層層推進，撥云見日

勾股定理的應用與尺規作圖都是初中數學中考時的常規考題。勾股定理的應用需要同學們能夠對其有深度理解，建構有效的解題模型；尺規作圖則考查了同學們的理解能力、分析能力與動手操作能力。那么，我們該如何突破這一難點，做到規范答題和規范作圖呢？下面就以2023年江蘇省宿遷市的中考題為例進行分析，以便同學們更好地答題，拿滿分。

例題 （滿分10分）如圖1，在平行四邊形ABCD中，AB=5，AD=[32]，∠A=45°。

（1）求出對角線BD的長；

（2）尺規作圖：將四邊形ABCD沿著經過點A的某條直線翻折，使點B落在CD邊上的點E處，請作出折痕（不寫作法，保留作圖痕跡）。

解：（1）如圖2，連接BD，過點D作DF⊥AB于點F。

因為在平行四邊形ABCD中，AD=[32]，∠A=45°，所以AF=DF=[AD2]=3。

因為AB=5，所以BF=AB-AF=5-3=2。

在Rt△BDF中，∠BFD=90°，DF=3，BF=2，所以BD=[DF2+BF2]=[13]。

（2）如圖3所示，AF即為所求。

【踩點得分提示】從評分標準來看，第（1）題，正確作出對角線BD和△ABD的底邊AB上的高線DF，每作一條線得1分（特別強調：高線DF與底邊AB垂直要標注直角符號）；在Rt△AFD中，由勾股定理求出AF，得1分；根據線段之和減去部分等于另一部分，求出BF=AB-AF=5-3=2，得1分；最后，在Rt△BDF中，根據勾股定理求得BD=[DF2+BF2]=[13]，得1分（本小題計得5分）。第（2）題，以點A為圓心，AB為半徑畫弧，交邊CD于點E，得1分；連接線段BE（或AE），得1分。根據折疊，利用線段垂直平分線（或角平分線）的作法，作出EB的垂直平分線（或∠BAE的角平分線）得3分，缺少弧線扣2分。

扣分點一：第（1）題中，過點D作AB邊上的高構造直角三角形是解決此題的基礎，也是對同學們作輔助線能力的考查，作高時丟掉直角符號說明做題習慣不夠好。同學們還要能根據∠A=45°，判斷出Rt△ADF是一個等腰直角三角形，如果不能從等腰三角形兩腰相等來思考，就很難利用勾股定理求出AF與DF的長度，這是解題的關鍵。審題中，不能將相關聯的知識進行關聯并加以分析，形成緊密的聯系，就很難向著成功行進。

扣分點二：第（1）題中，同學們要能根據線段總長減去部分等于另一部分的知識來求得BF，進而才能根據勾股定理求出Rt△BDF中BD的長度。倘若不能將勾股定理的知識進行遷移，做到舉一反三，我們就難以將BF的長度與Rt△BDF中的各邊關系建立聯系。

扣分點三：部分同學逆向思維欠缺，對折疊性質理解不透。要使點B落在邊CD上，且折痕經過點A，則應有AE=AB，即以點A為圓心，AB長為半徑畫弧，方可找到點E。部分同學對上述知識點掌握不到位，無法確定點E的位置，致使本題無法繼續進行。

扣分點四：部分同學對折疊中涉及線段垂直平分線或角平分線的性質理解不透徹，以及對基本尺規作圖掌握不牢，無法有效作圖。同時，一些同學作圖無痕跡，致使失分。

【點評】在核心素養理念下，數學學習就是要經歷操作探究、觀察發現、理解應用的過程。本題既充分考查了同學們對于作輔助線、勾股定理、折疊性質及線段垂直平分線和角平分線作法的理解，也考查了同學們對知識遷移能力的應用、建模、幾何直觀的認識。因此，我們在平時要注意培養逆向思維、幾何直觀、分析問題和解決問題的能力。

（作者單位：江蘇省泗陽縣實驗初級中學）