關(guān)聯(lián)視域下兒童數(shù)學結(jié)構(gòu)化思維培育策略

【摘 要】數(shù)學知識具有很強的邏輯性和系統(tǒng)性，而兒童思維因其局限性，缺少對知識脈絡的梳理關(guān)聯(lián)。文章指出，數(shù)學教學應是注重數(shù)學聯(lián)系的教學，教師要打破兒童割裂的、分散的、點狀的思維方式，從關(guān)聯(lián)的視角引導兒童固點、連線、組網(wǎng)、構(gòu)體，通過夯實關(guān)聯(lián)點，梳理關(guān)聯(lián)線，組建關(guān)聯(lián)網(wǎng)，架構(gòu)關(guān)聯(lián)體等方式，培育兒童的數(shù)學結(jié)構(gòu)化思維。

【關(guān)鍵詞】小學數(shù)學；關(guān)聯(lián)；結(jié)構(gòu)化思維；策略

數(shù)學知識具有很強的邏輯性和系統(tǒng)性，這些相互關(guān)聯(lián)的知識縱橫交錯，構(gòu)成數(shù)學知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡。《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課標（2022年版）》）強調(diào)，在教學中要重視對教學內(nèi)容的整體分析，幫助學生建立能體現(xiàn)數(shù)學學科本質(zhì)、對未來學習有支撐意義的結(jié)構(gòu)化的數(shù)學知識體系。［1］85

因此，教師要打破兒童割裂的、分散的、點狀的思維方式，從關(guān)聯(lián)的視角引導兒童固點、連線、組網(wǎng)、構(gòu)體，深入挖掘數(shù)學知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，建立結(jié)構(gòu)化的數(shù)學知識體系，培育兒童的數(shù)學結(jié)構(gòu)化思維。

一、現(xiàn)狀審視：被割裂的“思維地圖”

兒童的思維具有直觀、具體、淺顯的特點，這就造成兒童在自主構(gòu)建數(shù)學知識網(wǎng)絡時，容易受割裂式思維的影響，缺少對知識脈絡的梳理關(guān)聯(lián)，以及對知識體系的整體思考。割裂式思維將本來具有內(nèi)在關(guān)聯(lián)的要素割裂成互不相干的要素，從而打破了數(shù)學知識的體系性與完整性，具體來說，主要表現(xiàn)在以下幾個方面。

（一）過程與結(jié)果的割裂

從學習角度來看，缺乏過程的結(jié)果是沒有體驗及深刻理解的，不追求結(jié)果的過程則是缺乏價值和意義的。因此，有效的小學數(shù)學教學應該致力于追求過程與結(jié)果的和諧統(tǒng)一，使學生在學習數(shù)學思維結(jié)果的同時，領會數(shù)學思維方式，發(fā)展數(shù)學能力，積累數(shù)學活動經(jīng)驗，感悟數(shù)學思想方法。

但在數(shù)學教學中，我們經(jīng)常會發(fā)現(xiàn)，當某一知識點的教學告一段落時，教師問及學生：“這個公式（概念、定理）是怎么推導出來的呢？”回應這個問題往往是安靜的課堂或是支吾的回答，這就是過程與結(jié)果割裂的表現(xiàn)。造成這一現(xiàn)象的原因，一方面與教師的教有關(guān)，部分教師教學時仍有重結(jié)果、輕過程的意識，教學過程中不注重引領學生經(jīng)歷、感悟知識形成的過程；另一方面也與學生的學有一定的關(guān)聯(lián)，兒童片面、淺顯的思維特點決定了他們往往只會記住知識的結(jié)論，而不愿意對知識發(fā)生發(fā)展的過程窮根究底，因此，無法將知識納入自己的認知結(jié)構(gòu)。此外，由于長期以來對學生學習評價的方式還是以分數(shù)為主，而對學生“知識與技能”以外的“過程與方法”“情感態(tài)度與價值觀”評價較少或是難以評價，因此一定程度上造成了學生在學習過程中重結(jié)果、輕過程。

（二）知識與知識的割裂

數(shù)學知識是一種高度抽象化的邏輯知識，這種邏輯性使得每一個數(shù)學知識點有著與之相關(guān)的前期知識和后續(xù)知識。因此，數(shù)學知識并不是以點狀的形式孤立存在于知識結(jié)構(gòu)中，而是以線狀、面狀、網(wǎng)狀的形式存在。而在實際教學中，大都以課時為單位進行教學，學生接收到的知識是零散的，認知具有局限性［2］，對于知識信息的反饋也往往是點狀的，他們能準確地說出學習了哪些知識，但無法把這些知識關(guān)聯(lián)起來。這種知識與知識間的割裂，不僅不利于學生數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的體系化，更會導致這些孤立的知識點因缺乏有意義的聯(lián)系，而極易發(fā)生知識間的顛倒混亂，造成認知錯位。這也是有些學生知識存儲快且豐富，但在提取知識解決問題時卻頻頻出錯的一個原因。

（三）學科與學科的割裂

現(xiàn)今的世界發(fā)展明顯地呈現(xiàn)出學科交叉融合和相互激蕩的趨勢。分科教學制能對某一學科的結(jié)構(gòu)、體系進行專門化的研究，使這一學科的學習更專業(yè)、更深入，但與此同時，它也一定程度割裂了學科與學科之間的聯(lián)系。數(shù)學作為一門基礎學科，是我們學習、生活和勞動中必不可少的工具。因此，它與科學、地理、物理、語文等學科有著千絲萬縷的聯(lián)系。但現(xiàn)實中，數(shù)學課堂上，學生能夠調(diào)用自己的數(shù)學相關(guān)知識來學習新知、解決問題，當步入其他課堂或是走入現(xiàn)實生活時，學生往往無法主動調(diào)用數(shù)學知識來解決面臨的實際問題，跨領域建立知識體系恰恰是他們所缺乏的。

二、內(nèi)涵挖掘：走向關(guān)聯(lián)的結(jié)構(gòu)化思維

《課標（2022年版）》指出，為實現(xiàn)核心素養(yǎng)導向的教學目標，不僅要整體把握教學內(nèi)容之間的關(guān)聯(lián)，還要把握教學內(nèi)容主線與相應核心素養(yǎng)發(fā)展之間的關(guān)聯(lián)。［1］85因此，數(shù)學學習中的關(guān)聯(lián)一方面指用聯(lián)系的觀點將所學內(nèi)容與其相近、相似的知識聯(lián)系起來，另一方面指將教學內(nèi)容與相應的核心素養(yǎng)聯(lián)系起來。

數(shù)學結(jié)構(gòu)化思維是指在面對數(shù)學問題時，能從多個角度深入地分析數(shù)學問題，利用關(guān)聯(lián)的、結(jié)構(gòu)的、系統(tǒng)的思維找到解決數(shù)學問題的方案，進而順利地解決數(shù)學問題。數(shù)學結(jié)構(gòu)化思維是以數(shù)學知識的結(jié)構(gòu)為思維對象，以對數(shù)學知識的結(jié)構(gòu)進行建構(gòu)為思維過程，通過對數(shù)學知識的結(jié)構(gòu)進行梳理建立結(jié)構(gòu)化的數(shù)學知識網(wǎng)絡。［3］

數(shù)學是研究關(guān)系的，如量的關(guān)系、序的關(guān)系等。而這種關(guān)系的尋找、聯(lián)系的發(fā)現(xiàn)，常常需要結(jié)構(gòu)思想的引導。［4］可見，要解決割裂式思維的種種弊端，從關(guān)聯(lián)的視角培育結(jié)構(gòu)化思維是一種可行的方案。這種思維方式不再僅僅把客觀的事物當作沒有自身結(jié)構(gòu)的、孤立抽象的實體，而是從內(nèi)外部的結(jié)構(gòu)、聯(lián)系、系統(tǒng)等關(guān)系狀態(tài)來深入把握它的存在形態(tài)，從結(jié)構(gòu)上動態(tài)地理解事物的存在。可以說，關(guān)聯(lián)為結(jié)構(gòu)化思維的培育提供了實踐路徑，而結(jié)構(gòu)化思維又使關(guān)聯(lián)成為可能。

兒童認知發(fā)展理論認為，兒童認知發(fā)展和知識建構(gòu)涉及圖式、同化、順應和平衡四個方面。因此，兒童結(jié)構(gòu)化思維因其關(guān)聯(lián)性、系統(tǒng)性、結(jié)構(gòu)性，使得發(fā)展受到同化、順應、平衡等的影響，從而實現(xiàn)兒童內(nèi)部圖式體系的不斷改變和擴張。而這種改變和擴張必然會提升學生的“三會”核心素養(yǎng)，從而實現(xiàn)教學內(nèi)容主線與相應核心素養(yǎng)發(fā)展之間的關(guān)聯(lián)。那么，該如何在關(guān)聯(lián)視域下培育兒童的數(shù)學結(jié)構(gòu)化思維？本文對此進行具體探究。

三、實踐尋繹：關(guān)聯(lián)視域下的兒童數(shù)學結(jié)構(gòu)化思維培育

（一）夯實關(guān)聯(lián)點，重視知識的多元生成

關(guān)聯(lián)點指關(guān)聯(lián)的節(jié)點，節(jié)點是我們更好地理解一個知識小系統(tǒng)乃至一門學科體系的基點，指知識體系中一個個具體的知識點。只有掌握這些重要的知識點，學會聯(lián)想、記憶和理解，才能更準確、更有效地理解與這些知識點相關(guān)聯(lián)的知識。因此，兒童結(jié)構(gòu)化思維的培育首先應當夯實關(guān)聯(lián)點，即在教學中，讓兒童站在一定的高度，多角度審視知識點，力求透徹理解其本質(zhì)，為構(gòu)建數(shù)學知識網(wǎng)絡打好基石。

1.追根溯源，重視知識的形成過程

數(shù)學知識的習得不僅要“知其然”，還要“知其所以然”，學生只有經(jīng)歷數(shù)學知識的形成過程，才能真正理解數(shù)學知識的真實來源和意義。因此，在數(shù)學教學中，教師應該把重點放在讓學生經(jīng)歷體驗知識的形成過程上，使學生更好地理解數(shù)學知識的本質(zhì)。學生只有很好地消化了這些知識點，將這些知識內(nèi)化為自己的數(shù)學學習體驗，才能更好地夯實結(jié)構(gòu)化思維的“節(jié)點”。

在教學平面圖形周長和面積計算時，不少學生認為只要記住相應的計算公式就可以了，而不注重對公式產(chǎn)生過程的關(guān)注和理解，從而導致在面對更深層次的數(shù)學問題時，往往無從下手。實際上，這些概念、公式的產(chǎn)生過程蘊含了豐富的數(shù)學知識和數(shù)學思想。比如長方形面積計算公式的推導過程中，包含了以下這些數(shù)學知識：圖形面積的度量本質(zhì)是用單位面積去測量，測量圖形的面積需要用面積單位，常用的面積單位有平方厘米、平方分米、平方米……如果學生沒有經(jīng)歷度量的過程，沒有將面積單位及其換算關(guān)系扎實建構(gòu)，他們就無法理解該知識點的本質(zhì)含義。

2.庖丁解牛，重視知識的漸進分化

奧蘇貝爾的有意義學習理論強調(diào)，有意義的學習必須遵循漸進分化和綜合貫通兩條原則。華羅庚教授把讀書的過程歸納為由薄到厚與由厚到薄兩個階段。兩位學者的見解有著異曲同工之妙，他們都強調(diào)知識的學習要先將整體分成若干個知識單位，當對這些知識單位有了透徹的理解后，再將這些知識單位提取要點，串聯(lián)架構(gòu)新的知識整體。“分”是為了之后更好的“合”，知識的漸進分化，能使學生從更微觀的角度深入理解知識點，深入后方能淺出，從而實現(xiàn)綜合貫通、由厚到薄。

在教學“長方體的認識”一課時，由于學生是第一次系統(tǒng)認識立體圖形，對于從何處入手研究長方體的特征沒有可參考的認知經(jīng)驗。因此，教師可以將學生研究長方體特征的操作活動分解成研究頂點、面、棱三個方面，每一方面又要求學生對其數(shù)量、長度（或大小）進行研究。這樣細分之后，學生自主探究的方向更明確，能夠進入長方體的內(nèi)部世界，親身體驗長方體的結(jié)構(gòu)特點。

（二）梳理關(guān)聯(lián)線，重視知識的多向遷移

與點狀思維不同，線狀思維至少可以在兩點之間尋找到一種相關(guān)聯(lián)的邏輯關(guān)系，然后串成一條思維脈絡。由于數(shù)學學科的系統(tǒng)性強，知識的前后聯(lián)系非常密切，因此，教師在夯實數(shù)學知識的關(guān)聯(lián)點后，還應該梳理知識間的關(guān)聯(lián)線。在教學中，教師應了解每個知識點在整個數(shù)學系統(tǒng)中的位置，采用有效的方法，引導學生將所學知識進行前后關(guān)聯(lián)，提升學生的學習遷移能力，發(fā)展學生的結(jié)構(gòu)化思維。

1.承前啟后，實現(xiàn)正遷移

在數(shù)學教學中，教師既要關(guān)注學生的已有知識經(jīng)驗，注重新知與舊知的聯(lián)系，又要審視新知在后續(xù)知識中的作用和地位，為后面知識的學習做好鋪墊。這種承前啟后的關(guān)聯(lián)模式，能有效促進正遷移的實現(xiàn)。

例如，“分數(shù)的意義”是建立在除法、平均分的概念基礎上的，教學中，教師應當通過生活實例、實踐操作等方式讓學生體會平均分在分數(shù)意義中的重要作用，以及分數(shù)與除法之間的密切聯(lián)系，這是知識的“承前”。與此同時，“分數(shù)的意義”這一知識點又與后面的分數(shù)應用題、百分數(shù)、比的相關(guān)知識有著千絲萬縷的聯(lián)系。教學中，教師只有引導學生突破該知識點的認知難點，才能有效地“啟后”。對于“分數(shù)的意義”教學來說，難點之一在于要幫助學生真正理解單位“1”的實質(zhì)內(nèi)涵。因此，教師要通過操作、體驗、分析等方式，讓學生區(qū)別整體單位“1”與自然數(shù)“1”的異同，實現(xiàn)個性知識與共性知識的關(guān)聯(lián)，完成知識的正遷移。

2.對比抗擾，避免負遷移

在將知識前后關(guān)聯(lián)的過程中，還應有效避免負遷移。負遷移的產(chǎn)生通常是由于幾個看似相同或相近的知識點因為本質(zhì)上的不同，使學習者的認知發(fā)生混淆。負遷移會干擾線性的結(jié)構(gòu)化思維，使之連線錯亂，影響學生認知結(jié)構(gòu)的形成與發(fā)展。因此，教學中，教師應當采用一定的方式來避免負遷移的發(fā)生。其中，“對比抗干擾”是一種行之有效的方法，即通過對相近、易混淆的知識點進行對比，以突破認知難點，打破思維定式，避免負遷移的發(fā)生。

分數(shù)的教學是小學階段的難點，因為分數(shù)本身承擔著數(shù)量與分率的雙重身份，而在學生認識分數(shù)之前，對整數(shù)、小數(shù)的認知經(jīng)驗使他們認為“數(shù)”都表示具體的數(shù)量。這種認知經(jīng)驗遷移到分數(shù)知識上，便會產(chǎn)生負遷移，造成學生在分數(shù)理解上的認知混淆。教學中，教師可以設計對比練習的題組，如“一條公路長10千米，已經(jīng)修了[2、5]千米，還剩多少千米沒有修？”“一條公路長10千米，已經(jīng)修了[2、5]，還剩多少千米沒有修？”學生通過對比，對分數(shù)既可以表示具體的數(shù)量，又可以表示分率這一知識難點有更深入的認識，避免負遷移的發(fā)生。

另外，需要注意的是，各個知識點相互間的影響往往是正、負遷移并存。例如，“分數(shù)表示一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾”對于學習百分數(shù)的意義有正遷移的作用，而“分數(shù)也可以表示一個具體數(shù)量”，對于學習百分數(shù)的意義又會產(chǎn)生負遷移。因此，在講解百分數(shù)意義的過程中，教師要注意讓學生將分數(shù)所表示的意義與百分數(shù)所表示的意義進行對比。學生通過對比，明確異同，不僅排除了分數(shù)所表示的意義對百分數(shù)的干擾，而且鞏固了正遷移的成果。［5］

（三）組建關(guān)聯(lián)網(wǎng)，重視知識的多維關(guān)聯(lián)

在數(shù)學知識網(wǎng)絡中，每個概念、規(guī)律既有相對獨立性，又有相互關(guān)聯(lián)性。［6］線狀思維往往只能展現(xiàn)知識間單薄的線性關(guān)系，如何將這些線性關(guān)系系統(tǒng)化，織成更寬的知識網(wǎng)絡，則需要從數(shù)學教材及數(shù)學知識結(jié)構(gòu)出發(fā)，通過類比、聯(lián)想等方法對同一單元、同一領域內(nèi)的鏈狀知識進行縱向關(guān)聯(lián)，對不同單元、不同領域的塊狀知識進行橫向關(guān)聯(lián)，組建橫縱交織的關(guān)系網(wǎng)。

1.序列延伸，鏈狀知識縱向關(guān)聯(lián)

鏈狀知識是指前一個知識點能夠催生出下一個知識點，相鄰的知識點相互勾連，組成一條知識鏈條。這樣的鏈狀知識在小學數(shù)學教材中非常多，它們可能存在于某一單元或章節(jié)之中，也可能由于學生的認知需要分布在小學低、中、高年級的教材中，但它們?nèi)詫儆谕活I域的內(nèi)容。在面對這樣的鏈狀知識時，教師需要注意知識的序列延伸，使它們實現(xiàn)縱向關(guān)聯(lián)，讓學生能夠?qū)@一領域知識進行整體把握。思維導圖形象、直觀，符合兒童的認知特點，能使兒童在形象化的感知中加深對知識鏈條的認識和理解。因此，教師可以讓學生嘗試自主繪制思維導圖，實現(xiàn)知識的縱向關(guān)聯(lián)。例如，在復習四邊形時，教師可以引導學生從邊和角的角度整理幾種四邊形的特征，學生依據(jù)四邊形的特征及彼此之間的聯(lián)系，繪制出知識結(jié)構(gòu)圖（如圖1）。

又如，在復習平面圖形面積的計算時，教師可以讓學生整理各圖形面積的計算方法，并通過回顧面積公式的推導過程，建立彼此之間的聯(lián)系，形成面積知識結(jié)構(gòu)圖（如圖2）。

2.共性相通，塊狀知識橫向關(guān)聯(lián)

塊狀知識與鏈狀知識相比，各知識點相對獨立，它們不以鏈狀的方式呈現(xiàn)，而是以塊狀的形式分布在各單元、各章節(jié)。但是獨立不等于孤立，塊狀知識間并不是毫無關(guān)聯(lián)，它們之間往往存在著某些共通性的連接點。教師打通這些共性脈絡，能夠加深學生對這些塊狀知識本質(zhì)屬性的理解。

例如，整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)的加減法運算分別在小學低、中、高年級出現(xiàn)，雖然它們的教學側(cè)重點不盡相同，運算法則的文字表述也各不相同，但運算的核心思想是相同的，即要把相同計數(shù)單位的數(shù)相加減。教師認識到了這一共性，在教學中就能有的放矢，引領學生體會整數(shù)加減法要把相同數(shù)位對齊，小數(shù)加減法要把小數(shù)點對齊，異分母分數(shù)加減法要先通分，再計算。對于這些不同數(shù)的加減運算，教師通過共性挖掘，打通知識塊之間的脈絡，實現(xiàn)塊狀知識的橫向關(guān)聯(lián)，促進學生數(shù)學思維的橫向延伸和拓展。

（四）架構(gòu)關(guān)聯(lián)體，重視知識的多方融滲

數(shù)學知識因其邏輯結(jié)構(gòu)的錯綜復雜、思想方法的廣泛輻射、應用領域的拓展延伸，使得其結(jié)構(gòu)不是以“面”的形式存在，而是以“體”的方式呈現(xiàn)。因此，培育兒童結(jié)構(gòu)化思維，還應在固點、連線、組網(wǎng)的基礎上，架構(gòu)關(guān)聯(lián)體，挖掘?qū)W生思維的深度。

1.思想滲透，打破知識界限

數(shù)學學習本質(zhì)上是數(shù)學思想的學習。數(shù)學思想以隱性的方式存在，常常被學習者所忽視，但其作用卻是巨大的。它能夠打破各領域知識間的界限，挖掘各知識內(nèi)涵，打通知識脈絡，使數(shù)學知識體系具有更強的生命力。因此，在日常教學中，教師應當注重數(shù)學思想的滲透。例如，在數(shù)的計算中，在圖形的周長和面積計算中，在解決實際問題中均涉及轉(zhuǎn)化思想。教學時，教師應當引導學生反思回顧學習探究的過程，使學生體會到轉(zhuǎn)化思想的作用和價值，促使學生將轉(zhuǎn)化思想更好地延伸到其他學習領域中。

2.整合融通，打破學科界限

數(shù)學知識體系建構(gòu)的作用不僅僅是為了溝通數(shù)學內(nèi)部知識間的聯(lián)系，使兒童能更好地理解數(shù)學知識，還要向外輻射，與生活或其他學科整合融通。這種打破學科界限的關(guān)聯(lián)，能增強兒童的數(shù)學應用意識，開闊兒童的數(shù)學視界。

數(shù)學與生活的整合一方面要滲透于平時的點滴教學中，比如課堂的導入、練習的設計等；另一方面，還要從細節(jié)抓起，培養(yǎng)兒童用數(shù)學的眼光看待生活，加強兒童應用數(shù)學解決生活中實際問題的意識和能力。對于數(shù)學與其他學科的融通，教師既要重視并組織好教材中“綜合與實踐”內(nèi)容的教學，也要和其他學科教師通力合作，依據(jù)本地、本校的實際情況，整合多方教學資源，設計內(nèi)涵豐富的綜合實踐活動。

例如，對于蘇教版數(shù)學四年級上冊“升和毫升”這一單元的學習，學生對升和毫升的認識往往停留于知識層面，缺乏相關(guān)生活經(jīng)驗的積累及實踐操作的應用，對升和毫升的量感體驗不足。因此，教師可以設計“升和毫升”的單元實踐作業(yè)（如圖3），讓學生在“知”與“行”中培養(yǎng)量感。

世間萬物的存在不是雜亂地堆積，只有發(fā)現(xiàn)事物之間的關(guān)聯(lián)，才能看到智慧之光。數(shù)學教學亦如此，構(gòu)建充溢數(shù)學關(guān)聯(lián)性的深度學習課堂，培育兒童結(jié)構(gòu)化思維，方能實現(xiàn)會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界。

參考文獻：

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（責任編輯：羅小熒）