抓住本質 計算概率

概率是對隨機事件發生的可能性大小的一種度量。概率越大，表明事件發生的可能性越大，但并不能保證事件一定發生。如何知道一個隨機事件發生的概率呢？

一、利用頻率估計概率

在大量重復試驗中，如果重復次數足夠大，隨機事件發生的頻率在某一個常數附近擺動，并趨于穩定，我們把這種現象稱為頻率的穩定性，并且用這個頻率的穩定值作為相關隨機事件的概率。

某種綠豆在相同條件下發芽試驗的結果如下：

[每批粒數

n 發芽的頻數

m 發芽的頻率[mn]

（精確到0.001） 2 2 1.000 5 4 0.800 10 9 0.900 50 44 0.880 100 92 0.920 500 463 0.926 1000 928 0.928 1500 1396 0.931 2000 1866 0.933 3000 2794 0.931 ]

這種綠豆發芽的概率的估計值為 （精確到0.01）。

【解析】隨著試驗次數的增多，綠豆發芽的頻率越來越穩定在0.93左右，所以估計這種綠豆發芽的概率是0.93。

二、利用公式計算概率

如果一個試驗有n個等可能的結果，當其中的m個結果之一出現時，事件A發生，那么事件A發生的概率P（A）=[事件A發生可能出現的結果數所有等可能出現的結果數]=[mn]。因此，

用公式計算一個隨機事件的概率，其前提是這個事件是一個等可能事件，解決問題的關鍵是通過列舉法（如列表、畫樹狀圖等）找到該隨機事件包含的所有等可能出現的結果。關于列舉法，列表、畫樹狀圖是兩種常用的辦法，但并不局限于此，只要能不重復、不遺漏地列出所有可能的結果即可。摸球試驗便是此類問題的典型模型：

不透明的袋子中裝有2個紅球、1個白球，這些球除顏色外無其他差別。

（1）從袋子中隨機摸出1個球，放回并搖勻，再隨機摸出1個球。求兩次摸出的球都是紅球的概率。

（2）從袋子中摸出1個球，如果是紅球，不放回，再隨機摸出1個球；如果是白球，放回并搖勻，再隨機摸出1個球。兩次摸出的球是白球的概率是 。

【解析】（1）列表格或畫樹狀圖分析（過程略，請同學們自己試一試）。由表格或樹狀圖可知：一共有9種等可能的結果，其中兩次摸出的球都是紅球的結果有4種，所以兩次摸出的球都是紅球的概率為[49]。（2）第一次摸出白球的概率為[13]，第二次摸出白球的概率也為[13]，求兩次摸出的球都是白球的概率，可以理解成：第一次取單位“1”的[13]，第二次再取“[13]”的[13]，所以兩次摸出的球都是白球的概率為[13]×[13]=[19]。故答案為[19]。

對于上述第（2）問中，求兩次摸出的球都是白球的概率，很多同學會犯一種錯誤，就是畫樹狀圖或列表解答，發現一共有7種等可能的結果，其中兩次摸出的球都是白球的結果有1種，從而得到答案“兩次摸出的球都是白球的概率為[17]”。這種錯誤產生的原因，是沒有抓住用公式求概率的前提條件，“所含的所有結果必須是等可能的”。

在這個問題中，第一步操作“從3個球中摸出1個球”得到3種結果，這是等可能的；但是在第二步操作中，如果第一次摸到的是紅球，不放回，再隨機摸出1個球，那么第二次摸球的時候袋中有2個球；如果第一次摸到的是白球，放回并搖勻，再隨機摸出1個球，那么第二次摸球的時候袋中有3個球。也就是說，第一次摸球得到的“3種結果”是等可能的，但第二次摸球分別得到“2種結果”“2種結果”“3種結果”，共“7種結果”，不是等可能的。

因此，要得到正確答案，需要將它們轉化成“等可能”的，即將第二次摸球的結果都理解成有“3種等可能的結果”，共有“9種等可能的結果”，其中兩次摸出的球都是白球的結果有1種，從而得到兩次摸出的球都是白球的概率為[19]。

（作者單位：江蘇省常州市武進區湖塘實驗中學）