數感：數與運算一致性的認知基礎

［摘 要］對數與運算一致性的認識和理解是學生學好數學的基本保障。文章以2024年版教材一年級上冊為例，論述數感、數與運算一致性之間的聯系，并通過解讀新教材，闡釋如何以現實情境為基礎，以解決問題為主線，加強數感的培育，讓教師、學生更容易認識和理解數與運算的本質，明確數與運算的一致性。

［關鍵詞］數與運算一致性；數感；數數

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2024）23-0009-03

數感是學生數學素養的重要組成部分，而理解數與運算的一致性則是建立數學邏輯框架的關鍵。在探討數感培養及數與運算一致性的認識過程中，教師不僅需要深入研究和探討教學策略，更要引導學生在課堂學習中切實地感受和領悟數的特征和運算的本質。下面以2024年版教材一年級上冊為例，談談關于數感、數與運算一致性的教學思考。

一、數感和數與運算一致性

對數與運算的理性認識必須建立在堅實的數學基礎和邏輯推理之上。這包括對數的基本概念、性質、運算規則及它們之間的關系有深入的理解。但在數學學習的啟蒙階段，如何運用現實情境和直觀感知，讓學生認識和理解數與運算的一致性呢？

（一）數感是理解數與運算一致性的認知基礎

所謂數感，主要是指對數與數量、數量關系及運算結果的直觀感悟，并能運用數描述和解決問題的意識與習慣。從認識論的角度來看，直觀感悟在對數與運算的理性認識中扮演著重要的角色。它不是一種表面的、淺顯的感覺，而是一種深入的理解與體驗，是對數與運算的內在規律和邏輯關系的現實與抽象模型的直接把握。因此，在數學學習中，學生對事物的個數、次序、分布狀態及關系的理解，都必須建立在對現實情境及其基本的數理邏輯關系的充分把握之上。在面對數與運算的問題時，這種直觀感悟能夠幫助學生迅速捕捉問題的本質。例如，在理解0、1、10的產生時，學生可以通過對度量離散量（如數雞蛋個數）和度量連續量（如數尺子上的0、1、2等刻度）的直接體驗，自然地理解0、1和10的本質，無須經過復雜的邏輯推理或證明。

（二）數與運算一致性是發展數感的有力支撐

理解和把握數與運算一致性對后續認識數有很大幫助。

首先，基于自然數基本單位“1”的數數規則，就會對9，10，11，99，100，101，999，1000，1001等的產生和使用有正確的認知。同時，“比1個多很多的東西‘捆著數’”“不夠1個的東西‘切開數’”的直覺，對于學生認識分數、小數及正負數等都有著積極意義。

其次，在計數過程中確立了自然數“1”的基本單位后，會對10個“一”是“十”、10個“十”是“百”的計數單位制的規則有正確的認識，特別是對學習分數和小數的產生起到了正確的引導作用。例如，分數是在“一個東西分給兩個人”的時候產生的，而小數是在“一個東西要分給十個人”的時候產生的。這種直覺能幫助學生理解計數結果小于“1”時，“零點幾”是“幾分之一”的另一種表達方式，從而避免了關于分數和小數的產生及其單位應用的許多認識誤區，即小數是分數的另一種表達方式，小數的計數單位是分數的計數單位中的一類。

最后，溝通數與運算的本質聯系。例如，加法是數的累加，是對“幾堆事物”進行“從頭數”“接著數”和“分段數”的累加過程和結果的呈現。進一步看，通過倒著數、等量數等方式解讀減法、乘法和除法，都是在對數的運算中確定了“按幾個數”的標準以后，對“單位個數”不同數法的數學表達。

總之，數感的形成對于把握數與運算一致性具有不可估量的意義。反過來，當把握了數與運算一致性后，就能擺脫文本閱讀的限制，從而建立起真正的數學理解與數學思維。

二、教材示例與教學解讀

《義務教育數學課程標準（2022年版）》中提到，數感表現為以下幾個方面：能夠在真實的情境中理解數的意義；能夠用數表示物體的個數或事物的順序；能夠在簡單的真實情境中進行合理估算，做出合理判斷；能夠初步體會事物背后簡單的規律，用數表達這樣的規律。這些內容為教學提供了方向，即如何滲透數與運算一致性。新修訂的教材在這方面有顯著的強調。

（一）建立以自然數“1”為基礎的計數規則

北師大新世紀版教材一年級上冊第二單元“生活中的數”第12頁“走進美麗鄉村”（如圖1）的內容是“5以內數的認識”：以“說一說”“數一數”“認一認”的活動突出“1”的作用。

與舊教材不同的是，第一幅圖采用“1個”“1根”“1棵”“1筐”來描述各種事物的數量，讓學生注意到前三個“1”都是指單個事物，而第四個“1”則不同，因為蔬菜被裝在1個筐里，所以按“筐”來計數。這里隱含了一個計數規則，即單個元素與組合元素都可以用“1”來表示，但兩者標準不同。這為學生將來認識幾個、幾筐、半個、半筐等數和量奠定了基礎。

（二）用“接著數”和“連續數”建構加法模型

西南大學版教材一年級上冊第二單元“0～9的加法”第30頁“一共有多少條船？”（如圖2）的內容是“加法”：有“把3條船和2條船合起來”的提示語，并把3個○和2個○圈起來。這和以前教材的內容差不多，但3名學生的對話揭示了加法的計算過程，即“從3條往后數2條”“從2條往后數3條”都是“接著數”，數到“5”。

同樣，北師大新世紀版教材一年級上冊第二單元“5以內的加與減”第29頁“一共有多少”（如圖3）呈現兩只手里的筆“分開”與“合并”的情境圖后，增加了“一只手里有3支粉筆，另一只手里有……”和“1，2，3，4，5，共有……”的對話框，以此提示學生“在分開數算不出總數時，就應該合起來從1開始一個一個地數”，然后利用“數熊貓”的情境圖展示“接著數”的方法。

這兩個例子充分運用了學生已有的“認數”“數數”和“寫數”的經驗，將幼兒園階段常見的“3+2=5”這一基礎數學知識具體化，讓學生通過親身體驗來理解“幾部分或幾個數合起來的數更多一些”“加法就是一次性數數不能得到總數而需要從頭數或者接著數”的概念，感悟到數學中的加法本質就是接著數。通過打通“數是數出來的”和“加法也是數出來的”之間的聯系，學生能夠真切地感受到數與運算一致性。這為學生后續學習減法（倒著數）、乘法（同數累加）和除法（同數等分）奠定了堅實的基礎。

（三）用“分段數”打通多位數計算的算理和算法的聯系

在進行多位數四則運算，特別是涉及進退位的計算時，傳統的教學方法往往依賴死記硬背的計算法則，這種方法缺乏對算理的深入理解，導致學生只能機械地模仿。現在，通過運用數與運算一致性的認知，強調“數是數出來的”和“計算就是繼續數”，可以幫助學生更好地理解算理。對于小的數，學生可以通過“接著數”或“從頭數”來完成計算。而對于較大的數，則采用化繁為簡的思想，通過“分段”“分層”“分級”的方式，按照計數單位之間的換算關系繼續數。

西南大學版教材一年級上冊第五單元第89頁“進位加法”的“一共有多少瓶水”（如圖4）：讓學生首先感覺到圖中是“盒子里有9瓶，地上有2瓶，手上有1瓶”，但算式和圖示表達的都是“9瓶加3瓶”的意思。圖中的小棒圖和計數器圖會讓一些學生覺得復雜，然后產生畏難情緒。對此，教師應該引導學生利用“9，1，2”這三個提示性數字，仔細觀察圖示中的操作。通過仔細觀察和思考，學生會發現圖示中的操作都是“將兩段數數分解為三段數數”，即從“3”中分出一個“1”，那么從9往后數一個數就是10，再接著往后數兩個數“11”“12”，這樣就完成了計算。

這樣，學生在學習西南大學版教材三年級下冊第二單元第27頁“兩三位數除以一位數”的“分月餅”（如圖5）時，就能在除法中通過數與分，把整十數、整百數進行“分段數”和“把大單位換算成小單位”，從而完成比較復雜的計算和說理了。

新修訂的數學教材站在核心素養培育的高度進行修訂與設計，以現實情境為基礎，以解決問題為主線，加強了數感的培育，讓教師、學生更容易認識和理解數與運算的本質，明確數與運算一致性，為學生將來解決更復雜的數學問題打下了堅實的基礎。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 鄭大明.“數學眼光”的基本表現及其評價：基于數感、量感、形感的思考[J].小學教學參考.2021（29）：3-6.