淺析氣體動力學教學中所缺的數學支撐

摘要：高等數學對學生數學語言、抽象思維、邏輯分析等能力的鍛煉，將直接影響他們后續學習和接受專業課程的難易程度。在工科專業工程教育認證要求下，學生應用數學知識和專業知識解決復雜工程問題的能力有著明確要求。這就必須在專業課的教學中就將專業知識和數學知識深度結合，使學生能夠在授課中學會數學與專業知識的融會貫通，在未來面對具體工程問題能舉一反三。為此，本文以飛行器動力專業基礎課《氣體動力學基礎》的教學為例，調研分析教師授課與學生學習情況，討論了高等數學對專業課教學的支撐作用，并提出了可行的課程改革措施。

關鍵詞：高等數學；航空專業課；OBE教學；高等教育

文獻標識碼：A

一、概述

氣體動力學基礎是飛行器動力工程、航空宇航推進技術、能源動力等專業的非常重要的專業基礎課程［1］，對學生整體的專業素質、系統思維等培養有著至關重要的作用［2］。但是學生普遍感覺這門課程難度大、聽不懂、看不懂［3］，最主要的原因是公式復雜、數學概念多、高等數學應用強，“畏難”情緒逐漸發展為“躺平”和“擺爛”等情況。

作為一門專業基礎課，氣體動力學基礎并非知識有多深奧（通常還會做理論簡化處理），而是該課程是學生首次體會到高等數學融入現代學科中并廣泛、靈活應用［4］。猶如很多本科生在中學時代數學不錯，但進入大學學習時，因高數課程知識跨度大、概念抽象、數學語言晦澀等，導致高數的及格率在高校中普遍不理想。如要真正學好氣體動力學基礎，既要學生高數知識扎實，又要學生具備將具體工程問題抽象理解轉化為數學問題的能力。學生在學習時感覺好不容易邁過一重高山，還要再過一重高山，才能達到可以較好理解的狀態。

一般來說，高等數學屬于學科教育課程，授課對象基本覆蓋了幾乎全部理工科專業學生，其開課院系只能考慮教學內容的普適性［5-7］。但隨著課時減少，高等數學對專業課程的支撐、傳接性將出現不足。有很多學者注意到這種支撐不足，也提出了教學方法、課程體系等方面的改革和探究。為提高學生學習效果，降低學生學習專業課程的難度，本文通過分析調研師生反饋，分析高等數學對氣體動力學的教學支撐作用，并提出課程改革的探索。

二、氣體動力學中的數學知識特征

氣體動力學是為航空航天飛行器的氣動設計、分析和應用提供了理論基礎，其研究對象為空氣。該課程屬于力學學科范疇，與流體力學知識非常接近，而流體運動是無形且難以探究的，其基本理論對應的動力學方程多為非定常、非線性、偏微分方程（組）。從氣體動力學課程內容所包含的數學知識來看，其特征如下：

（一）方程形式復雜

從流動現象出發列出的氣體基本運動方程必然是復雜的。以氣體動力學中流體微團運動分析內容為例，其引入的重要的流體運動分析數學表達可以寫為：

對于剛學完高等數學的學生來說，上述偏微分方程組十分陌生。實際上，偏微分相關知識不在高等數學的教學大綱內容中，而微分方程的矢量運算（特別包含叉乘運算）更是聞所未聞。而在氣體動力學課程中，該方程組推導默認學生能夠理解。兩門課之間的知識儲備存在明顯的斷層。

（二）數理模型抽象

氣體動力學研究對象為空氣無形無相，對其進行受力和運動分析時必然大量依賴于抽象模型。在抽象的物理模型概念上，進一步抽象為數學模型，然后再對其進行理論上的推導、計算等。對初次接觸這類知識的同學來說，猶如先拋出一個空中樓閣，再描繪它的亭臺樓榭，最后還要學生學會對它改造修繕，難度可見一斑。

此外，氣體動力學所建立的微分方程（組）的求解（推導）過程，存在大量的簡化、降維方法，在不同的邊界條件將演化為不同的形式。這對于學生也是一大挑戰，需要較好的數理方程知識。然而，學生從高等數學中獲取的數理方程知識十分有限，以至于基本不能理解部分重要的推導過程。教師在講授相關內容時亦會大幅簡化這些推導過程，僅重點強調最后化簡后的代數方程形式，以免學生畏難心理過重。長此以往，學生養成了“見題套公式”的習慣。而面對具體工程問題的簡化、抽象過程，所需“套用”的公式要根據實際情況調整。如果不能很好理解具體案例的“簡化”思路，解決問題所套用的公式就經常錯誤，學生“應用數學和專業知識解決復雜工程問題”的能力并沒有真正得到培養。

（三）微分思想綜合運用強

氣體動力學是充滿了微分與極限等高等數學思想的課程，從流體微團的“宏觀上無限小，微觀上無限大”開始，就要求學生有比較扎實的微分思想。例如，在推導激波與膨脹波相關方程時，氣流微小的偏轉角dθ就有多重含義，它既是實際氣流運動時變化的具體角度，也是對應速度矢量的比值，還可以是動量方程中的一個變量。通過方程組聯立和變量代換，dθ最終可以寫為多個熱力學參數的微分表達。學生對微分方程的變化推導本就不熟悉，上述靈活運用就更難理解了。

三、學習反饋分析

為了針對上述課程難點制定對應教學調整，筆者對學生進行了問卷調研。回收有效問卷共114人次，其中67人次為正在學習本門課程的同學，47人次為已修完本門課程的同學。

（一）在學同學反饋分析

在學同學尚未有其他專業課程對比，反映了學生初次面對該課程及專業課程學習的最真實感受。調研將反映在調研的67名在學同學中，有28人感覺本門課程非常難，占41.79%；感覺本門課程難的同學為34人，占50.75%；僅有5人次感覺本門課程難度一般。通過問題交叉分析，可以更準確把握課程難點。筆者選擇了“你感覺本門課程學習難度大嗎？（單選）”和“課程難以掌握的內容，你感覺主要困難是什么？（多選）”來交叉分析，結果見圖1。首先，在感覺本門課程非常難的同學中，最大的困難是公式太過復雜，不認真看。該部分同學可能第一步就卡在公式的復雜程度上，看不進、學不進。其次，感覺本門課程難的同學中，最大的難點在于物理概念太抽象，不具體，而公式太過復雜帶來困難為第二位。說明在這個層次的同學，公式能夠看懂理解，但是在對物理概念理解方面遇到了困難，這將導致面對具體工程問題時（或考試遇到新問題時）無從下手，不知如何分析。

（二）已修同學反饋分析

已修完的同學學習到更多的專業課程，能從更多專業課程學習的角度反應課程難度。在調研的47名同學中，有15人感覺本門課程非常難，占31.91%；感覺本門課程難的同學為24人，占51.06%。即在對比了其他專業課后，許多同學仍感覺該課程難度較大。與前面相似，對已修同學作對應問題交叉分析。圖2顯示了課程難度與學習困難點交叉分析。結果表明，同學們認為最難點在于物理概念太抽象，不具體。公式過于復雜困難對于同學們感覺有所弱化。這是因為課程最后解決復雜工程問題依靠的公式都是簡化后的、便于計算的公式，考試時也將復雜公式直接給出，大幅解決了公式復雜帶來的困難（特別降低一部分考試難度）。但物理概念抽象的問題仍較為嚴重，導致學生面對新問題（新題型）時分析能力不足。

圖3顯示了所有調研同學對課程內容的建議情況。其中，在學同學認為課堂要講得更為有趣，提高學習興趣；安排更多計算例題，讓同學們能更好地運用相關公式，掌握例題計算分析技巧。而已修同學則認為課程最重要的是增加更多工程實例。前者主要關注于課堂能否吸引自己，課后作業是否能順利做出；后者在接觸更多的專業課程后將發現本課程是后續專業課的基礎，如何運用本課程知識去分析新的、具體工程問題是難點，故希望能夠安排更多工程實例。

四、課程改革探討

無論OBE教學理念還是工程教育認證要求，學生培養最終是要獲得解決復雜工程問題的能力。課堂上知識的學習是內容，靈活運用知識是目的，采用何種適應性的教學是手段。對于專業基礎課，由數學公式推導到實際工程問題抽象模型，最終到解決工程問題，學生要邁過兩道坎。如何彌補兩者之間的欠缺成為實現該課程教學目的的關鍵。筆者認為可以從數學課、專業課以及線上學習三個方面來努力。

在課程體系方面，可行措施是調整數學課程安排。在“強基礎”的人才培養目標總要求下，適當調整所有工科必需的數學基礎課程是很可行的。大多數工科專業都上高等數學這門課，通常兩個學期學完。然而當前高等數學的課時數和教學內容已經無法滿足部分專業的實際需求。某些高校已經將高等數學進一步拆分為多門細分課程，如微積分、偏微分方程、線性代數、矩陣論等。此外，還應打通學院之間授課壁壘，某些高數教師專門對接某幾個相近學科的數學課程，在課上適當拓展這些專業所需知識，都能對后續專業課學習起到幫助作用。

在專業課程方面，對于這類重要、數學要求較高的課程，應增加專業數學教學內容。以本門課程為例，應在同學進入復雜理論推導章節前，適當安排1～2節專業數學內容，教會同學如何從數學思維上理解問題，消除畏難情緒，掌握簡化復雜公式的能力。在教學中應布置較多工程案例，適當弱化較為艱深的抽象理論，更有利于讓學生掌握“解決工程問題能力”。

此外，還要充分利用好線上網絡資源。利用全國公共教學素質資源庫、慕課、網絡課堂、優質講課視頻等網絡資源，通過視頻、動畫等更直觀的方式在課后進行輔導和參考，可以輔助同學克服課程內容艱深帶來的學習困難。

結語

氣體動力學基礎作為難度較大的專業課程，對學生和教師都有著較高的要求。作為專業基礎課，取得好的教學效果可能需要多方努力。通過數學課程調整、專業課程補充及課后網絡資源運用，可以減弱學生學習困難，弱化學生畏難情緒，提高教學效果和教學質量，更好地完成課程目標。

參考文獻：

［1］余曉京，施永強，楊青真，等.氣體動力學基礎教學反思與實踐［A］.高等工程教育研究，2019增刊Ⅰ：105-107.

［2］李怡慶，徐義華.面向“00后”的氣體動力學教學方法研究［A］.教育教學論壇，2021（21）：157-160.

［3］孫振生，強洪夫，羅雷，等.CFD技術應用于本科生“氣體動力學”的探討［A］.教育教學論壇，2015（18）：156-157.

［4］邱永利.高等數學教學中培養學生數學應用能力的研究［J］.教育教學論壇，2020（05）：289-290.

［5］魏邦有.高等數學教學中學生應用能力的培養方法探析［J］.大學，2021（18）：96-99.

［6］茍敏磷.高等數學教學強化學生數學應用能力培養［J］.山西青年，2020（10）：268+270.

［7］劉春娥，張媛.高等數學思維在土木工程專業探究性學習方式中的應用研究［J］.黑龍江工業學院學報，2020，20（10）：12-15.

基金項目：2021年南昌航空大學校級教改課題（JY21055）

通訊作者：向鑫（1989—），男，苗族，湖南懷化人，博士，講師，飛行器動力工程系副主任，研究方向：葉輪機械氣體設計。