基于改進的多元宇宙算法的晶圓生產調度算法

摘要： 針對以最小化最大完工時間為目標的晶圓生產制造系統的調度問題，提出了改進的多元宇宙算法。根據晶圓生產制造系統的特征，構建了一個整數規劃模型。針對原始多元宇宙算法的局限性，分別從使用啟發式規則生成初始種群、重新定義向最優宇宙移動策略和宇宙更新策略三個方面對算法進行改進。將原始多元宇宙算法、遺傳算法、NEH啟發式算法、迭代貪婪算法以及通過不同策略改進的多元宇宙算法進行對比實驗，結果表明，所提方法可以高效地解決晶圓制造過程中的復雜現象。

關鍵詞： 晶圓制造； 多元宇宙算法； 可重入的混合流水車間； 調度算法

中圖分類號： TP18

文獻標志碼： A

文章編號： 1671-6841（2024）06-0077-07

DOI： 10.13705/j.issn.1671-6841.2023063

Wafer Production Scheduling Algorithm Based on Improve Multiverse Algorithm

WANG Yinling1，2， SHI Chunxue1， TIAN Hui1，2， ZHU Xiaoran1，3， CAO Yangjie1， WEI Ronghan1，2，4

（1.School of Cyber Science and Engineering， Zhengzhou University， Zhengzhou 450002， China;

2.Institute of Intelligent Sensing， Zhengzhou University， Zhengzhou 450002，China;

3.Hanwei Electronics Group Corporation， Zhengzhou 450001，China;

4.School of Mechanics and Safety Engineering， Zhengzhou University， Zhengzhou 450001，China）

Abstract： An improved multiverse algorithm was proposed to solve the scheduling problem of wafer manufacturing systems with the aim of minimizing the maximum completion time. An integer programming model was constructed according to the characteristics of the wafer manufacturing system. In view of the limitations of the original multiverse algorithm， the algorithm was improved from three aspects： the use of heuristic rules to generate the initial population， the redefinition of the strategy of moving to the optimal universe and the strategy of updating the universe. Comparative experiments were conducted on the original multiverse algorithm， genetic algorithm， NEH heuristic algorithm， greedy iteration algorithm， and multiverse algorithms improved by different strategies. The results showed that the proposed algorithm could effectively deal with the complex characteristics of wafer manufacturing systems.

Key words： wafer manufacturing; multiverse algorithm; re-entrant hybrid flow shop; scheduling scheme

0 引言

半導體制造系統中最復雜的環節就是晶圓制造。由于晶圓制造系統漫長的重入性制造過程和其內部多種復雜資源，使得該系統成為現代大規模復雜生產系統的典型代表［1-2］。為了解決晶圓制造系統中的調度問題，文獻［3］提出一種可重入的混合流水車間（re-entrant hybrid flow shop， RHFS），它具有重入的本質特征，可以有效地解決復雜的車間調度問題。RHFS的可重入性使其比其他的流水車間和作業車間問題更加復雜，且RHFS已被證明為NP-hard問題［4］。RHFS技術可以提供更高的性能和可靠性［5］，已經被廣泛應用于各種工業設備，尤其在半導體晶圓、印刷電路板和薄膜晶體管液晶顯示器中應用更加廣泛。

近年來，國內外已有很多學者對RHFS問題進行研究，并取得一定的成果。文獻［6］給出一種采用拉格朗日松弛的方法，用于簡化RHFS問題的加權實現周期。文獻［7］給出一種迭代Pareto貪心啟發式算法，用于求解雙目標RHFS問題，以達到最小化最大完工時間和總延誤的目的。文獻［8-9］利用一種新的NEH-IGA方法來解決RHFS問題，可以有效地縮短最大完成時限和總加權完成時間。文獻［10］設計了一種改進的多目標灰狼優化算法，可以縮短RHFS問題的最終完工時間和總拖期時間。文獻［11］提出一種基于Minkowski距離交叉算子的局部搜索的Pareto遺傳算法，解決了具有串行階段的RHFS調度問題。

多元宇宙算法（multi-verse optimizer， MVO）是由Mirjalili等［12］設計的一種基于物理機理的新型智能優化算法，它是通過模擬在白洞、黑洞以及蟲洞中轉移宇宙中的物質而進行設計的。MVO算法擁有自組織和自調整的能力，可以根據調度問題的實際情況來自適應，在可接受的時間內求得高質量的解，近年來被逐漸應用于生產調度問題。文獻［13］使用MVO算法來解決流水車間的劣化效應問題。文獻［14］針對云計算任務調度完成時間的單目標問題，提出了基于改進的MVO算法的云任務調度策略。文獻［15］建立了考慮運行成本和負荷波動的多目標社區綜合能源系統優化調度模型，并提出一種基于Pareto理論的多目標MVO算法求解模型。文獻［16］設計了改進的MVO算法來解決熱軋混合流水車間的多目標調度問題。文獻［17］提出一種耦合橫縱向個體更新策略的改進MVO算法來提高其全局探索和局部開采能力。文獻［3］使用具有學習效應的MVO算法來解決RHFS調度問題，但是算法容易陷入局部收斂，在大規模的生產調度問題中表現不佳。基于此，本文在該算法的基礎上提出一種改進的離散MVO算法，通過對MVO算法的向最優宇宙移動策略、宇宙更新策略等進行改進，使算法更適應大規模問題的求解。

1 問題模型

RHFS問題模型可以描述為：一共有I個待加工工件，每個工件需要經過J個步驟加工處理并重復L次，每個加工步驟有Mj臺機器，在確定某些參數的情況下，需要為工件確定正確的加工順序，并為工件的每個加工步驟選擇合適的加工機器，以實現最小化最大完成時間。RHFS調度示意圖如圖1所示。

在RHFS問題模型中，工件之間的優先級沒有限制，一旦加工步驟開始就不能中斷。為了更好地模擬重復加工的過程，用重入層來描述重復加工，并將重入層設置為L-1層，將Ri設定為工件i在第1層第1個步驟加工之前的釋放時間，以便更準確地模擬出加工過程，從而提高加工效率。

1.1 符號定義

I為工件集合，I={ii=1，2，…，I}，其中：i為工件編號；I為工件總數。J為加工步驟集合，J={j=1，2，…，J}，其中：j為步驟編號；J為步驟總數。L為重入層次集合，L={l=1，2，…，L}，其中：l為重入層次編號；L為總的加工次數。K為時間集合，K={k=1，2，…，K}，其中：k為某時刻；K為計劃考慮的時間范圍。Mj為第j個加工步驟的機器總數；Pi，j，l為第i個工件在第l層第j個步驟所需的加工時間；Tl，j，j+1為加工過程中前后兩個步驟之間工件所需的傳輸時間，當l≠1時，Tl，0，1>0，表示從l-1層的最后一個加工步驟到第l層的第1個加工步驟所需的傳輸時間；Xijlk表示k時刻第i個工件正在第l層的第j個加工步驟上進行加工；Cijl表示第i個工件在第l層的第j個階段的完工時間；Cmax為最大完工時間。

1.2 數學模型

目標函數為

min Cmax。（1）

機器能力約束為

∑Ii=1∑Ll=1Xijlk≤Mj，i∈I，k∈K。（2）

工件加工時間約束為

∑Kk=1Xijlk=Pi，j，l，i∈I，j∈J，l∈L。（3）

加工步驟優先級約束為

Ci，j-1，l+Pi，j，l+Tl，j-1，j≤Ci，j，l，i∈I，j∈J，l∈L。（4）

工件動態到達約束為

Ci，j-1，l-Pi，1，l+1≥Ri，i∈I，j∈J，l∈L。（5）

式（1）表明，本文目標是盡可能地縮小最大完工時間，為了實現這一目標，設定了一系列約束條件；式（2）表示k時刻第j個步驟的機器個數永遠比在l層第j個加工步驟進行加工的工件總個數多或者相等；式（3）表示Pi，j，l為第i個工件在第j個步驟的加工時長；式（4）表示只有在某層的前一階段或前一層的最后階段加工完成，并運輸到該層的下一階段或該層的第1階段后才能開始加工；式（5）表示任何一個工件必須在它到達第1層的第1個步驟之后才能開始加工。

Cijl的取值范圍為

Cijl≥0，i∈I，j∈J，l∈L。（6）

Xijlk的取值范圍為

Xijlk∈{0，1}，i∈I，j∈J，l∈L，k∈K。（7）

2 算法設計與改進

2.1 MVO算法

MVO算法可以分為兩個階段：探測和開采。在第1階段，利用白洞和黑洞的概念來探索搜索空間；而在第2階段，則利用蟲洞來開采搜索空間，以獲取更多的信息。在RHFS調度問題中，一個調度問題的可行解作為一個宇宙，每一個工件作為宇宙中的一個物質，定義每個宇宙適應度值為其膨脹率，適應度函數定義為可行解最大完工時間的倒數。初始化種群公式為

U=x11x21…xd1

x12x22…xd2

x1nx2n…xdn，（8）

其中：d為搜索空間的維度；n為多元宇宙的個數；xji表示第i個宇宙的第j個分量。在每次迭代中，MVO算法會按照宇宙的膨脹率對宇宙種群進行排序，并采用輪盤賭法的方式從中選出一個宇宙作為白洞，與另一個作為黑洞的宇宙進行物質交換，具體公式為

xji=xjk，r1<NI（Ui），

xji，r1≥NI（Ui），（9）

式中：r1為［0，1］間的隨機數；NI（Ui）為第i個宇宙的歸一化膨脹率；xjk為通過輪盤賭法選出的第k個宇宙的第j個分量。宇宙中的物質可以通過白洞/黑洞轉移策略從一個高膨脹率的宇宙（白洞）轉移到一個低膨脹率的宇宙（黑洞），從而實現轉移。因此，宇宙的總體膨脹率將在多次迭代中持續增加。為了改進宇宙自身膨脹率，MVO算法會通過蟲洞將當前最優宇宙的物質傳遞到當前宇宙，具體公式為

xji=Xj+TDR×（（ubj-lbj）×r4+lbj）， r3<0.5，r2<WEP，

Xj-TDR×（（ubj-lbj）×r4+lbj）， r3≥0.5，r2<WEP，

xji，r2≥WEP，（10）

式中：r2，r3，r4均為［0，1］范圍內的隨機數；Xj為當前最優宇宙的第j個分量；ubj和lbj分別代表xji的上界和下界；WEP為蟲洞存在的概率，

WEP=WEPmin+l×（WEPmax-WEPminL），（11）

式中：WEPmin代表WEP的最小值，設定為0.2；WEPmax代表WEP的最大值，設定為1；l為當前迭代次數。

TDR為物體向當前最優宇宙移動的步長，其更新公式為

TDR=1-l1/pL1/p，（12）

式中：p定義了隨迭代次數改變的探測速度。p值越高，局部探測速度越快，用時越短。為了開發準確性，設定p=6。

WEP在迭代過程中線性增大，以在后期進行更多的蟲洞交換，從而加快收斂速度。TDR在迭代過程中非線性減小，減小速率先快后慢。因為在迭代前期選出的最優種群適應度不高，所以開采時要通過一個較大的移動距離來保持宇宙種群的多樣性，避免宇宙種群過早同化。而在迭代后期，最優宇宙具有較高的適應度，需要通過減小移動距離來加快收斂速度。

2.2 改進的離散MVO算法

標準的MVO算法只適合在連續的解空間中尋找較優解問題。基于RHFS調度問題的解空間是離散的，參考文獻［18］中方法將MVO算法離散化，并在此基礎上進行改進，使其更適合于RHFS調度問題。

在原始MVO算法中，主要是通過判斷隨機數r1和膨脹率Ui的大小來決定白洞/黑洞轉移策略。如果r1小于Ui，則用Uk的第j個分量代替Ui的第j個分量，否則不發生改變。但是，RHFS調度問題中每個工件的編號唯一，如果使用原來的轉移策略會使更新之后的解不合法。對于RHFS調度問題，在Ui的第j個分量需要更新時，通過交換Uk的第j個位置的分量和Ui的第j個位置的分量，以保證解的合法性。

在標準的MVO算法中，通過在迭代過程中和最優宇宙進行物質交換，使宇宙種群不斷地向最優宇宙靠近，從而增加算法收斂速度，提高宇宙種群整體的膨脹率。而在原始MVO算法中，這種向最優宇宙移動策略通過將最優宇宙相應位置分量直接加/減一個實數距離來實現。對應于車間調度問題，相當于直接把最優解的第j個加工工件基于工件編號進行移動，由于在車間調度問題中編號只是用于識別工件，連續編號之間的工件并沒有關聯性，所以這種更新策略并不適應于車間調度問題。相比于工件編號，工件所在的加工次序對調度結果的影響更大。同時，基于車間調度的離散性，對向最優宇宙移動策略進行了相應的改進，以確保MVO算法更適用于車間調度問題。改進后的向最優宇宙移動策略公式為

xj+「TDR（（ubj-lbj）r4+lbj）i=xj，r3<0.5，r2<WEP，

xj-「TDR（（ubj-lbj）r4+lbj）i=xj，r3≥0.5，r2<WEP，

xji=xji，r2≥WEP，（13）

如果Ui的分量值更新后超出最大工件編號，則將其置為最大工件編號。在標準的MVO算法進行交換更新時都是對宇宙本身直接進行交換，但是并不能確定當前的更新是否使當前宇宙更優，這會導致在迭代的過程中，宇宙種群不是一直向使最大完工時間變小的方向進行，尋優效率不高。本文借鑒遺傳算法（genetic algorithm，GA）優勝劣汰的思想，在每次迭代時產生一個新的宇宙來保存更新的結果，不對原宇宙進行交換。如果原始種群有200個宇宙，每次迭代經過黑洞/白洞交換策略新產生200個宇宙，經過向最優宇宙移動策略新產生約150個宇宙，最終對所有宇宙進行排序，取makespan較小的前200個宇宙進入下次迭代。宇宙更新策略算法流程如圖2所示。

2.3 使用啟發式算法改進的MVO算法

標準的MVO算法在生成初始宇宙種群時，采用隨機生成的方法。RHFS調度問題規模較大，尋優空間廣泛，因此隨機生成宇宙種群會導致算法效率低下、結果精確度不高等。使用4條啟發式規則（LPT、SPT、FSPT、FLPT）和NEH啟發式算法［19］，加上局部搜索策略以及迭代貪婪算法對初始種群的生成進行改進，提高尋優效率和尋優精度。

2.3.1 啟發式規則

4條啟發式規則中，LPT和SPT按照加工時長進行排序，前者優先處理加工總時長大的任務，后者反之。FSPT和FLPT按照在第1臺機器上的加工時長對任務進行排序，前者在第1臺機器上加工時長越短越先加工，后者反之。基于4條啟發式規則分別生成了4個初始宇宙。

2.3.2 NEH啟發式算法和局部搜索策略組合使用

Nawaz等［19］提出了NEH啟發式算法來解決置換流水車間調度問題。對于流水車間調度問題，基本的NEH啟發式算法不一定能給出最短或者最優的加工序列，但可以在一定程度上保證加工序列的局部最優性。因此，將NEH啟發式算法作為生成初始宇宙種群的方法之一。具體操作步驟如下。

Step1 首先計算各個工件完成加工所需的總加工時長，然后根據計算得到的加工時長，將工件降序排列。

Step2 從Step1中取出前兩個工件，找到一個加工順序，使這兩個工件最大完工時間最小，并保存此順序。

Step3 對于工件i=3，4，…，I，按順序取出在Step1中按加工時長降序排列的第i個工件，把它插入Step2獲得的加工順序的所有可能位置，找到使最大完工時間最小的插入位置，并保存當前加工順序。

Step4 繼續Step3，直到完成Step1得到的加工序列中所有工件的插入，得到使整體最大完工時間最小的工件加工順序。

利用NEH啟發式算法和局部搜索策略組合使用的方式一共生成4個初始宇宙。

2.3.3 迭代貪婪算法

迭代貪婪（iterated greedy， IG）是一種高效的啟發式算法，具有實現簡單、搜索效率高的特點，經常用于流水車間調度問題中。將IG算法作為生成初始宇宙種群的一種方式，其操作步驟如下。

Step1 設定需要取出的工件個數d。

Step2 對于一個初始工件加工順序s0，隨機刪除s0中的n個工件，然后將刪除的工件按刪除的次序進行排列，得到一個刪除工件順序sn，剩余未刪除的工件序列為sr。

Step3 對于sn中的工件i=1，2，…，n，從sn中取出第i個工件，插入sr所有可能的位置，找到可以使優化目標值最小的位置，得到新的sr。

Step4 如果i<d，i=i+1，否則終止操作。

使用IG算法得到了1個初始宇宙。

3 實驗與分析

使用Java語言進行編程，在Intel i5-1035G1 CPU 2.3GHz PC上運行。綜合考慮種群多樣性和計算量等因素，將蟲洞存在的最小概率設置為0.2，最大概率設置為1，種群規模設置為200。在未使用啟發式算法改進MVO算法時，200個初始宇宙都是隨機生成的。在使用啟發式算法改進MVO算法時，191個初始宇宙隨機生成，其余9個初始宇宙，分別由4條啟發式規則生成4個、NEH啟發式算法和局部搜索策略組合使用生成4個以及IG算法生成1個。

在比較使用不同策略改進的MVO算法的最大完工時間時，設置最大迭代次數為1 000。為了方便表示，用MVO_1、MVO_2、MVO_3、和MVO_4分別代表離散的MVO算法、對向最優宇宙移動策略進行改進的MVO算法、使用NEH生成初始種群并對多元MVO算法的更新策略進行改進的MVO算法以及綜合以上所有改進策略形成的算法。實驗數據采用隨機生成的方式。RHFS調度模式假定各個階段都存在著相等數量的同構并行機，為了簡便，設Mj=1，L=2，但是所提算法也可以用于求解這兩個參數等于其他值的情況。工件的釋放、運輸以及各個加工步驟的加工時長分別為在［1，4］、［1，5］、［1，100］范圍內均勻分布的隨機數。根據I的取值來劃分規劃，I的4個取值100、70、50和20分別代表大規模、中規模、小規模以及極小規模問題，J的取值來自集合{40，30，20}。每組{I，J}隨機產生10個實例，以便進行比較和分析，實驗部分一共進行了120個實例的測試。

表1列出了NEH、IG、GA、MVO算法以及改進的MVO算法的實驗結果。其中，平均改進率α=（CMVO_1-CMVO_2）/CMVO_2*100%，平均改進率β=（CMVO_1-CMVO_3）/CMVO_3*100%，平均改進率γ=（CNEH-CMVO_4）/CMVO_4*100%。表中每種規模的結果均為10個實例在相同規模問題中的平均值，以反映其普遍特征。表2列出了極小規模問題中MVO_1算法和NEH啟發式算法的實驗結果。

由表1、表2可得到以下結論：

1） 在極小規模問題中，原始MVO算法的求解效率明顯優于NEH啟發式算法，但是在較大規模問題中，其求解能力卻不及 NEH啟發式算法。因此，原始MVO算法在較大規模問題的求解中并不能發揮出最佳的作用。

2） 對于大規模問題，平均改進率α、β、γ分別為2.9%、10.6%、1.2%。對于小規模問題，α、β、γ分別為2.9%、8.6%、0.8%。使用改進策略的MVO算法的求解能力明顯高于NEH啟發式算法、IG算法以及原始MVO算法。

3） 就整體而言，在大規模問題中原始MVO算法對于目標值的求解能力低于NEH啟發式算法，本文通過使用啟發式算法以及改善MVO算法的更新策略，使MVO算法的求解能力得到明顯提高，MVO算法的使用不再局限于小規模問題。

4） 為了分析本文提出的向最優宇宙移動策略對MVO算法的影響，引入了原始MVO算法（MVO_1）和改進向最優宇宙移動策略的MVO算法（MVO_2）的對比案例，并通過平均改進率表現其改進程度。結果表明，本文提出的向最優宇宙移動策略更適合于調度問題的MVO算法，相比于原始MVO算法能夠取得更好的迭代較優解。

5） 將GA算法和MVO_4算法的實驗結果進行比較，結果表明，所提算法對目標值的求解能力明顯優于GA算法。

4 結語

本文研究了以最小化最大完工時間為目標的半導體晶圓制造的調度問題，基于RHFS調度模型構建了一個整數規劃模型，以解決半導體晶圓制造過程中的調度問題。同時，提出了適合于車間調度問題的改進MVO算法，從初始宇宙生成、宇宙更新策略、向最優宇宙移動策略等方面提高算法的性能。對比實驗結果表明，所設計的算法在處理RHFS調度問題時有著顯著的優勢。本文算法重點在于最小化最大完工時間，但沒有考慮算法的運行時間，未來的研究應該著重于如何有效地減少算法的運行時間，同時兼顧調度問題的其他目標。

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