重視閱讀，加深理解，鼓勵創造

【摘 要】高考命題要打破固有模式，力求試題創新是大勢所趨，本文從2024年九省聯考高中數學中一道備受爭議的題出發，探索了當前高考命題理念變革下，數學課堂培養學生閱讀、思維的邏輯和路徑，提出要重視數學閱讀，加深學生對于數學的理解，鼓勵學生大膽創造。

【關鍵詞】九省聯考；同余；費馬小定理；數學閱讀

一、引言

在2024年1月舉行的九省聯考高中數學科目中，第19題引發了廣泛的討論。眾多師生對此題的難度表示了極大的困惑和不滿，認為題目難以理解，甚至無法下手。然而，一些教育專家和學者卻對這道題給予了高度評價，認為該題緊密結合了實際情境，是一個很好的問題設計。高考命題注重學用結合，緊密結合國家經濟社會發展、科學技術進步、生產生活實際等創設情境，充分考慮學生的學習和生活實際，把課本知識與具體真實的世界聯系起來，考查學生靈活運用所學知識分析和解決實際問題的能力，引導學生在解決實際問題的過程中建構知識、培養能力、提升素養。筆者認為，高考命題理念已從“知識立意，能力立意”轉向“價值引領，素養導向，能力為重，知識為基”，“打破固有模式，力求試題創新”是大勢所趨，因此，廣大一線教師需要及時變革教學方式。基于此背景，本文以第19題為切入口，重新審視數學教學。

二、例題呈現

離散對數在密碼學中有重要的應用。設p是素數，集合X={1，2，…，p-1}，若u，v[∈]X，m[∈]N，記u[?]v為uv除以p的余數，um，[?]為um除以p的余數；設a[∈]X，1，a，a2，[?]，…，ap-2，[?]兩兩不同，若an，[?]=b（n[∈]{0，1，…，p-2}），則稱n是以a為底b的離散對數，記為n=log（p）ab。

（1）若p=11，a=2，求ap-1，[?]。

（2）對m1，m2[∈]{0，1，…，p-2}，記m1[]m2為m1+m2除以p-1的余數（當m1[+]m2能被p-1整除時，m1[]m2=0）。證明：log（p）a（b[?]c）=log（p）ab[]log（p）ac，其中b，c[∈]X。

（3）已知n=log（p）ab。對x[∈]X，k[∈]{0，1，…，p-2}，令y1=ak，[?]，y2=x[?]bk，[?]。證明：x=y2[?]y1n（p-2），[?]。

三、試題分析及解題思考

1.抽象的符號表達導致學生讀不懂

看不懂題是學生不會作答的直接原因。對大部分學生而言，此題不僅符號抽象，而且表達“怪異”。通常對于同余運算，都是利用“mod”（音譯“模”）符號進行表達，此運算也被稱作“模”運算。例如，b≡um（modp）表示“um除以p的余數是b”，而此題卻有意把它表示為“um，[?]=b”，究其原因，最大的可能是基于公平的一種變通：如果用mod表示，對于那些熟悉這種運算的學生，尤其是有過競賽經歷的學生而言是非常有利的，而采用一個大家都不熟悉的新符號，相對而言比較公平。同時，這也反映了一個基本事實，那就是數學的符號表示并不固定：會因人而異，比如牛頓用“x”表示導數，而萊布尼茨則用“[dydx]”；也會因時代而異，比如加號一開始用得最多的是“μ”，15世紀以后慢慢演變為“+”；更會因社會文化而異，比如歐美人習慣把數字“1”寫作“lt;E：＼駱曉梅＼中小學課堂＼2024-8＼圖片＼001.tifgt;”，目的是避免與字母“I”混淆，把數字“7”寫成“7”，目的是不與“lt;E：＼駱曉梅＼中小學課堂＼2024-8＼圖片＼001.tifgt;”混淆。數學符號表達要力求簡潔、美觀、合理、完整，否則會被淘汰。本題中用“um，[?]=b”表示同余運算，雖然也簡潔，但并不完整：在表達式中，um表示被除數，[?]表示運算符號，b表示余數，但卻看不到除數p。完整的符號表達應該把運算符號、運算對象等關鍵元素都呈現出來，如n=log（p）ab，否則會給學生帶來閱讀障礙，影響獲取信息的效率和完整性。

數學語言的獨特魅力源自符號化的表達，讀懂符號是數學學習的基本訴求，而數學閱讀能力是核心要求。數學閱讀是從背景、數據等材料中獲取信息的心理活動過程，不僅包括對數學文字語言、符號語言、圖表語言的理解、記憶、認知等過程，還包括對材料的邏輯結構進行分析、綜合、歸納、推理、猜想等一系列思維過程，是區別于一般閱讀的較為復雜的智力活動。［1］本題呈現的數學符號較多，涉及的邏輯關系比較復雜，學生需要通過閱讀把其中的關鍵信息轉化為易于理解的形式。比如，um，[?]=b可以直接轉化成um=np+b（n∈N）。又比如，關于離散對數定義an，[?]=b[?]n=log（p）ab，通過類比一般對數的定義an=b[?]n=logab，發現兩者在本質上并沒有區別，而對于要證明的結論log（p）a（b[?]c）=log（p）ab[]log（p）ac，它跟對數的加法法則logabc=logab+logac基本保持一致。遺憾的是很多學生不會想到這樣去表示，也不會與學過的知識進行類比，從而出現了閱讀障礙。

2.二級結論的運用超出多數學生的認知

只要能讀懂題，本題無論是計算量還是涉及的運算技巧，相比于以往的壓軸題都要簡單得多了。一些“高手”的做法如下：

第（1）問，210=93[×11+1]，則210，[?]=1。

第（2）問，設m=log（p）a（b[?]c），m1=log（p）ab，m2=log（p）ac，則am≡am，[?]≡b[?]c≡bc（modp），[am1]≡[am1，?]≡b（modp），[am2]≡[am2，?]≡c（modp）；則有[am1+m2]≡[am1+m2，?]≡bc（modp），所以am≡[am1+m2]（modp）；由費馬小定理和同余基本性質得am·1≡[am1+m2]·ak（p-1）（modp），k∈N，即am≡[am1+m2+k（p-1）]（modp），則m≡（m1+m2）mod（p-1），即m=m1[]m2，所以log（p）a（b[?]c）=log（p）ab[]log（p）ac。

第（3）問，可知b≡an（modp），y1≡ak（modp），y2≡x[?][bk，?]≡xbk（modp），則y2[?][y1n（p-2），?]≡y2y1n（p-2）≡xbkakn（p-2）（modp）≡xakn（p-1）（modp），由費馬小定理得akn（p-1）（modp）≡1，所以y2[?][y1n（p-2），?]=x。

上述運算過程不僅用到了同余式的一些基本性質，還需要借助費馬小定理：如果p是一個質數，且a不是p的倍數，那么ap-1≡1（modp）。

這些性質與定理讓解題變得比較簡單，但換一個角度來看，學生如果已經掌握了這些知識，這道題目還有何意義？正是因為不了解，所以需要學生主動去獲取知識，當場學習新的運算，因此試題考查的重點并不是運算的本身，而是考查學生做中學、學中做的能力。

3.基于通性通法的解題思考

顯然，“高手”的方法并不適合普通學生，因為其中涉及的方法與結論已經超出了他們的認知范疇。那么站在普通學生的立場上，利用已有的知識如何解答？

本題的解題關鍵是要把題目中的信息用已知、熟悉的方式表示出來。

對于第（2）問，設[am1]除以p的余數為b，[am2]除以p的余數為c，則存在自然數[λ]和[μ]使[am1=λp+b]，[am2=μp+c]成立，其中m1，m2[∈]{0，1，…，p-2}，則[am1+m2]=λ[μ]p2+（cλ+b[μ]）p+bc，即[am1+m2，?]=b[?]c=[am，?]①。

于是得到結論：[am1+m2]，am除以p的余數相等。

題目要證明的結論是m=m1[]m2[?]m1+m2=m+t（p-1），t∈N②，即m1+m2，m除以p-1的余數相等。那么這兩個結論之間有什么關系？建立起它們之間的關聯性是證明的難點，可以引導學生按照執果索因的思路展開分析。

把②代入①得[am1+m2，?]=[am+t（p-1），?]=[am，?][at（p-1），?]=[am，?]③，要使③恒成立，則[at（p-1），?]=1，即[ap-1，?]=1[?]ap-1=1+lp，l∈N，其實這就是費馬小定理表達的觀點。由此可見，讓學生重新經歷費馬小定理的推導過程才是考查的意圖，這對于學生來說顯然非常有挑戰性。幸好題目中給出了一些關鍵條件作為鋪墊，只要學生善于思考挖掘，證明其實并不困難。

因為1，a，[a2，?]，…，[ap-2，?]兩兩不同，所以存在i[∈]{0，1，…，p-2}，使得[ap-1，?]=[ai，?]，記[ap-1]=[λp+][ap-1，?]，[ai]=[λp+][ai，?]，[λ∈]N，則[ap-1]-[ai=][ai]（[ap-1-i-1]）可以被p整除，于是[ap-1-i-1]可以被p整除，即[ap-1-i，?=1]。若i[≠0]，因為i[∈]{0，1，…，p-2}，所以p-1-i[∈]{0，1，…，p-2}，則[ap-1-i，?≠1]，矛盾，因此i=0，[ap-1，?=1]。

雖然很多學生很難想到這樣去證明，但至少這樣證明的思路是自然的，是學生能夠看懂的。經歷了第（2）問的證明，學生對于同余運算的內涵與性質的了解會更加深入，對于符號的表達與運用也會更加熟練。在此基礎上，再去解答第（3）問，推導過程就會簡單得多。

y2=x[?][bk，?]=x[?][（b?b?…?b）k]=

x[?][an，??an，??…?an，?k]=x[?][a?a?…?ank]，

[yn（p-2），?1]=[y1?y1?…?y1n（p-2）]=[ak，??ak，??…?ak，?n（p-2）]=

[ap-2，??ap-2，??…?ap-2，?nk]，y2[?yn（p-2），?1]=

x[?][a?a?…?ank][?][ap-2，??ap-2，??…?ap-2，?nk]=

x[?][ap-1，??ap-1，??…?ap-1，?nk]。

由（2）的證明知[ap-1，?=1]，所以y2[?][y1n（p-2），?]=x。

能夠直接利用題目中給定的運算符號進行推理論證，說明學生已經理解并掌握了這種運算，這才是命題的初衷。

四、教學反思

不論是“高手”的方法，還是普通學生能夠理解的方法，對于大多數學生來說都是存在思維鴻溝的。這類問題考查的不是具體的知識與技能，而是學生的思維能力，具體而言就是數學閱讀能力、理解能力與創造能力，這些能力不是通過做題就能獲得的。那么，如何讓學生具備解決這類問題的能力呢？

1.重視數學閱讀

雖然數學閱讀能力已經成為高考評價的核心指標，對數學閱讀能力考查的權重與要求也逐年提高，但是數學閱讀還是沒有引起廣大一線教師足夠的重視，對于學生數學閱讀能力的培養更是缺乏系統性的措施。調查表明，88.5%的學生選擇閱讀數學教材，但閱讀欲望不強；而75%的學生沒有主動閱讀課外材料的動機。［2］對于第19題這類題目，它首先考查的就是數學閱讀能力，面對眼花繚亂的數學符號，如果學生不具備超強的閱讀能力，問題解決就無從談起。閱讀本身就是一種有效的學習方式，閱讀的過程就是學習的過程。

數學閱讀教學可以采取分層遞進的方法。可以先從閱讀教材開始，如在章節起始課中，先組織學生閱讀教材中章節引言，讓學生明確學什么、如何學、學了有什么用，從而在后續數學學習中有的放矢；在概念辨析環節中，組織學生閱讀教材中的數學定義，并讓學生對關鍵的語句進行逐個解讀，從而促進學生的自主建構；面對情境相對復雜的數學問題，鼓勵學生反復閱讀題干，嘗試尋找條件與結論之間的聯系，從而提升數學推理能力。當學生的閱讀能力提升到一定程度時，可以讓學生嘗試閱讀拓展材料，甚至開設專門的數學閱讀課。數學閱讀課不僅能讓學生擁有固定的時間閱讀更多的專業數學讀物，如期刊文章、數學專著、名家傳記等，而且還能在課堂上學到科學的閱讀方法。例如，層次、結構、概括是數學閱讀的基本環節：“層次”指閱讀材料的層次，以及逐層進行意義剖析；“結構”指理順各層之間的關系，形成對閱讀材料的整體認識；“概括”指在層次、結構的基礎上對閱讀材料進行抽象和概括，以實現由感知到覺悟的飛躍。基于這一認識，“三讀”（即“粗讀—復讀—精讀”）是一種非常有效的閱讀方法。對于類似第19題的題目，先粗讀，瀏覽全題，掌握概貌；再復讀，弄清問題的結構，領會抽象的符號表達；最后精讀，深入理解題意，激發創新思考。［3］運用科學的閱讀方法，學生完全可以在短時間內達成“讀通、弄懂、理清和學會”的目的。

總之，教師要重視數學閱讀，自覺改進教學方法，主動將數學閱讀納入課堂的教學環節中，與講授、練習等有機結合，讓數學閱讀成為數學課堂教學的重要環節，成為知識建構的必要手段，共同構筑課堂教學的最優結構。［4］

2.加深數學理解

數學知識的獲得與應用都是以理解為基礎的，教學活動的設計與實施本質上就是促進學生理解的過程，但要真正達成理解卻并非易事。數學理解并不是簡單的“懂了”“知道了”，理解強調的是對數學的理解能力，不僅能以正確的方式完成任務，而且有能力解釋為什么特定技巧、方法或知識主體在特定情境下是合適的或不合適的。數學理解具有三大特征［5］：（1）過程性。即展現由表及里、由淺入深、由具體到抽象的認知過程。（2）默會性。數學理解不是固定的、形式化的過程，而是需要從實踐中領悟，雖然可以被傳授、學習和積累，卻需借助復雜的思維活動才得以實現。（3）層次性。學生對知識的建構最初或許只是將已有經驗或知識簡單地堆砌起來，但隨著理解的不斷深入，會逐步建立起復雜交錯的聯系，通過與先前的知識的整合和對原有知識結構的改進，學生能達到不同的數學理解層次。

例如，對于第19題中出現的“離散對數”概念，如果學生能夠熟練地進行um，[?]=b與n=log（p）ab的轉化，那么能不能說學生理解了？這只能說學生初步理解了離散對數的符號表示，并不能代表已理解其內涵。那么離散對數的內涵是什么？一般對數logab表達的是“a的多少次方的值是b”，通過類比，離散對數log（p）ab表達的是“a的多少次方除以p的余數值是b”。進一步研究，還可以發現離散對數的值不唯一，具有周期性，當p值足夠大時就很難計算它的值等性質與結論。因此，只有研究得足夠深入，才能達成對數學的深入理解，完成從“知其然”到“知其所以然”，再到“知何由以知其所以然”的跨越。

在日常教學實踐中，教師可以采取多樣化的教學策略以深化學生的理解。例如，在“函數的性質”教學中，教師可以引導學生通過繪制不同函數的圖象，直觀感受函數的增減性和周期性；在講解立體幾何時，可以讓學生使用3D打印模型來直觀認識幾何體的結構，從而加深對空間關系的理解；在解析幾何部分，可以利用圖形計算器動態展示曲線的平移、伸縮等變換，幫助學生理解坐標變換對圖形的影響。此外，還可以設計分層作業，為學生提供基礎題和拓展題，確保每個學生都能在能力范圍內得到挑戰和成長。通過這些具體實踐，教師不僅是幫助學生掌握數學知識，更重要的是要激發他們對數學深層次理解的渴望，從而培養分析問題、解決問題的能力。

3.鼓勵數學創造

數學不僅僅是一種工具或語言，更是一種創造性的活動。凡在數學上創立新概念、新理論、新模型，提出新方法，證明新定理等，都可稱作數學領域中的發明或創造。例如，通常情況下用“mod”來表示同余運算，用d loga，pb或indab來表示離散對數，而第19題卻用不同的符號進行表達，這就是一種創造。同樣，對于“um，[?]=b”表達式中除數缺失問題，學生也完全可以創造一個符號，比如，u（m，p）[?]=b、［um］p=b等，以便于自己理解。

數學家們的創造性工作不僅開拓了新的數學領域，還為人類提供了更深刻的理解和應用數學的方式。因此，在數學學習中，教師要鼓勵學生創造。尤其是面對情境新穎、背景陌生、表達抽象的問題，創造性思維可以幫助學生發現新的方法，建立新的模型，提出新的思路，從而更好地應對未知的挑戰。在數學教學中激發創造力，關鍵在于營造一個鼓勵探索的開放性學習環境。教師應引導學生超越傳統思維，通過提問、觀察、抽象和實驗，培養學生的創新意識，如小組討論和合作學習可以促進學生之間的思想碰撞，激發新的想法。同時，教師需要重視學生的錯誤和失敗，將其視為學習和成長的機會。此外，設置開放性問題可以幫助學生構建系統的思維框架，鼓勵他們跨學科學習，進行深入的探索和創造性的發明。

五、小結

把數學知識當作數學是一種誤解。學習數學不是以懂得多少數學公式為目標，而是要重視解決問題的過程中用到的思維方法，也就是數學思維。有數學思維的人，不僅做事有條理，而且擅長獨立思考，能多角度開辟思維點，進行逆向思考，這正是未來人才必備的素養，因此思維的考查理所當然地是數學高考的重中之重。在這個大背景下，教師的教學理念、學生的學習方式也應該做到與時俱進。

參考文獻：

［1］任子朝，陳昂，趙軒. 加強數學閱讀能力考查 展現邏輯思維功底［J］. 數學通報，2018（6）：8-13.

［2］顧衛峰，汪曉勤. 提升數學素養，關注數學閱讀［J］. 基礎教育課程，2022（3）：95-100.

［3］王旭勤，張紅平. 基于數學學科核心素養的數學閱讀教學研究［J］. 教育理論與實踐，2020（29）：59-61.

［4］呂增鋒. 高中數學閱讀課的功能定位及實施策略［J］. 課程教材教學研究（教育研究），2023（6）：31-34.

［5］王瑞霖，綦春霞. 數學理解的五層遞進及教學策略［J］. 中國教育學刊，2014（12）：40-45.

（責任編輯：潘安）