關(guān)于多元函數(shù)微分學(xué)的教學(xué)改革策略及反思

摘要：文章通過(guò)對(duì)多元函數(shù)微分學(xué)知識(shí)體系中所蘊(yùn)含的類比思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想等數(shù)學(xué)思想方法及其中蘊(yùn)含的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖黠L(fēng)、踏實(shí)的態(tài)度、積累的效應(yīng)等做人做事的道理的剖析，提出在多元函數(shù)微分學(xué)的教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法及為人處世的道理，讓學(xué)生在學(xué)到專業(yè)知識(shí)的同時(shí)提高自己分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，感悟數(shù)學(xué)的精髓，通曉天下道理。通過(guò)教學(xué)改革實(shí)踐及反思，從學(xué)生的評(píng)教及上課的態(tài)度等方面可以看出改革后的教學(xué)模式比傳統(tǒng)的教學(xué)模式收到更好的教學(xué)效果，改革后的教學(xué)模式更能刺激學(xué)生學(xué)習(xí)本專業(yè)課程的興趣，更受學(xué)生的歡迎。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)分析；多元函數(shù)微分學(xué)；教學(xué)改革；數(shù)學(xué)思想方法

1 在多元函數(shù)微分學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法［1］

以華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院主編的《數(shù)學(xué)分析》［2-3］教材為例，多元函數(shù)微分學(xué)包括多元函數(shù)的極限與連續(xù)、多元函數(shù)微分學(xué)、隱函數(shù)定理及其應(yīng)用共三章內(nèi)容，是一元函數(shù)微分學(xué)在理論上的推廣。多元函數(shù)微分學(xué)中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，以下結(jié)合課程內(nèi)容列舉說(shuō)明講解策略。

1.1 類比思想［1］

多元函數(shù)的概念、求定義域及某點(diǎn)處函數(shù)值的講解可以類比一元函數(shù)：一元函數(shù)的定義是給定數(shù)集（實(shí)數(shù)集或其子集），若在某一對(duì)應(yīng)法則下，在給定的數(shù)集中每取一個(gè)自變量，都有唯一的因變量與之對(duì)應(yīng)，則稱該對(duì)應(yīng)法則是定義在該數(shù)集上的函數(shù)，記為y=f（x），x∈D，稱x為自變量、y為因變量、D為定義域［2］，函數(shù)的定義域是使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍，函數(shù)值的取值范圍稱為函數(shù)的值域。同理，多元函數(shù)與一元函數(shù)的區(qū)別在于自變量從一個(gè)增加到多個(gè)，所以二元函數(shù)的定義可以類似敘述為：給定平面點(diǎn)集（全平面或其子集），若在某一對(duì)應(yīng)法則下，在給定的平面點(diǎn)集中每取一個(gè)點(diǎn)，都有唯一的實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，則稱該對(duì)應(yīng)法則是定義在該數(shù)集上的二元函數(shù)，記為z=f（x，y），（x，y）∈D，稱（x，y）為自變量、z為因變量、D為定義域［3］，可以看出，二元函數(shù)中的定義域是平面點(diǎn)集，每一個(gè)點(diǎn)表示一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)。二元函數(shù)的值域與一元函數(shù)類是實(shí)數(shù)集或其子集。將自變量從二元推廣到n元也可以用類似的方法定義和講解。

求一元函數(shù)的定義域的原則，例如分母不能為零、偶次被開方數(shù)大于等于零、真數(shù)大于零等在多元函數(shù)中依然成立，只是要注意的是二者的區(qū)別，比如一元函數(shù)求出的定義域是實(shí)數(shù)軸上的點(diǎn)集，二元函數(shù)求出的定義域是平面點(diǎn)集，它是兩個(gè)自變量間的關(guān)系。

二元函數(shù)的極限分為二重極限和累次極限兩種類型，二重極限是平面上的動(dòng)點(diǎn)（x，y）趨近于定點(diǎn)（x，y），是兩個(gè)自變量同時(shí)趨于兩個(gè)定值。x與y分先后次序趨近于x與y的極限稱為為累次極限，根據(jù)x→x與y→y的先后次序不同，累次極限有兩種類型。計(jì)算累次極限的原則是計(jì)算第一個(gè)變量的極限時(shí)，將第二個(gè)變量看成常數(shù)，計(jì)算第二個(gè)變量的極限就是轉(zhuǎn)換成了一元函數(shù)的極限。

討論重極限的存在性也可以類比一元函數(shù)在一點(diǎn)處的極限與單側(cè)極限間的關(guān)系，因?yàn)閤→x只可能有兩種趨向，即分別從左邊和右邊趨近于x，因此一元函數(shù)在一點(diǎn)處存在極限只需要滿足兩個(gè)單側(cè)極限都存在且相等三個(gè)條件。同理，二元函數(shù)重極限存在的充要條件是平面上的動(dòng)點(diǎn)沿所有路徑趨向于定點(diǎn)時(shí)的重極限都存在且相等。因?yàn)槠矫嫔系膭?dòng)點(diǎn)趨近于定點(diǎn)的路徑有無(wú)數(shù)條，讓無(wú)數(shù)條路徑的極限都存在且相等沒(méi)有可行性，但逆向使用就比較容易。于是得到討論重極限的不存在性只需要找到某條路徑，使函數(shù)沿該條路徑的重極限不存在或找兩條路徑，使函數(shù)沿這兩條路徑的重極限存在但不相等即可。再加上重極限與累次極限的關(guān)系，如果兩個(gè)累次極限都存在但不相等，則重極限必不存在，這樣就歸納出考察重極限不存在的三種方法。

二元函數(shù)的連續(xù)性的定義也類似于一元函數(shù)，二元函數(shù)在點(diǎn)（x，y）連續(xù)的充要條件是該函數(shù)在該點(diǎn)的重極限值等于該點(diǎn)的函數(shù)值，同理，稱不連續(xù)點(diǎn)為間斷點(diǎn)。類似于一元函數(shù)，若重極限值存在而該點(diǎn)處的函數(shù)值不存在，稱為可去間斷點(diǎn)。但由于平面上的動(dòng)點(diǎn)趨近于定點(diǎn)的路徑有無(wú)數(shù)條，因此，間斷點(diǎn)的分類就無(wú)法像一元函數(shù)那樣深入討論。

二元函數(shù)可微性定義也可以類比一元函數(shù)微分定義，一元函數(shù)f（x）在點(diǎn)x的可微性的定義［1］：設(shè)函數(shù)f（x）在u（x）有定義，給x改變量Δx，若相應(yīng)的函數(shù)值增量Δy=AΔx+o（Δx），則稱f（x）在x可微，并稱AΔx為函數(shù)在該點(diǎn)的微分，記為dy|=x=AΔx。通過(guò)一元函數(shù)可導(dǎo)與可微的關(guān)系的討論，得出定義中的A=f′（x），再推出Δx=dx，微分公式進(jìn)而改寫為dy|=x=f′（x）dx。這樣一來(lái)，就將微分與導(dǎo)數(shù)建立起了關(guān)系，只要會(huì)計(jì)算導(dǎo)數(shù)，自然就會(huì)計(jì)算微分，微分的運(yùn)算法則也可以根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則順推；類似于連續(xù)性及可導(dǎo)性的討論方法，從點(diǎn)到區(qū)間的理論是，如果函數(shù)在區(qū)間I上每一點(diǎn)都可微，則稱該函數(shù)在該區(qū)間上可微，記為dy=f（x）dx。同理，二元函數(shù)的可微性的定義［2］：設(shè)函數(shù)z=f（x，y）在p有定義，給x、y改變量Δx、Δy，若相應(yīng)的函數(shù)值全增量可以表示成Δz=AΔx+BΔy+o（ρ）（其中ρ=Δx+Δy），則稱該二元函數(shù)該定點(diǎn)處可微，并稱等式中的線性主部為函數(shù)在該點(diǎn)的微分，記為dz|p=AΔx+BΔy，通過(guò)分別假設(shè)Δx及Δy分別為0，可推出A和B分別是函數(shù)在該點(diǎn)關(guān)于x和y的偏導(dǎo)數(shù)，于是，二元函數(shù)在點(diǎn)p的全微分就可以寫成：dz|p=f（x，y）dx+f（x，y）dy，這樣一來(lái)，只要會(huì)計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)，就會(huì)計(jì)算全微分。根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)的極限定義可以看出，二元函數(shù)對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)時(shí)將y看成常數(shù)，對(duì)y求偏導(dǎo)數(shù)時(shí)將x看成常數(shù)，因此只要會(huì)求一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，自然會(huì)求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。當(dāng)然二者之間因?yàn)樽宰兞康脑龆啵匀灰灿袇^(qū)別：一元函數(shù)中可導(dǎo)是可微的充要條件，而二元函數(shù)中可微可以推出可偏導(dǎo)，反之則不成立。上課時(shí)應(yīng)該教學(xué)生用類比的思想方法，順推的理論自然而然，講解的重點(diǎn)應(yīng)該放在二者的不同之處并講清不同的真正原因；空間曲線的切線與法平面方程、曲面的切平面與法線方程的講解也可以類比平面曲線的切線與法線方程。

隱函數(shù)定理及其應(yīng)用中的第一節(jié)中由二元方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式的推導(dǎo)既可以由上冊(cè)中介紹的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)原則推導(dǎo)的隱函數(shù)求導(dǎo)法推導(dǎo)出由偏導(dǎo)數(shù)求隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)的公式，也可以用多元函數(shù)的中值定理證明；有一元隱函數(shù)的求導(dǎo)公式之后，完全可以用類比的思想方法，推導(dǎo)出二元隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)公式及n元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)公式，因此，只要會(huì)求偏導(dǎo)數(shù)，就會(huì)求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)即偏導(dǎo)數(shù)。

1.2 化歸思想［1］

化歸思想在數(shù)學(xué)中無(wú)處不在［4］，它的基本思路就是將一個(gè)新出現(xiàn)的數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成已知的數(shù)學(xué)問(wèn)題，進(jìn)而解決問(wèn)題。利用分子有理化、分母有理化的方法消去零因式的方法、重要極限、無(wú)窮小量乘以有界量等在一元函數(shù)中常用的極限算法在多元函數(shù)中依然適用；在計(jì)算累次極限中中計(jì)算第一個(gè)變量的極限時(shí)，將第二個(gè)變量看成常數(shù)，則可以將問(wèn)題化歸成一元函數(shù)極限的計(jì)算，一元函數(shù)極限的計(jì)算方法此依然適用，計(jì)算第二個(gè)變量的極限時(shí)，將問(wèn)題就真正化歸到一元函數(shù)的極限，偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算與累次極限的計(jì)算算理相通，計(jì)算某個(gè)變量的編導(dǎo)數(shù)時(shí)將其余變量看成常數(shù)，這樣就將新問(wèn)題化歸為一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，一元函數(shù)的所有求導(dǎo)公式及法則在多元函數(shù)中依然適用。

數(shù)形結(jié)合思想也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的一種常用且好用的方法，它通過(guò)圖形將抽象的問(wèn)題具體化，幫助學(xué)生理解抽象的知識(shí)。例如，講到二重極限的存在性的時(shí)候，首先可以類比一元函數(shù)在某點(diǎn)的極限的存在性與其單側(cè)極限的關(guān)系，在講這個(gè)關(guān)系的時(shí)候，一定要在黑板上畫圖輔助講解，通過(guò)圖形學(xué)生很容易理解，x無(wú)限趨近于x只有兩種趨向，即從x左邊或右邊趨近于x，分別稱為函數(shù)y=（x）在點(diǎn)x的左右極限，統(tǒng)稱單側(cè)極限。那既然只有兩種趨向，只要函數(shù)沿這兩種趨向的極限都存在且相等就能確保函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x收斂，而且要滿足三個(gè)條件是完全可以做到的；而二重極限因?yàn)樯婕皟蓚€(gè)自變量，p是平面上的一個(gè)定點(diǎn)，輔助圖形，學(xué)生可以理解平面上的動(dòng)點(diǎn)p趨近于定點(diǎn)p的路徑有無(wú)數(shù)多條，只有當(dāng)動(dòng)點(diǎn)p（x，y）沿任何路徑趨近于定點(diǎn)p的重極限都存在且相等，才能保證重極限存在，但讓無(wú)數(shù)條路徑的極限都存在且相等是做不到的。進(jìn)而引出判斷重極限不存在的條件，即將“無(wú)數(shù)條路徑的極限都存在且相等”否定即可，則只需要找到某條路徑，使函數(shù)沿這條路徑的重極限不存在，或找出兩條路徑，使函數(shù)沿這兩條路徑的重極限存在但不相等，這完全是有可行性的。這其中蘊(yùn)含了換位思考的道理，一條路走不通的時(shí)候不妨換個(gè)方向，反而會(huì)發(fā)現(xiàn)“柳暗花明又一村”。

第十八章中幾何應(yīng)用中平面曲線的切線與法線方程的公式推導(dǎo)，其實(shí)就是第五章中函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)所對(duì)應(yīng)的曲線在該點(diǎn)的切線斜率，只需要將顯函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）換成-F（x，y）F（x，y）就可以推導(dǎo)出公式，空間曲線的切線方程與法平面方程也是通過(guò)化歸思想，割線的極限位置即為切線推導(dǎo)出的。

數(shù)學(xué)分析課程中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，例如極限思想、函數(shù)思想、方程思想等，如何將數(shù)學(xué)思想方法有效滲透到課堂教學(xué)中，是值得課程主講教師去實(shí)踐、反思及改進(jìn)的。“授之以魚，不如授之以漁”，只有學(xué)生學(xué)到了數(shù)學(xué)思想方法，才真正學(xué)到數(shù)學(xué)的精髓，才擁有終身學(xué)習(xí)的能力。

2 在多元函數(shù)微分學(xué)教學(xué)中讓學(xué)生通曉道理并感悟到哲學(xué)思想

2.1 在專業(yè)學(xué)習(xí)中感悟到做人做事的道理［4］

數(shù)學(xué)分析課程中蘊(yùn)含著豐富的做人做事的道理，多元函數(shù)微分學(xué)也一樣，有待于授課教師去深挖，高校專業(yè)課堂教學(xué)的任務(wù)不僅僅是傳授專業(yè)知識(shí)，更重要的是教會(huì)學(xué)生為人處世的道理。例如理論的嚴(yán)謹(jǐn)性就是數(shù)學(xué)分析課程的一大特點(diǎn)，在講解二重極限時(shí)，首先要強(qiáng)調(diào)二元函數(shù)z=f（x，y）在p（x，y）的某領(lǐng)域內(nèi)有定義，這是前提，每次講解一個(gè)定義或定理時(shí)都認(rèn)真分析定義或定理的每一句話的含義及其在定義及定理中的邏輯關(guān)系，在講解例題時(shí)盡量多用板書，將計(jì)算、證明的過(guò)程一步步呈現(xiàn)給學(xué)生并強(qiáng)調(diào)書寫規(guī)范，目的就是培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)及生活態(tài)度。教育學(xué)生在日常生活及學(xué)習(xí)中也要養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度，養(yǎng)成謹(jǐn)言慎行的良好習(xí)慣。在講到多元函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)、復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，一元函數(shù)中的求導(dǎo)公式和法則在多元函數(shù)中依然成立，但多元函數(shù)因?yàn)樽宰兞康脑龆啵珜?dǎo)數(shù)的計(jì)算難度自然更大。如果能學(xué)好一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，則學(xué)習(xí)多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，只需要將注意力集中在與一元函數(shù)的不同上即可，這就說(shuō)明數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)是需要前期的積累的，例如，要學(xué)好多元函數(shù)微分學(xué)，首先必須學(xué)好一元函數(shù)微分學(xué)，這與日常生活中的道理是相通的，想要成功首先必須要為自己設(shè)立一個(gè)大的目標(biāo)，再將大的目標(biāo)分解成一個(gè)個(gè)小目標(biāo)，然后踏踏實(shí)實(shí)地努力，經(jīng)過(guò)不斷的積累，隨著一個(gè)個(gè)小目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)，大目標(biāo)終將會(huì)實(shí)現(xiàn)。當(dāng)講到高階偏導(dǎo)數(shù)只能一階一階地求時(shí)，告知學(xué)生學(xué)習(xí)及生活中做人做事也是這個(gè)道理，必須腳踏實(shí)地、一步一個(gè)腳印地努力。尤其是數(shù)學(xué)專業(yè)課的學(xué)習(xí)，必須要有踏實(shí)的態(tài)度，好成績(jī)的取得不可能一蹴而就。

2.2 在專業(yè)學(xué)習(xí)中感悟到數(shù)學(xué)分析課程蘊(yùn)含的哲學(xué)思想［4］

多元函數(shù)微分學(xué)中還蘊(yùn)含著豐富的哲學(xué)思想，例如二元函數(shù)極限的計(jì)算、偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、全微分的計(jì)算與一元函數(shù)極限、導(dǎo)數(shù)與微分的算理大同小異，“同”是算理相同，一元函數(shù)的極限的算法如重要極限、分子/分母有理化、無(wú)窮小量乘以有界量等、求導(dǎo)公式、求導(dǎo)法則在多元函數(shù)中依然成立。所謂的“異”，根本原因在于函數(shù)自變量的增多導(dǎo)致算理、及微分的定義等與一元函數(shù)有區(qū)別，這就是從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、從特殊到一般、從量變到質(zhì)變的哲學(xué)思想。同理，一元函數(shù)中成立的某些理論在多元函數(shù)中不再成立，例如一元函數(shù)中，可微可導(dǎo)，而二元函數(shù)則是，可微則可偏導(dǎo)但可偏導(dǎo)不一定可微，客觀原因在于可微是與全增量有關(guān)，而可偏導(dǎo)與偏增量有關(guān)。一元函數(shù)中函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)則該函數(shù)在該點(diǎn)處一定連續(xù)，而二元函數(shù)中可偏導(dǎo)與連續(xù)沒(méi)有任何關(guān)系，客觀原因在于偏導(dǎo)數(shù)的定義與偏增量有關(guān)，即只有一個(gè)變量改變，而連續(xù)是重極限值等于該點(diǎn)處的函數(shù)值，是兩個(gè)變量在同時(shí)變換。其中蘊(yùn)含的就是從量變到質(zhì)變的哲學(xué)思想，更多的哲學(xué)思想有待數(shù)學(xué)分析課程的主講教師不斷深挖。

3 教學(xué)反思

數(shù)學(xué)分析課程是數(shù)學(xué)類專業(yè)的學(xué)生進(jìn)入大學(xué)時(shí)接觸到的第一門分析學(xué)［5］，本課程是數(shù)學(xué)類三大基礎(chǔ)課之一，它為學(xué)生許多后繼課的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)，是學(xué)生必須學(xué)好的專業(yè)課。課程的邏輯關(guān)系嚴(yán)密，主講教師可以將知識(shí)分解成不同的模塊［6］：函數(shù)、極限與連續(xù)論、一元函數(shù)微分學(xué)、一元函數(shù)積分學(xué)、級(jí)數(shù)論、多元函數(shù)微分學(xué)、多元函數(shù)積分學(xué)等模塊。多元函數(shù)微分學(xué)是數(shù)學(xué)分析課程的一個(gè)重要的知識(shí)模塊，它以一元函數(shù)微分學(xué)為基礎(chǔ)，同時(shí)又是多元函數(shù)積分學(xué)的基礎(chǔ)，在知識(shí)體系中起到承上啟下的作用。

在多元函數(shù)微分學(xué)的教學(xué)過(guò)程中，如果就知識(shí)講知識(shí)、就理論講理論，由于函數(shù)變量的增加，理論會(huì)變得復(fù)雜，學(xué)生理解起來(lái)比較吃力。有效滲透極限思想、類比思想、化歸思想及數(shù)形結(jié)合思想等數(shù)學(xué)思想方法，并在專業(yè)教學(xué)中教給學(xué)生做人做事的道理，讓學(xué)生感悟到課程中蘊(yùn)含的豐富的哲學(xué)思想，讓學(xué)生感悟到在數(shù)學(xué)分析專業(yè)課堂中不僅能學(xué)到專業(yè)知識(shí)，還能學(xué)會(huì)為人處世的道理，同時(shí)領(lǐng)略到其中蘊(yùn)含的哲學(xué)思想，自然會(huì)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)本課程的興趣。通過(guò)筆者在教學(xué)中的實(shí)踐、反思、問(wèn)卷調(diào)查及學(xué)生的評(píng)教，改革后的教學(xué)方法確實(shí)比傳統(tǒng)的僅限于傳授專業(yè)知識(shí)的方法收到更好的效果，更受學(xué)生歡迎。

數(shù)學(xué)分析課程中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法及哲學(xué)思想不止以上列舉的這些，更多的數(shù)學(xué)思想方法、哲學(xué)思想、做人做事的道理等需要課程主講教師不斷鉆研、實(shí)踐、反思并改進(jìn)，世上無(wú)難事，只怕有心人，如果每一位高校專業(yè)教師都用心、用情去搞教研，專業(yè)課的學(xué)習(xí)就不會(huì)再枯燥和抽象。

參考文獻(xiàn)：

［1］顧泠沅.數(shù)學(xué)思想方法［M］.北京：中央廣播電視出版社，2004.

［2］華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院.《數(shù)學(xué)分析（上冊(cè)）》［M］.高等教育出版社，2019.

［3］華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院.《數(shù)學(xué)分析（下冊(cè)）》［M］.高等教育出版社，2019.

［4］何天榮.數(shù)學(xué)分析課程中導(dǎo)數(shù)單元的教學(xué)實(shí)施及反思改進(jìn)——以麗江師范高等專科學(xué)校數(shù)學(xué)教育專業(yè)為例［J］.教師，2022（05）：36-38.

［5］馬冠忠.師范院校《數(shù)學(xué)分析》課程教學(xué)存在的問(wèn)題與對(duì)策［J］.教育理論與實(shí)踐，2022，42（24）：58-61.

［6］徐輝，楊瓊芬，羅守雙，等.新時(shí)代教育背景下“數(shù)學(xué)分析”課程教學(xué)創(chuàng)新探索［J］.綿陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2022，41（08）：41-47+59.

基金項(xiàng)目：麗江師范高等專科學(xué)校質(zhì)量工程項(xiàng)目——《數(shù)學(xué)分析》課程思政示范課（PX—52156）

作者簡(jiǎn)介：何天榮（1979—），女，漢族，云南香格里拉人，碩士研究生，副教授，主要從事模糊集理論和粗糙集理論及教育教學(xué)論的研究。