探教材之根， 拓思維之源

圖形變換中的旋轉知識是初中數學的學習難點，也是中考中的常考題型。唯有對教材中的典型例、習題進行深度思考，才能逐漸走向知識的本質，才能更好地借助數學模型快速獲得解題方法，形成有效的解題路徑。

原題呈現 ［蘇科版教材七（下）第149頁數學實驗室第2題］畫∠AOB=90°，并畫∠AOB的平分線OC。

（1）把三角尺的直角頂點落在OC的任意一點P上，并使三角尺的兩條直角邊分別與OA、OB垂直，垂足分別為E、F（如圖1）。度量PE、PF的長度，這兩條線段相等嗎？

（2）把三角尺繞點P旋轉，三角尺的兩條直角邊分別交OA、OB于點E、F（如圖2），PE與PF相等嗎？

回頭再看這個問題，大家會覺得非常簡單。兩個問題中的PE和PF都是相等的，證明過程也不難。但是，學好數學需要我們不斷探究并深度思考。這不，數學學習興趣小組的小明和小王兩名同學就不滿足于此。他們將等腰直角三角尺的45°角的頂點與點P重合（如圖3）。小明通過測量發現，當三角尺繞點P旋轉時，PE和PF的長度不一定相等，但是通過進一步研究，發現[PE·PFEF]始終為定值m。若OP=4，你能求出這個定值m嗎？在解決這個問題的時候，我們不能離開原題中的結論。

如圖4，過點P作PQ⊥PE交OB于點Q，由原題（1）可得PQ=PE。

因為∠EPF=∠QPF，所以△EPF≌△QPF。

因為∠POQ=∠FPQ=45°，所以△POQ

∽△FPQ。所以△POQ∽△FPE。所以[POPF]=[PQFE]。

因為PQ=PE，所以m=[PE·PFEF]=PO=4。

探究過程中小王還發現，若OP=[2]x，EF=y，則當且僅當PE=PF時，y有最小值，請你求出這個最小值（用關于x的代數式表示）。

如圖4，過點P作PH⊥OB于點H。

因為PO=[2]x，所以PH=x。由原題（1）可得四邊形OEPQ的面積為x2。

因為EF=FQ=y，所以S四邊形OEPQ=x2=S△PFQ+S四邊形PEOF≤[xy+2xy2]。

所以y≥[2x2x+2x]=（[22]-2）x。

所以，當且僅當PE=PF時，OP⊥EF，此時y最小=（[22]-2）x。

這時，數學王老師在此基礎上又給出了一個問題：

圖5是某兒童玩具的截面圖，底部固定橫板AB=60cm，自由滑塊CD=20cm，C、D兩點始終在以AB為弦的優弧ACB上，用橡皮筋連接AD、BC，AD、BC的延長線交于點E且∠AEB=45°，求四邊形ABCD面積的最大值。

過點E作EH⊥AB，交BA的延長線于點H。

因為四邊形ABCD內接于⊙O，所以△EDC∽△EBA，相似比為[DCAB]=[13]，所以S四邊形ABCD=[89]S△ABE。

因為AB=60cm，由上題可得△ABE邊AB上的高EH≤[AB22-2]=[302]+30 ，所以S四邊形ABCD≤[89]×[12]×60×（[302]+30）=[8002]+800。

（作者單位：江蘇省泗陽縣實驗初級中學）