巧用4個“+”玩轉立體圖形

［摘 要］空間觀念是小學數學核心素養之一，培養空間觀念是發展空間想象力的基礎。在進行幾何教學時，充分利用各種條件，引導學生按照“觀察+提問”“拆解+組裝”“分析+歸納”“演示+變式”這4個環節對幾何形體展開深度學習，能有效培養學生的空間觀念，發展學生的核心素養。

［關鍵詞］正方體；幾何教學；空間觀念

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2024）23-0044-04

學者王林全認為，空間觀念就是對圖形進行識別，理解其相關特征，能夠用語言描述圖形的運動變化的過程。基于此，筆者以蘇教版教材六年級上冊第一單元“表面涂色的正方體”活動課為例，引導學生按照“觀察+提問”“拆解+組裝”“分析+歸納”“演示+變式”4個環節（4個“+”）展開學習，提升空間認知能力。

“表面涂色的正方體”一課作為第一單元基礎知識的拓展和延伸，旨在探究將表面涂色的正方體分成若干等份后每個小正方體表面涂色的情況，以及其中的規律，要求學生具備較高的空間想象力。筆者通過 4個“+”的教學環節設計，將抽象的幾何規律轉化為具象的圖形認知，提升學生動手操作和分析歸納能力，提高學生應用所學知識解決實際問題的能力，增強學生的空間觀念，最終發展核心素養。

一、“觀察+提問”，在討論思考中啟發學生建立空間觀念

觀察是有目的、有計劃、主動參與的知覺過程，提問是有準備、有針對、積極思維的啟發行為。教學伊始，筆者通過“觀察+提問”相結合的方式，引導學生逐步從表面涂色的正方體的表象中發現問題，為后續的拆解、分析以及歸納問題作鋪墊。

筆者在教學初始以課件和實體同步的方式展示棱長分為3等份的正方體（如圖1），讓學生先觀察并提出數學問題，再逐步展開想象：將正方體按照圖示均分后，對0面、1面、2面、3面涂色的小正方體各有多少提出自己的猜想。

師：這是一個表面涂色的正方體，仔細觀察，你可以提出哪些問題？

生1：這個正方體的表面積是多少平方厘米？

生2：這個正方體的體積是多少立方厘米？

生3：這個正方體可以平均分成多少個小正方體？

生4：分成的小正方體每個面的涂色情況相同嗎？若不同，每種情況的數量是多少？

（筆者將學生反饋的問題板書在黑板上）

上述案例中，筆者鼓勵學生踴躍提出問題，及時對學生提出的問題進行集中整理，為學生接下來的動手操作提供方向。

二、“拆解+組裝”，在動手操作中幫助學生建構空間觀念

荷蘭數學教育家弗賴登塔爾認為：“數學學習是一種活動，這種活動與游戲、騎自行車是一樣的，不經過親身體驗，僅僅從看書本、聽講解、觀察他人的演示是學不會的。”認知始于操作，操作促進認知。小學生的理解、記憶如果能建立在直觀操作、動手實踐的基礎上，那么知識就會牢牢地扎根在腦海中。因此，在立體圖形教學中，想要滿足學生的學習需要，教師就必須提供具有多樣性和層次性的操作活動。在接下來的教學環節中，筆者把每4名學生分成一個小組，共設計三個活動，再在每個活動中根據學生操作的進程適時提出新問題，以順利推進教學展開。

（一）分正方體

筆者播放正方體（如圖1）的分割視頻，讓學生通過小組合作，照葫蘆畫瓢將分發給的正方體分割。

師：請將桌上棱長3等分的正方體像視頻中這樣分割，分割完成后在小組內交流。

生1：我發現一共可以分成27個小正方體。

生2：這些小正方體的表面涂色情況不是完全相同的。

生3：有的3面涂色，有的2面涂色，有的1面涂色，還有的6個面都沒有涂色。

生4：這些小正方體的表面涂色情況為什么不一樣？

生5：我數了一下，3面涂色的有8個，2面涂色的有12個，1面涂色的有6個，6個面都沒有涂色的有1個。為什么它們的個數都不一樣呢？

學生在分割后獲得一些發現：一共可以分成27個小正方體，小正方體的表面涂色不是完全相同的。同時，學生提出了一些新問題，如“這些小正方體的表面涂色情況為什么不一樣”，學生提出的新問題將進一步激發他們的探究欲。

（二）搭正方體

師：帶著這些問題，讓我們一起來復原這個正方體，限時2分鐘。

（學生迅速動手操作）

師：時間到。只有2個小組完成了，其他小組都沒有完成。沒有完成的小組能說一說原因嗎？

生6：我們擺出來的正方體總有表面沒有涂色的地方，反復重新擺，浪費了很多時間。

師：為什么擺出來的正方體總有表面沒有涂色的地方呢？已經完成的2個小組有什么建議嗎？

生7：6個面都沒有涂色的小正方體要放在最中間。

生8：有3個面涂色的小正方體要放在頂點的位置上。

生9：總的來說，表面涂色不同的小正方體放的位置是有規律的。

師：表面涂色不同的小正方體應分別放在哪里呢？請同學們在小組內討論一下這個問題。

（學生小結：6個面都沒有涂色的小正方體在最中間，有3個面涂色的小正方體在頂點的位置上，有1個面涂色的小正方體在面上。其中，有2個面涂色的小正方體的擺放位置學生不會描述，但是用教具指出了在棱的位置上。）

通過在限定的時間內完成正方體的復原工作，學生對小正方體的擺放位置進行了觀察和思考。在小組討論與交流后，筆者組織全班學生一起對涂色不同的小正方體的擺放位置特點進行小結。

師（出示圖2）：我們弄清了不同涂色的小正方體的擺放位置，那么它們各有多少個呢？各數量的多少與正方體的特征有沒有關系呢？

生10：3面涂色的都在頂點上，一共有8個頂點，所以3面涂色的有8個。

生11：2面涂色的都在……

師：棱上，我們可以把這個位置叫棱上。

生11：2面涂色的都在棱上，每條棱上有1個，一共有12條棱，所以2面涂色的有12個。

生12：1面涂色的都在面上，每個面上有1個，一共有6個面，所以1面涂色的有6個。

生13：6個面都沒有涂色的在中心，只有1個。

師：經過交流，如果現在讓你再復原一次正方體，你有什么方法能又好又快地完成嗎？

生14：可以將涂色不同的小正方體分門別類放好，再按位置擺放不同的涂色小正方體。

師：請你們再次復原正方體，看哪個小組用時最短。

在復原正方體的活動中，筆者引入涂色正方體的拆解示意圖，然后適時引出“棱”的概念，幫助學生在“拆解”和“組裝”之間、在抽象與具象之間搭建一座橋，從而建立起空間觀念。帶著活動的收獲，學生再次復原正方體，這時學生很快就能完成。這不僅讓學生積累了知識，而且感受到了成功的樂趣，增強了學生學習數學的興趣。

三、“分析+歸納”，在探索規律中幫助學生鞏固空間觀念

心理學家羅杰斯認為，一個人的創造力只有在“心理安全”和“心理自由”的條件下，才能獲得最大限度的表現和發展。教育亦然，在教學中，教師要善于引導學生進行分析、歸納，使學生的心理從探索知識時的“不安全感”轉化為收獲知識的“滿足感”。

在搭正方體的活動中，學生一開始只會通過數數發現涂色不同的小正方體各有多少個，因而在第一次復原正方體時是比較盲目且無措的，這也是部分小組沒能完成的原因。隨著操作活動的開展，學生會主動思考“為什么不能完全復原？”“小正方體的擺放位置是不是有什么規律？”“不同涂色的小正方體的個數是不是和正方體的特征有關？”等問題。這一連串問題產生的過程，正是學生不斷逼近本節課核心知識的過程。當學生成功掌握本節課的核心知識后，他們不再需要通過數數去了解不同涂色小正方體的個數，再次復原正方體時也更有條理和章法。

師：同學們第二次復原正方體的完成情況明顯比第一次好很多。誰能分享你們復原的心得？

生1：經過之前的討論，我們知道了每種涂色的小正方體的擺放位置，復原時就不用再反復嘗試了，節省了很多時間。

生2：我們在復原過程中發現有錯誤，但也能根據涂色的小正方體的擺放位置特點快速做出調整。

生3：我們小組里每個人負責一種涂色的小正方體，復原到相應的位置就由手持相應涂色的小正方體的同學擺，所以完成得很快。

師：經過均分正方體、復原正方體、再復原正方體，我們發現不同位置的小正方體涂色的情況不一樣，個數也不一樣。現在讓我們一起來總結一下。

（師生一起總結，并制成表1）

師：我們研究了每條棱被平均分為3份時不同涂色小正方體的情況，如果棱被平均分為4份、5份……結果又會怎樣呢？根據我們剛才的探究過程，展開你的想象力，也嘗試制成一個表格吧。

（學生獨立制表，見表2）

師：觀察表2，你能發現什么規律？

生4：3面涂色的小正方體都在正方體頂點的位置，都是8個。

生5：2面涂色的小正方體的個數都是12的倍數。

生6：1面涂色的小正方體的個數都是6的倍數。

生7：6個面都沒有涂色的小正方體的個數是立方數，為13，23，33等。

師：如果用n表示把正方體的棱平均分的份數，你能用含有n的式子表示每種涂色小正方體的情況嗎？

（56e65922c03d64729ff8c3db6611ddf4學生討論制表，見表3）

四、“演示+變式”，在視覺沖擊中幫助學生深化空間觀念

根據物體抽象出幾何圖形、根據幾何圖形想象出所描述的實際物體是學生必備的空間觀念之一。學生在學習幾何圖形時，只有在直觀感知的基礎上展開充分的想象，才更容易理解和掌握幾何圖形知識。同時，清晰的表象能為學生理解概念打下良好的基礎。變式規律告訴我們，變式越豐富，本質特征顯示得越明顯。因此，教師應引導學生借助變式深化空間觀念。

讓學生自己找出每種涂色小正方體的情況與棱等分成的份數之間的關系是十分困難的，這就需要發揮教師的主導作用，在教學過程中給學生以幫扶，補充學生想象上的空缺。筆者借助課件動態演示棱長4等分的涂色正方體的拆解過程（如圖3），讓學生不僅直觀感受到不同涂色小正方體的特點，還讓學生對3面涂色的小正方體數量為什么都是8，2面、1面、0面涂色的小正方體的數量為什么都要先減2再算有了直觀感受，提升了空間想象能力。

在實際教學過程中，不可能所有與幾何圖形相關的知識都要求學生進行動手操作，因此，視覺的刺激所帶來的效果就起到了十分重要的作用，比單純的想象印象要更加深刻。對于幾何圖形這類抽象、難懂的內容，單純依靠想象，學生會感覺到有難度。而利用直觀、動態的形式呈現知識點，能讓學生在看得到的前提下去思考，在視覺沖擊中展開想象，最終深化空間觀念。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 孔凡哲，祖丹.在操作中培養幾何直觀[J].中學生數理化（七年級數學）（配合人教社教材），2016（12）：5-7.

［2］ 李玉龍，朱維宗.小學初步空間觀念及其培養[J].現代中小學教育，2008（10）：47-49.