聚焦母題拓展 著眼變式探究

如果分析近幾年各地的中考題，不難發現，很多題與教材上的例題、習題有著親密的“血緣關系”。下面，我們以蘇科版數學教材八（下）第95頁的第22題為例，深度挖掘，發揮教材習題的價值，供大家學習時參考。

原題呈現 如圖1，正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，正方形A'B'C'D'的頂點A'與點O重合。將正方形A'B'C'D'繞點A'旋轉，在這個過程中，這兩個正方形的重合部分的面積將會發生變化嗎？證明你的結論。

【解析】四邊形ABCD和A'B'C'D'均為正方形，易證△DOF≌△COE，所以重合部分的面積等于△COD的面積（即正方形ABCD面積的[14]）。

【點評】本題利用正方形的中心對稱性，在正方形旋轉過程中，利用全等三角形將重疊部分的面積轉化為三角形的面積。

變式1 如圖2，一個半徑為a、圓心角為120°的扇形DOE繞正三角形ABC的中心點O旋轉，分別交AB于點P，交AC于點Q，試問重疊部分的面積為定值嗎？

【解析】此變式將原題的正方形改為扇形和正三角形。連接AO、BO，易證△AOQ≌△BOP，所以重合部分的面積等于正三角形ABC面積的[13]。

變式2 如圖1，在此旋轉過程中，試問O、E、C、F四點在同一個圓上嗎？如果存在這個圓，求出圓的面積最小值（正方形ABCD的邊長為a）。

【解析】在整個運動過程中，∠DCB和∠EOF始終等于90°，所以O、E、C、F四點在以EF為直徑的圓上。求圓的面積最小值，也就是求直徑EF的最小值。設CE=x，則CF=a-x，所以EF2=x2+（a-x）2=2x2-2ax+a2=2（x[-12]a）2+[12]a2。所以當x=[12]a時，EF2有最小值，則直徑EF的最小值為[22]a。所以圓的面積最小值為[18]πa2。

變式3 如圖3，在此旋轉過程中，連接EF交OC于點G，試證：OG·AC=BE2+DF2。

【解析】由變式1知，OE=OF，所以∠OEF=45°。所以∠OEF=∠OCE。所以△OEG∽△OCE。所以[OGOE]=[OEOC]。所以OG·OC=OE2。所以OG·AC=2OE2=EF2=CE2+CF2。所以OG·AC=BE2+DF2。

變式4 如圖4，在此旋轉過程中，連接EF、DE，求EF+[2]DE的最小值（正方形ABCD的邊長為a）。

【解析】EF+[2]DE=[2]（[22]EF+DE）=[2]（OE+DE）。通過“將軍飲馬”模型，易求出[2]（OE+DE）=[5]a。

變式5 如圖5，在邊長為4的菱形中，∠ABC=60°，點E、F分別在AB、BC上，∠EOF始終為120°，連接EF交OB于點G，連接AF。下列結論中，正確的有 。

①S四邊形OEBF為定值不變；

②BE+BF的和為定值6；

③EF+[3]AF的最小值是[221]。

【解析】構造全等，求出S四邊形OEBF為定值[33]，即①正確；

若設CF=x，則BF=4-x，BE=2+x，AE=2-x，所以BE+BF=6，即②正確；

由EF+[3]AF=[3]（[33]EF+AF）

=[3]（OF+AF）=[3][（33）2+12]

=[221]，即③正確。

（作者單位：江蘇省泗陽縣實驗初級中學）