建構完整的倍數問題知識結構

［摘 要］為了讓學生更好地認識倍數并理解其意義，教師應仔細研讀教材，并基于學生的實際情況對單元知識進行整合和拓展教學。“1倍數”是理解倍數概念的關鍵點。教師應通過正向和逆向的多次對比，使學生充分感悟“1倍”的價值，建構完整的倍數問題知識結構，從而解決一系列的倍數問題，同時為將來學習單位“1”打下良好的基礎。

［關鍵詞］倍的認識；1倍數；知識結構

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2024）23-0029-04

倍數關系是一種抽象的數量概念，學生在理解和掌握“1倍數”方面往往存在困難。本文以人教版教材三年級上冊“倍的認識”為例，探討如何利用統一的素材將“倍”的相關知識融會貫通，通過正向和逆向的貫通轉化，使學生在解決問題的過程中充分感悟“1倍”的價值，從而深化對倍數概念的理解。

一、理解教材，明確“教什么”

教材是課堂教學的重要載體，深入理解教材的編寫意圖和教學路徑，對于教師而言至關重要。這不僅有助于教師更準確地把握教學內容和教學目標，還能幫助教師設計出更有效的教學策略和活動，從而確保教學活動的順利進行和教學目標的達成。

（一）橫向對比，把握倍的概念教學的關鍵

對于概念學習而言，深入理解和掌握概念是后續應用的關鍵。在教學“倍的認識”前，筆者對人教版、蘇教版與浙教版教材中引入部分的情境進行比較，發現了它們的異同點。

1.凸顯新舊知識的聯系

人教版教材的編排通過舊知識“幾個幾”和新知識“倍”建立對接，蘇教版教材的編排體現了“倍”是由兩個數量相比較而產生的，浙教版教材的編排則是通過呈現從“一個一個數”到“一份一份數”的逐步遞進，凸顯對倍的概念的辨析和解讀。

2.凸顯學習的支撐點

在倍的概念的建立階段，各版本的教材都通過直觀形象來幫助學生理解倍的意義。無論是人教版、蘇教版還是浙教版，它們雖然側重點各異，但都在舊知識的基礎上尋找新知識的生長點，強調通過直觀模型的可視化學習來強化對倍的概念的意義建構。簡而言之，這三個版本的教材為學生提供的學習“倍的認識”的支撐點是一致的。

（二）縱向梳理，把握“1倍”的價值

1.“1倍”與“單位‘1’”的關系

在小學階段的學習中，倍、分數（表示率）、百分數、比這些概念的本質都是“比率”，其中，倍是學生最早學習的一個概念，是學生后續學習分數、百分數、比等概念的基礎。

在人教版教材六年級上冊“分數除法”的例6中，學生面臨一個挑戰：兩個相比較的量都是未知的，但它們的和以及倍關系是已知的。在解決這類問題時，學生需要仔細分析題目中的關鍵詞和句子，以確定一個標準，即我們通常所說的“單位‘1’”。這里的“單位‘1’”實際上與“倍的認識”中的“1倍數”是相通的。通過“1倍數”的教學，可以幫助學生在后續學習中對單位“1”的理解更加深刻。因此，筆者認為“倍的認識”這一單元的教學是至關重要的。

2.教材凸顯“1倍”的認識

人教版教材三年級上冊“倍的認識”這一單元是在學生初步認識乘法與除法的基礎上編排的，主要由兩部分內容組成：一是建立倍的概念；二是解決與倍有關的實際問題（如圖1）。

無論是倍的概念教學，還是倍的應用教學，教材都強調對1倍的認識。在概念教學環節，教材采用圈一圈的方法，幫助學生清晰地識別和理解什么是1倍；在應用教學環節，教材則通過畫線段圖的方式，指導學生如何在圖形中準確地表現1倍，同時強化學生對“幾個幾”的表述方式的認識。

二、把握學情，明確“會什么”

教學目標是課堂教學的“魂”，學情分析是確定教學目標的重要依據，而進行前測分析能使教師對教學目標的把握更精準。在教學“倍的認識”前，筆者設計了前測題（如圖2），旨在了解學生（87人）對于“倍”這一概念的理解程度。

從前測題第一題的數據分析（見表1）來看，大部分學生已經具備了熟練繪制倍數關系圖的能力，尤其是在處理簡單的線段圖時，他們的畫圖技巧相當不錯。對于已知“1倍數”來求解幾倍數的問題，學生已經積累了豐富的學習經驗，能夠相對熟練地解決。

從前測題第二題的數據分析（見表2）來看，水平a的學生占了近三分之一的人數，他們遇到稍復雜的問題時就束手無策，不會運用倍的關系圖來簡化問題。水平b的學生雖然能夠正確繪制關系圖，但是無法將復雜的信息和圖對應起來，導致計算出錯。水平c的學生沒有畫圖，但是答案正確，這部分學生對這類題目的解法已經比較熟悉，不過畫圖意識不強。水平d的學生占了超過三分之一的人數，他們不僅能夠正確畫圖，還能準確把握對應關系，靈活解決問題。

畫圖能夠簡化問題，并幫助學生更好地理解和解決與“倍”相關的問題。根據前測結果可知，教師教學時應注意引導學生借助圖示來讓“倍”可視化，同時凸顯“1倍數”的價值。

三、多次嘗試重構，尋找最佳序列

基于教材分析可以發現“單位1”和“倍的認識”有著非常密切的聯系。因此，在“倍的認識”單元教學中，教師要優化教學方案，讓學生的學習更有連續性和啟發性。

（一）初次重構，促“1倍”的認識

在完成3課時的教學后，筆者嘗試對練習課做拆分和補充。在第一次調整（如圖3）時，筆者拓展了兩類常見的實際問題——“幾倍多（少）幾問題”與“和、差倍問題”，并分別用1課時進行教學。筆者以圖為抓手，使份數和數量對應得更加明顯，從而落實學生畫圖能力的培養，并且在解決問題的過程中，讓學生多次使用線段圖表達題中的信息、分析數量關系，從而加深對倍的認識。

（二）再次重構，融“1倍”的認識

第一次調整的教學和教材的編排有一些相似之處，比如都有求“1倍數”的過程，在分析過程中都明確了“量”和“份數”的對應關系，都有畫圖、讀圖的環節，都對教材安排的3道例題進行了復習鞏固。因此，筆者在第一次調整后有了進一步的思考：能否用1個課時把這些內容串聯起來？于是有了第二次調整（如圖4）。

第二次調整策略體現了對教學資源的優化利用，通過將原本增加的兩個課時濃縮為一個課時，保持了課時總數的穩定，從而避免了因課時增加而可能帶來的時間安排上的不便。這一調整不僅強化了教學單元的整體性，還促進了學生對“1倍數”概念的深入理解和認識，為其后續學習比率奠定了堅實的基礎。

四、基于學情分析，實施整合拓展

用統一的素材把“倍”的相關知識融通起來后，表述方式看起來有些不同，比如“誰是誰的幾倍”“誰比誰的幾倍多幾”，但是解決這類問題的方法是否有共性？解決問題的關鍵點在哪里？是否有一個模型能解決這類問題？如何凸顯“1倍數”的重要性？筆者嘗試用一堂課來回答以上這些問題。

（一）第一環節：順向出發，基于意義，初步感知“1倍數”

以前測題第一題為例。首先，引導學生分別用長方形來表示男生和女生的人數（如圖5），并說一說它們的關系。學生能夠說得很清楚：把男生人數看成1份，女生有這樣的3份。這樣的教學不僅幫助學生鞏固了倍的意義，還引出了線段圖（如圖6）。

其次，給出求女生的人數、求一共有幾人、求女生和男生相差幾人三個問題，讓學生用圖表示其中一個信息并解決問題。在學生作答后，筆者選取了三名學生的答案（如圖7）進行展示，引導學生觀察這三名學生的答案的共同點。學生發現：都是已知1倍數男生有5人，把5人看作1份，求[n]個5是多少。

這一環節是先找出“1倍數”，然后求“幾倍數”。學生能夠根據已知信息和關鍵句提出問題并解答，發展提出問題的能力。另外，將不同的答案放在一起同屏對比，能夠使學生發現不同問題的本質——都是求5的幾倍是多少。

（二）第二環節：逆向剖析，領悟方法，再次感知“1倍數”

筆者對前測題第一題進行改編（如圖8），讓學生補充信息，提出問題并畫圖解答。在學生作答后，筆者選取了三名學生的答案進行展示（如圖9）。

與第一環節相反，第二環節是“已知幾倍數，求1倍數”。教材中沒有求1倍數的例題，在這一環節中加以補充，并讓學生從同屏對比中自然而然地發現：只要找出已知信息對應的份數，求出“1倍數”后，所有的問題就能迎刃而解了。這就凸顯了“1倍數”的重要性。

（三）第三環節：綜合提升，溝通轉化，深入感悟“1倍數”

1. “幾倍多幾”與“和倍”聯名

首先，出示圖10，讓學生補充條件后提出問題，并通過畫圖解決問題。在學生作答后，筆者選取了三名學生的答案進行展示（如圖11）。

其次，引導學生根據上述答案思考：當遇到不是整倍數的時候該怎么辦。對比之下，學生很快發現：要對已知信息進行處理，使數據能和整倍數對應起來，從而轉化成之前的題目來探究；題中的倍數關系也可以用“4倍少2”來描述，幾倍少幾的問題也能用這樣的方法來解決。

相比于前兩個環節，第三環節通過增加問題的自由度和靈活性，考查學生對“1倍數”概念的理解程度和應用能力。在這個環節中，學生可能會遇到份數和數的對應問題，需要處理更復雜的信息，需要具備更強的抽象思維能力。由于前兩個環節已經為學生打下了堅實的基礎，所以學生能夠利用已有的知識和經驗，通過圖形輔助，快速識別問題的關鍵點，并將新問題轉化為已知的、熟悉的問題類型。

五、實踐反思

縱觀整個教學實踐過程，教師將“幾倍多幾”和“和倍”兩類問題巧妙地融合在一堂課中，使整堂課展現出層次性和遞進性，從而使學生經歷了“正向—逆向—自由”三次思維層次上的提升。

（一）素材選擇，簡單而“不簡單”

本節課以民樂團招新情況為題材，分成三大板塊展開。以前測題為基礎，不斷減少條件，讓學生自行補充，給予他們更多自主選擇的空間，使不同水平的學生均有收獲。從正向出發，已知“1倍數”求多倍數；到逆向，已知多倍數求“1倍數”；最后，各層次的學生都能夠“跳一跳，摘到桃子”——學生自然而然地遷移知識和經驗，順利解決“幾倍多幾”和“和倍”相關問題。這些都是從一個素材出發引發的思考，看似簡單的素材，卻帶來了“不簡單”的思考。隨著素材的不斷變化，學生也不斷深化對“倍”的認識和對“1倍數”的理解。

（二）數形結合，助力“1倍”模型的建構

前測中發現，畫圖和讀圖能力直接影響學生解決問題的水平，因此在本節課的三大板塊中，要求學生根據自己的理解將信息和問題在線段圖中體現出來。看圖找條件所對應的份數，這實際上就是高學段要滲透的“量”“率”對應。后續學習比和分數相關內容時，同樣需要借助線段圖。數形結合，凸顯“1倍數”的重要性，學生在看圖和講解時能感受到“對應”的魅力。

（三）多次對比，理解“倍”的本質

不同學生答案的三次同屏對比，能夠給學生帶來一定的沖擊力。第一次對比時，學生發現，在已知“1倍數”的條件下，最終要解決的問題都變成了求幾個“1倍數”是多少的問題。有了這樣的對比經驗后，學生在第二環節的學習中自然會想到進行對比溝通。第二環節中，雖然不同學生補充的條件和問題不同，但因為關鍵信息（倍數關系）相同，解決的方法也相同。第一步都是求“1倍數”，學生在對比中深刻感受到“1倍數”的重要性，這為今后單位“1”的學習做足了鋪墊。第三環節難度雖然加大，但學生依舊能遷移之前所學的方法，結合圖形，找準份數和量之間的對應關系。通過三次對比，學生還能夠感受“轉化”是數學學習中非常重要的策略。把一個問題變成一類問題正是這堂課的核心所在。

一節課或許無法立刻給學生的學習效果帶來巨大的變化，但通過這樣的教學設計，凸顯“1倍數”、畫圖讀圖以及對應關系的意識，確實能夠激發學生的思考。教師在教學中可以多讓學生經歷這樣的過程，使他們深刻感悟“1倍數”的重要性、對應關系的關鍵性以及轉化意識的必要性，從而建構起一個完整的倍數問題知識結構。

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