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例

【解析】本題考查的是平行線分線段成比例性質及基本尺規作圖，掌握基本事實是解題的關鍵。故選D。

題型二 繼續求解

考題2 （2023·江蘇無錫）如圖1，已知∠APB，點M是PB上的一個定點。

（1）尺規作圖：請在圖1中作⊙O，使得⊙O與射線PB相切于點M，同時與PA相切，切點記為N；

（2）在（1）的條件下，若∠APB=60°，PM=3，求所作的⊙O的劣弧[MN]與PM、PN所圍成圖形的面積。

【解析】（1）如圖2，先作∠APB的平分線PQ，再過點M作PB的垂線交PQ于點O，接著過點O作ON⊥PA于點N，然后以點O為圓心，OM為半徑畫圓，則⊙O滿足條件。

（2）先利用切線的性質得到OM⊥PB，ON⊥PN，根據切線長定理得到∠MPO=∠NPO=30°，則∠MON=120°，再利用含30度角的直角三角形三邊的關系計算出OM=[3]，然后根據扇形的面積公式，利用⊙O的劣弧[MN]與PM、PN所圍成圖形的面積=S四邊形PMON-S扇形MON，進行計算，得[33]-π。

題型三 尺規作圖融入真實情境

考題3 （2023·江蘇徐州）兩漢文化看徐州。桐桐在徐州博物館“天工漢玉”展廳參觀時了解到：玉璧、玉環為我國的傳統玉器，通常為正中帶圓孔的扁圓形器物。據《爾雅·釋器》記載：“肉倍好，謂之璧；肉好若一，謂之環。”如圖3，“肉”指邊（陰影部分），“好”指孔，其比例關系見圖示。

（1）若圖3中兩個大圓的直徑相等，則璧與環的“肉”的面積之比為 ；

（2）利用圓規與無刻度的直尺，解決下列問題（保留作圖痕跡，不寫作法）。

①圖4為徐州獅子山楚王墓出土的“雷紋玉環”及其主視圖，試判斷該件玉器的比例關系是否符合“肉好若一”；

②圖5表示一件圓形玉坯，若將其加工成玉璧，且比例關系符合“肉倍好”，請畫出內孔。

【解析】（1）由圖3可知，璧的“肉”的面積為π×（32-12）=8π，環的“肉”的面積為π×（32-1.52）=6.75π，所以它們的面積之比為8π∶6.75π=32∶27。

（2）①作圖如下（圖6），觀察發現，該件玉器比例關系不符合“肉好若一”。

②按照①作出圓的圓心O，如圖7，過圓心畫一條直徑AB，過點A作一條射線，然后以A為圓心，適當長（AC）為半徑畫弧，在射線上依次截取等長線段AC、CD、DE，連接BE，再分別過點C、D作BE的平行線，交AB于點F、G，進而以FG為直徑畫圓，則問題得解。

（作者單位：江蘇省海安市李堡鎮初級中學）