三支區間集半概念的代數結構及覆蓋粗糙近似算子

摘要： 針對在一個形式背景中以區間集為底集，考慮一個屬性集（對象集）擁有的對象集（屬性集）和不擁有的對象集（屬性集）的知識表述而進行知識提取的問題，采取將區間集概念與三支決策、經典半概念相結合的方法，產生AE-區間集半概念和OE-區間集半概念兩種形式的三支區間集半概念，同時發現AE-區間集半概念與OE-區間集半概念的純雙布爾代數結構。進一步深入討論可知，AE-區間集半概念可分為AE1-區間集半概念與AE2-區間集半概念，利用粗糙集理論分別挖掘與AE1-區間集半概念和AE2-區間集半概念有關的近似算子的結構性質，對偶地可得OE-區間集半概念的相關結果。所得三支區間集半概念拓廣了已有的三支決策集分別與區間集概念和半概念相結合的相關成果，成為一個新的知識表述。

關鍵詞： 形式概念分析； 半概念； 三支決策； 區間集概念； 近似算子

中圖分類號： TP18

文獻標志碼： A

文章編號： 1671-6841（2024）06-0084-07

DOI： 10.13705/j.issn.1671-6841.2023123

Algebra Structure and Covering Approximation Operators of

Three-way Interval-set Semiconcepts

MAO Hua1，2 ， NIU Zhenhua1， MA Jingze1， WANG Gang1， ZHANG Zhiming1， YANG Lanzhen1

（1.School of Mathematics and Information Science， Hebei University， Baoding 071002， China;

2.Hebei Key Laboratory of Machine Learning and Computational Intelligence，

Baoding 071002， China）

Abstract： In response to the problem of knowledge extraction in a formal context， which took interval-set as the background set and considered the knowledge expression of the object set （attribute set） owned by an attribute set （object set） and the object set （attribute set） not owned by an attribute set （object set）， the method of combining interval-set concept with three-way decision and classical semiconcept was adopted， resulting in two types of three-way interval-set semiconcept： AE-interval-set semiconcept and OE-interval-set semiconcept. Meanwhile， pure double Boolean algebraic structures were explored for the two new types of interval-set semiconcept， respectively. Further discussion revealed that AE-interval-set semiconcept could be divided into AE1-interval-set semiconcept and AE2-interval-set semiconcept. Rough set theory was applied into mining the constructions and properties relative to approximation operators of AE1-interval-set semiconcept and AE2-interval-set semiconcept， respectively. Dually， the relevant results for OE-interval-set semiconcept were obtained. The obtained three-way interval-set semiconcept generalized the existing results relative to the combination of three-way decision and interval-set or that of three-way decision and semiconcept. Therefore， three-way interval-set semiconcept became a new form to express knowledge.

Key words： formal concept analysis; semiconcept; three-way decision; interval-set concept; approximation opeartor

0 引言

近年來，形式概念分析［1］在數據挖掘、知識發現、粒計算等領域得到廣泛應用［2-4］。形式概念（X，A）需滿足X*=A且A*=X。由于形式概念的算子條件限制了形式概念分析的發展，因此研究者們減弱了算子的限制條件，半概念成為形式概念分析的重要拓廣模型之一。Vormbrock等［5］基于半概念模型提出純雙布爾代數理論。對于區間集概念［6］，其本質思想是將概念中表示外延與內涵的集合推廣到區間集，利用區間集反映的不確定信息把形式概念拓廣到區間集概念。

Yao［7］在二支決策的基礎上提出了三支決策理論，其基本思想是將決策分為接受、拒絕和延遲三種。三支決策思想為很多領域提供了解決問題的新思路［8］。粗糙集是由Pawlak［9］ 提出的一種處理不精確、不確定性數據的數學工具，其理論的核心是一對近似算子。但建立在等價關系上的Pawlak粗糙集模型過于苛刻，限制了粗糙集的應用范圍，為此，Yao等［10］提出一種覆蓋近似算子。

形式概念分析一經提出，國內外學者分別從概念格的構造、形式概念分析與其他理論的結合等方面進行了研究。例如，Qi等［11］將三支決策與形式概念結合，將對象（屬性）集共同擁有的屬性（對象）集的運算作為正算子，將對象（屬性）集共同不擁有的運算作為負算子，提出三支概念分析理論。Mao等［12］將經典半概念與三支決策結合，提出兩種形式的三支半概念。Yao［13］在不完備形式背景下，將三支決策與區間集概念結合，提出三支區間集概念格。Mao［14］將經典半概念與粗糙集結合，提出粗糙半概念。綜合上述表述可得，將半概念與區間集結合，并進一步地與三支決策相結合得到三支區間集半概念，是對已有的三支決策、區間集與三支半概念的拓廣，是將三者的提綱挈領綜合性結果，是一個創新性的結果。因此，本文將區間集概念與三支決策、經典半概念結合，提出兩種三支區間集半概念，可以解決只需要考慮屬性區間集擁有的對象區間集或對象區間集擁有的屬性區間集的問題，并證明它們為純雙布爾代數結構。此外，提出兩種三支區間集半概念的粗糙近似算子，可以利用構造的近似算子挖掘潛在知識。

1 預備知識

首先對形式概念分析的基本理論進行簡要介紹，接著介紹三支區間集概念與粗糙集的相關知識。經典半概念和三支半概念詳細內容見參考文獻［2，14，17］，區間集概念詳細內容見參考文獻［6，18］，雙布爾代數詳細內容見參考文獻［19］，粗糙集詳細內容見參考文獻［11，12］。

1.1 經典半概念和三支概念

定義1［2］

（1） ≤是集合P上的一個偏序關系。若對于任意的a，b，c∈P，≤滿足下列條件，則（P，≤）稱為偏序集。

（p1） a≤a（自反性）；

（p2） a≤b且b≤aa=b（反對稱性）；

（p3） a≤b且b≤ca≤c（傳遞性）。

（2） 設（P，≤）是一個偏序集，若對于任意兩個元素a，b∈P，存在上確界a∨b和下確界a∧b，則（P，≤）是一個格。

定義2［2］ （1） 形式背景K=（U，V，R）由對象集U、屬性集V以及U到V的二元關系R組成。

（2） 若XU且AV，則對應的算子定義如下。

（2.1） 正算子*：P（U）→P（V）和*：P（V）→P（U）定義為

X*=｛v∈Vx∈X，xRv｝;

A*=｛u∈Ua∈A，uRa｝。

（2.2） 負算子*：P（U）→P（V）和*：P（V）→P（U）定義為

X*=｛v∈Vx∈X，xRcv｝;

A*=｛u∈Ua∈A，uRca｝。

定義3［5］ 設XU且AV，

（1） 若X*=A，稱（X，A）為∩-半概念；

（2） 若A*=X，稱（X，A） 為∪-半概念；

（3） 若X*=A，稱（X，A）為N∩-半概念；

（4） 若A*=X，稱（X，A）為N∪-半概念。

定義4［12］ 設X，YU且A，BV，

（1） 面向屬性的半概念算子（簡稱AE-半算子）·：P（V）→P（U）×P（U）定義為：A·=（A*，A*）。

（2） 面向對象的半概念算子（簡稱OE-半算子）·：P（U）→P（V）×P（V）定義為：X·=（X*，X*）。

（3） 若A·=（A*，A*）=（X，Y），則稱（（X，Y），A）為面向屬性的半概念（簡稱AE-半概念）。稱（X，Y）和A分別為 （（X，Y），A）的外延和內涵。

（4） 若X·=（X*，X*）=（A，B），則稱（X，（A，B））為面向對象的半概念（簡稱OE-半概念）。稱X和 （A，B）分別為（X，（A，B））的外延和內涵。

引理1［2］

設K=（U，V，R）是一個形式背景，對于任意的Z，Z1，Z2U（或Z，Z1，Z2V）滿足Z1Z2Z*2Z*1。

證明 設Z1，Z2U，由定義3（1）得Z*2Z*1。

1.2 區間集概念

定義5［6］

設M是有限論域，P（M）是集合M的冪集。定義M上的區間集X～

［Xl，Xu］=｛X∈P（M）XlXXu｝。

記IP（M）為M上區間集的全體。

定義6［6，15］ 在形式背景K=（U，V，R）中，若

X～=［Xl，Xu］∈IP（U），A～=

［Al，Au］∈IP（V），則相應的算子定義如下。

（1） 正算子f：IP（U）→IP（V）和g：IP（V）→IP（U）定義為

f（X～）=［X*u，X*l］;

g（A～）=［A*u，A*l］。

（2） 負算子f：IP（U）→IP（V）和g：IP（V）→IP（U）定義為

f（X～）=

［X*u，X*I］;

g（A～）=［A*u，A*l］。

（3） 面向屬性的區間集算子（簡稱AE-區間集算子）：IP（U）→IP（V）×IP（V）和：IP（V）→IP（U）×IP（U）定義為

（X～，Y～）=

f（X～）∩f

（Y～）;A～=

（g（A～），（A～））。

（4） 面向對象的區間集算子（簡稱OE-區間集算子）：IP（V）→IP（U）×IP（U）和： IP（U）→IP（V）×IP（V）定義為

（A～，

B～

）=g（A～）∩g

（B～）;

X～=（f（A～），

f（A～））。

若A～=（g（A～），

（A～））=（X～，

Y～）且（X～，Y～）=

f（X～）∩f（Y～），

則稱（（X～，Y～），A～）

為AE-區間集概念。

1.3 雙布爾代數

定義7［16］

雙布爾代數F=（E，↓，↑，，，）是一種類型為（2，2，1，1，0，0）的代數結構。對任意的x，y，z∈E，滿足以下性質：

（1a）（x∧x）↓y=x∧y;

（1b）（x↑x）↑y=x↑y;

（2a）x∧y=y∧x;

（2b）x↑y=y↑x;

（3a）（x∧y）∧z=x∧（y∧z）;

（3b）（x↑y）↑z=x↑（y↑z）;

（4a）（x∧x）=x;

（4b）（x∧x）=x;

（5a）x∧（x↑y）=x∧x;

（5b）x↑（x∧y）=x↑x;

（6a）x∧（y∨z）=（x∧y）∨（x∧z）;

（6b）x↑（y↓z）=（x↑y）↓（x↑z）;

（7a）x∧（x∨y）=x∧x;

（7b）x↑（x↓y）=x↑x;

（8a）（x∧y）=x∧y;

（8b）（x↑y）=x↑y;

（9a）x∧x=;

（9b）x↑x=;

（10a）=∧;

（10b）=↑;

（11a）=;

（11b）=;

（12）（x∧x）↑（x∧x）=（x↑x）∧（x↑x）;

（13）x∧x=x或x↑x=x。

其中：∨和∧分別定義為x∨y=（x↓y）和

x∧y=（x↑y）。

1.4 粗糙集

定義8［9］ 若G為一個論域D上的二元關系，則稱（D，G）是基于關系G上的近似空間。對于任意

XD，X關于這個近似空間的下近似算子和上近似算子分別定義為

GX=∪｛YY∈D/G，YX｝;

GX=∪｛YY∈D/G，Y∩X≠｝。

當GX=GX時，稱X是G的可定義集，否則稱X是G的粗糙集。

定義9［9］

若G為一個論域D上的二元關系，則稱（D，G）是基于關系G上的近似空間。對于任意XD，給定兩個算子apr和

apr，當且僅當下列性質成立時，則稱apr（X）和apr（X）為（D，G）的上、下近似算子。

（1）apr（X）apr（X）;

（2）apr（X）=apr（X）X是可定義的。

定義10［10］

設D是一個論域，C是D上的一個子集族。若C中的元素都是非空的，并且∪C=D，則稱C是D的一個覆蓋。

2 AE-區間集半概念

文獻［18］將區間集概念與三支決策，提出了兩種三支區間集概念——AE-區間集概念和OE-區間集概念。本節將三支區間集概念與半概念結合，提出兩種形式的三支區間集半概念——AE-區間集半概念和OE-區間集半概念。因為半概念分為∩-半概念和∪-半概念兩種，所以接下來提出的AE-區間集半概念分為AE1-區間集半概念和AE2-區間集半概念兩種。

定義11 在形式背景K=（U，V，R）中，設

X～，Y～IP（U），A～IP（V）。若

A～=（g（A～），

（A～））=（X～，Y～），則稱

（（X～，Y～），A～）

為AE1-區間集半概念。形式背景K=（U，V，R）中AE1-區間集半概念全體記作ISSAE1（K）。

定義12

在形式背景K=（U，V，R）中，設X～，Y～IP（U），

A～IP（V）。

若（X～，Y～）=f（X～）

∩f（Y～）=A～，則稱

（（X～，Y～），A～）

為AE2-區間集半概念。形式背景K=（U，V，R）中AE2-區間集半概念全體記作ISSAE2（K）。

定義13 在形式背景K=（U，V，R）中，設

X～，Y～IP（U），A～IP（V）。

若A～=（g（A～），

（A～））=（X～，Y～）或

（X～，Y～）=f（X～）

∩f（Y～）=

A～，則稱（（X～，Y～），

A～）為AE-區間集半概念。形式背景K=（U，V，R）中AE-區間集半概念全體記作ISSAE（K）。

AE-區間集半概念與AE-區間集概念及AE-半概念的關系如下：① 由定義6和定義13可知，AE-區間集概念一定是AE-區間集半概念。② 由定義3和定義13可知，AE-半概念是AE-區間集半概念的一種特殊情況。

下面用一個實例解釋AE1-區間集半概念。

例1 對高中某班三名同學小紅、小明、小軍進行調查，詢問他們是否擅長唱歌、說相聲、彈鋼琴，調查結果如表1所示。

令1=小紅，2=小明，3=小軍，a=唱歌，b=說相聲，c=彈鋼琴。則表1表示的形式背景K1=（U1，V1，R1）如表2所示，其中U1=｛1，2，3｝，V1=｛a，b，c｝。

現在需要挑選一名同學去參加學校舉辦的歌唱比賽，可首先考慮擅長唱歌的同學，若既擅長唱歌又擅長彈鋼琴的同學則更滿足挑選的要求。那么可以確定這次班級選拔的屬性區間集為A～=［Al，Au］=［a，ac］。根據定義11可得

g（A～）=［1，13］，表示1號同學和3號同學都擅長唱歌，1號同學既擅長唱歌也擅長彈鋼琴，更符合歌唱比賽的要求。那么班級可推薦1號同學參加學校舉辦的歌唱比賽，3號同學可作為班級的替補選手。g（A～）=［2，2］，表示2號同學既不擅長唱歌也不擅長彈鋼琴，那么這次活動暫時不推薦2號同學參加。根據定義11可知 （（［1，13］，［2，2］），［a，ac］）為AE1-區間集半概念。

下面給出AE-區間集半概念的純雙布爾代數結構。

在形式背景K=（U，V，R）中，（（X～，Y～），

A～），（（X～1，Y～1），

A～1），（（X～2，

Y～2），A～2）∈ISSAE（K）。定義以下6種運算：

（1） （（X～1，Y～1），

A～1）↓（（X～2，

Y～2），A～2）

=（（X～1，Y～1）∩

（X～2，Y～2），

（（X～1，Y～1）

∩（X～2，Y～2）））;

（2） （（X～1，Y～1），

A～1）↑

（（X～2，Y～2），

A～2）

=（（X～1，Y～1）∪

（X～2，Y～2），

（（X～1，Y～1）∪

（X～2，Y～2）））;

（3）

（（X～，Y～），

A～）=（（X～，

Y～）c，（（X～，

Y～）c））;

（4） （（X～，

Y～），A～）=

（（A～c），A～c）;

（5） =（（［，］，［，］），［V，V］）;

（6） =（（［U，U］，［U，U］），［，］）。

由算子∨和∧的定義可知，

（（X～1，Y～1），

A～1）∨（（X～2，

Y～2），A～2）

=（（A～1∪A～2），

（A～1∪A～2））;

（（X～1，Y～1），

A～1）∧（（X～2，

Y～2），A～2）

=（（A～1∩

A～2），（A～1∩

A～2））。

定理1 在形式背景K中，F=（ISSAE（K），

↓，↑，，，）為純雙布爾代數結構。

證明 需要證明AE-區間集半概念集合在上述定義的6種運算下，滿足定義7的所有性質。由于定義7中（ia）和（ib）是相互對偶的（i=1，2，…，11），并且大部分性質的證明過程較簡單，在此僅展示定義7中性質（5a）和 （12）的證明過程。

假設

x=（（X～1，Y～1），

A～1），y=（（X～2，

Y～2），A～2）。

（5a）的證明： x∧（x↑y）=（（X～1，Y～1），

A～1）∧

（（A～1∪A～2），

A～1∪A～2）=

（A～1，A～1）=x∧x。

（12）的證明： （x∧x）↑（x∧x）=（A～1，A～1）↑

（A～1，A～1）=

（（A～1，A～1），（x↑x）∧（x↑x））

=（（X～1，Y～1），

（X～1，Y～1））。

當A～1=（X～1，Y～1）時，有

A～1=

（X～1，Y～1）和

（X～1，Y～1）=

A～1成立，故可得

（A～1，

A～1）=（（X～1，

Y～1），

（X～1，Y～1））。

即（x∧x）↑（x∧x）=（x↑x）∧（x↑x）得證。

對不同半概念進行了對比，結果見表3。

AE-半概念既考慮了屬性擁有的對象，同時也考慮了屬性不擁有的對象，而經典半概念只考慮了屬性擁有的對象。AE-區間集半概念既考慮屬性區間集擁有的對象，同時也考慮了屬性區間集不擁有的對象，AE-區間集半概念考慮得更為全面。因此，AE-區間集半概念是經典概念與AE-半概念的拓廣。

3 AE-區間集半概念的近似算子

在處理不確定信息時，常常需要借助近似算子來描述這個不確定信息。下面將給出AE-區間集半概念相應的上、下近似算子。

3.1 基于AE1-區間集半概念的近似算子

利用定義11，結合格結構，給出一對上、下近似算子。

定義14［2］

在形式背景K=（U，V，R）中，設（（X～，Y～），

A～）∈ISSAE1（K）， ISSAE1（K）表示AE1-區間集半概念全體，AE1-區間集半概念的一對算子定義為

apr（（X～，Y～），

A～）=∧{（（X～j，

Y～j），A～j）∈

ISSAE1（K）（（X～，

Y～），A～）≤（（X～j，

Y～j），A～j）};

apr（（X～，Y～），

A～）=∨{（（X～i，

Y～i），A～i）∈

ISSAE1（K）（（X～i，Y～i），

A～i）≤（（X～，

Y～），A～）}。

定理2 在形式背景K=（U，V，R）中，由定義14得到AE1-區間集半概念的一對算子具有以下性質：

（1） apr（（X～，Y～），

A～）≤（（X～，

Y～），A～）≤

apr（（X～，Y～），

A～）;

（2） apr（（X～，Y～），

A～）=（（X～，

Y～），A～）=

apr（（X～，Y～），

A～）（（X～，

Y～），A～）∈ISSAE1（K）。

證明

（1） 對任意的A～i，由定義14和二元關系≤得

∪A～iA～，由引理1得

（∪A～i）A～，由定義11得

A～=（X～，Y～）。故得

apr（（X～，Y～），

A～）=

（（∪A～i），∪A～i）≤（（

X～，

Y～），A～）。類似可得

（（X～，Y），A～）≤apr

（（X～，Y～），A～）。

（2） 分成（）和（）兩部分來證明。

（）： 對任意的A～i，由定義14 得

（（∪A～i），∪A～i）=

（（X～，Y～），

A～），由定義11得

（∪A～i）=A～=

（X～，Y～），即（（X～，Y），

A～）∈ISSAE1（K）。

（）： 由（（X～，Y），A～）∈ISSAE1（K）得，存在

m使得（（X～m，Y～m），

A～m）=（（X～，Y～），

A～），

由定義14得apr（（X～，

Y～），A～）=

（A～m，

A～m）=

（（X～m，Y～m），

A～m）=（（X～，

Y～），A～）。同理得

apr（（X～，Y～），

A～）=（（X～，Y～），

A～）。

由定義9和定理2可知，定義14給出的一對算子為AE1-區間集半概念的近似算子。

例2（例1續）

若（（X～，Y～），

A～）=（（［1，1］，［2，2］），［a，ac］），

由定義11可知（（［1，1］，［2，2］），［a，ac］）不是AE1-區間集半概念，無明顯意義。由定義14求得apr（（［1，1］，［2，2］），［a，ac］）=（（［1，13］，［2，2］），［a，ac］）和apr（（［1，1］，［2，2］），［a，ac］）=（（［1，13］，

［2，2］），［a，ac］）來近似（（［1，1］，［2，2］），［a，ac］），從而獲得相關知識，即小紅和小軍都擅長唱歌，小紅既擅長唱歌也擅長彈鋼琴，小明既不擅長唱歌也不擅長彈鋼琴。

3.2 基于AE2-區間集半概念的近似算子

利用定義12，結合雙布爾代數結構，給出一對上、下近似算子。

定義15［2］

在形式背景K=（U，V，R）中，設

（（X～，

Y～），

A～）∈ISSAE2（K），ISSAE2（K）表示AE2-區間集半概念全體，AE2-區間集半概念的一對算子定義為

apr（（X～，Y～），

A～）=↓{（（X～j，

Y～j），A～j）∈

ISSAE2（K）（（X～，

Y～），A～）≤

（（X～j，Y～j），

A～j）};

apr（（X～，Y～），

A～）=↑{（（X～i，

Y～i），A～i）∈

ISSAE2（K）

（（X～i，

Y～i），A～i）≤

（（X～，Y～），

A～）}。

定理3 在形式背景K=（U，V，R）中，設

（（X～，Y），A～）

∈ISSAE2（K），由定義15得到AE2-區間集半概念的一對算子具有以下性質：

（1） apr（（X～，Y～），

A～）≤（（X～，

Y～），A～）≤

apr（（X～，Y～），

A～）;

（2） apr（（X～，Y～），

A～）=（（X～，

Y～），A～）=

apr（（X～，

Y～），A～）

（（X～，Y～），

A～）∈ISSAE2（K）。

定理3的證明過程可參照定理2，本文不再贅述。

4 OE-區間集半概念的相關性質

OE-區間集半概念與AE-區間集半概念為對偶關系，因此下文只對OE-區間集半概念的性質進行簡要說明。其證明過程與AE-區間集半概念類似，故省略部分證明過程。首先給出OE-區間集半概念的定義。

定義16

在形式背景K=（U，V，R）中，設X～IP（U），A～，

B～IP（V）。

若X～=（f（X～），

f（X～））=（A～，

B～），則稱

（（X～，（A～，

B～））

為OE1-區間集半概念。形式背景K=（U，V，R）中OE1-區間集半概念全體記作ISSOE1（K）。

定義17

在形式背景K=（U，V，R）中，設X～IP（U），A～，

B～IP（V）。

若（A～，B～）=g

（A～）

∩g（B～）=X～，則稱

（（X～，（A～，

B～））

為OE2-區間集半概念。形式背景K=（U，V，R）中OE2-區間集半概念全體記作ISSOE2（K）。

定義18

在形式背景K=（U，V，R）中，設

X～IP（U），A～，B～IP（V）。若

X～=（f（X～），

f（X～））=（A～，

B～）或

（A～，B～）=g

（A～）∩g（B～）=

X～，

則稱（（X～，

（A～，B～））

為OE-區間集半概念。形式背景K=（U，V，R）中OE-區間集半概念全體記作ISSOE（K）。顯然ISSOE（K）=

ISSOE1（K）∪ISSOE2（K）。

接下來給出OE-區間集半概念的純雙布爾代數結構。

在形式背景K=（U，V，R）中，（X～，（A～，

B～）），

（X～1，（A～1，

B～1）），（X～2，

（A～2，B～2））

∈ISSOE（K）。

定義以下6種運算：

（1） （X～1，（A～1，

B～1））↓（X～2，

（A～2，B～2））

=（X～1∩X～2，

（X～1∩X～2）

）;

（2） （X～1，（A～1，

B～1））↑（X～2，

（A～2，B～2））

=（（（A～1，B～1）∩

（A～2，B～2）），

（A～1，B～1）∩

（A～2，B～2））;

（3） （X～，（A～，

B～））=（X～c，

（X～c））;

（4） （（A～，B～），

X～）=（（（A～，

B～）c），（A～，

B～）c）;

（5） =（［，］，（［V，V］，［V，V］））;

（6） =（［U，U］，（［，］，［，］））。

定理4 在形式背景K中，（ISSOE（K），↓，↑，，，，）為純雙布爾代數結構。

下面給出OE1-區間集半概念的近似算子。

定義19 在形式背景K=（U，V，R）中，設

（X～，（A～，

B～））∈ISSOE1（K）， OE1-區間集半概念的一對算子定義為

apr（X～，（A～，

B～））=∧{（X～j，

（A～j，B～j））∈

ISSOE1（K）（X～，（A～，

B～））≤（X～j，

（A～j，B～j））};

apr（X～，（A～，

B～））=∨{（X～i，

（A～i，B～i））∈

ISSOE1（K）（X～i，（

A～i，B～i））≤

（X～，（A～，

B～））}。

定理5 在形式背景K=（U，V，R）中，設

（X～，（A～，

B～））∈ISSOE1（K），由定義19得到OE1-區間集半概念的一對算子具有以下性質：

（1） apr（X～，（A～，

B～））≤（X～，

（A～，B～））≤

apr（X～，（A～，

B～））;

（2） apr（X～，（A～，

B～））=（X～，

（A～，B～））=

apr（X～，（A～，

B～））（X～，

（A～，B～））

∈ISS0E1（K）。

由定義9和定理5可知，定義19給出的算子為OE1-區間集半概念的一對近似算子。

定義20 在形式背景K=（U，V，R）中，設

（X～，（A～，

B～））∈ISSOE2（K），

OE2-區間集半概念的一對算子定義為apr（X～，

（A～，

B～））=↓{（X～j，

（A～j，B～j））∈

ISSOE2（K）

（X～，

（A～，

B～））≤（X～j，

（A～j，B～j））};

apr（X～，（A～，

B～））=↑{（X～i，

（A～i，

B～i））∈

ISSOE2（K）

（X～i，

（A～i，

B～i））≤

（X～，（A～，

B～））}。

定理6 在形式背景K=（U，V，R）中，設

（X～，（A～，

B～））∈ISSOE2（K），由定義20得到OE2-區間集半概念的一對算子具有以下性質：

（1） apr（X～，（A～，

B～））≤（X～，

（A～，B～））≤

apr（X～，

（A～，B～））;

（2） apr（X～，

（A～，

B～））=（X～，

（A～，B～））=

apr（X～，（A～，

B～））（X～，

（A～，B～））

∈ISSOE2（K）。

由定義9和定理6可知，定義20給出的算子為OE2-區間集半概念的一對近似算子。

5 結語

本文將區間集概念與三支決策和經典半概念相結合，提出兩種三支區間集半概念，即AE-區間集半概念和OE-區間集半概念，證明了這兩種三支區間集半概念具有純雙布爾代數結構。另外，將AE1-區間集半概念和AE2-區間集半概念并稱為AE-區間集半概念，將OE1-區間集半概念和OE2-區間集半概念并稱為OE-區間集半概念。依據粗糙集理論，得到了AE-區間集半概念的兩對近似算子。對偶地，可得到OE-區間集半概念的兩對近似算子，為挖掘潛在知識提供了平臺。未來的研究工作主要包括在不完備背景下三支區間集半概念格的構造問題以及三支區間集半概念的屬性約簡問題，如何將三支區間集半概念更加廣泛地應用于知識提取、粒計算等領域也是值得關注的問題。

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